邊邊大角定理及其應用

吳迎新

一、邊邊大角定理

兩組對應邊相等，并且其中一組邊的對角相等是兩個三角形全等的必要條件，但不是兩個三角形全等的充分條件。那么是不是對以上條件“加強”一下，可以成為充分條件呢？回答是肯定的。請看這個新的命題。

定理如果兩個三角形的兩組邊對應相等，并且其中較大一組邊的對角相等，則這兩個三角形全等。

已知：在△ABC與△ABC中，AB = AB AC =A CAC>AB ∠B = ∠B。

求證：△ABC ≌△ABC。

證明：按∠B的大小分成三種情況證明

（1）∠B >90°，如圖（1）

圖（1）

過A作CB延長線的垂線，垂足為D，過A作CB延長線的垂線，垂足為D。

在△ABD 與△ABD 中

∵ ∠B = ∠B

∴ ∠ABD =∠ABD

又AB = AB， ∠D =∠D=90°

∴ △ABD≌△AB D

∴AD = ADDB =DB

在△ACD 與△ACD中，

AD = ADAC =A C ∠D =∠D=90°

∴△ACD ≌△ACD

∴DC = D C

∴BC = B C

在△ABC與△ABC中.

AB = ABAC =A CBC = B C

∴ △ABC ≌△ABC.

命題成立。

（2）∠B = 90°，如圖（2）

圖（2）

這里AB 、AB為直角邊，正符合斜邊直角邊定理條件，

∴△ABC ≌△ABC

命題成立。

（3）∠B <90°，如圖（3）

圖（3）

∵ AC >AB

∴∠C<∠B∠C<∠B

即 ∠C<90°∠C <90°

仿（1）同理可證△ABC ≌△ABC。

綜上所述，定理成立。

由于∠B、∠B分別是所述兩邊中較大一組所對的角，因此定理可稱為邊邊大角定理。

二、邊邊大角定理的應用

下面通過斯坦納-雷米歐司定理的證明可以看到邊邊大角定理的應用。

兩條內(nèi)角平分線相等的三角形是等腰三角形。這一命題簡單清晰，很容易理解。早在歐幾里得《幾何原本》中已有論述，但是沒有證明。雷米歐司求證無門，求教于斯圖姆，但也不得其路，還是斯坦納率先用反證法給出證明。因此這一定理史稱“斯坦納-雷米歐司定理”。從1840年開始，至今發(fā)表的證明不下百種，可見人們的關(guān)注程度。這個定理真可謂數(shù)學園地中深受人們喜愛的一朵奇葩。

下面請看“斯坦納-雷米歐司定理”的海塞證法。

圖（4）

已知：如圖（4）在△ABC中，BD、CE分別平分∠B和∠C, 并且BD =CE 。

求證：AB =AC 。

證明：（海塞）

作∠BDF =∠BCE，并使DF = BC ，連接BF ,

∵ BD = CE

∴△BDF ≌△ECB

∴BF =BE,∠BEC =∠FBD

設(shè)∠ABD =∠DBC =α，

∠ACE =∠ECB =β

則∠FBC =∠FBD +∠DBC =∠BEC+α

=180°-（2α+β）+α

=180°-（α+β）

∠CDF =∠CDB +∠BDF =180°-(α+2β) +β=180°-（α+β）

∴∠FBC =∠CDF

∵2α+2β<180°

∴α+β<90°

即∠FBC =∠CDF > 90° ( * )

連結(jié)CF，又有BC =DF，CF =FC，

∴△FBC ≌△CDF( ** )

∴BF =CD

∴BE =CD

∴△EBC ≌△DBC

∴∠B =∠C

∴ AB =AC.

( * )這里說明兩個對應相等的角都是鈍角，因而是“大角”，很有必要。

( ** )這里證明的根據(jù)就是“邊邊大角定理”。

以上的證明是首個給出的直接證法，非常經(jīng)典。

新的證明方法其價值不僅在于證明本身，而且在于其所展示的知識之間的聯(lián)系和思維方法的啟發(fā)?！八固辜{-雷米歐司定理”的海塞證法就是一個典型。

（責任編輯 付淑霞）

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一、邊邊大角定理

兩組對應邊相等，并且其中一組邊的對角相等是兩個三角形全等的必要條件，但不是兩個三角形全等的充分條件。那么是不是對以上條件“加強”一下，可以成為充分條件呢？回答是肯定的。請看這個新的命題。

定理如果兩個三角形的兩組邊對應相等，并且其中較大一組邊的對角相等，則這兩個三角形全等。

已知：在△ABC與△ABC中，AB = AB AC =A CAC>AB ∠B = ∠B。

求證：△ABC ≌△ABC。

證明：按∠B的大小分成三種情況證明

（1）∠B >90°，如圖（1）

圖（1）

過A作CB延長線的垂線，垂足為D，過A作CB延長線的垂線，垂足為D。

在△ABD 與△ABD 中

∵ ∠B = ∠B

∴ ∠ABD =∠ABD

又AB = AB， ∠D =∠D=90°

∴ △ABD≌△AB D

∴AD = ADDB =DB

在△ACD 與△ACD中，

AD = ADAC =A C ∠D =∠D=90°

∴△ACD ≌△ACD

∴DC = D C

∴BC = B C

在△ABC與△ABC中.

AB = ABAC =A CBC = B C

∴ △ABC ≌△ABC.

命題成立。

（2）∠B = 90°，如圖（2）

圖（2）

這里AB 、AB為直角邊，正符合斜邊直角邊定理條件，

∴△ABC ≌△ABC

命題成立。

（3）∠B <90°，如圖（3）

圖（3）

∵ AC >AB

∴∠C<∠B∠C<∠B

即 ∠C<90°∠C <90°

仿（1）同理可證△ABC ≌△ABC。

綜上所述，定理成立。

由于∠B、∠B分別是所述兩邊中較大一組所對的角，因此定理可稱為邊邊大角定理。

二、邊邊大角定理的應用

下面通過斯坦納-雷米歐司定理的證明可以看到邊邊大角定理的應用。

兩條內(nèi)角平分線相等的三角形是等腰三角形。這一命題簡單清晰，很容易理解。早在歐幾里得《幾何原本》中已有論述，但是沒有證明。雷米歐司求證無門，求教于斯圖姆，但也不得其路，還是斯坦納率先用反證法給出證明。因此這一定理史稱“斯坦納-雷米歐司定理”。從1840年開始，至今發(fā)表的證明不下百種，可見人們的關(guān)注程度。這個定理真可謂數(shù)學園地中深受人們喜愛的一朵奇葩。

下面請看“斯坦納-雷米歐司定理”的海塞證法。

圖（4）

已知：如圖（4）在△ABC中，BD、CE分別平分∠B和∠C, 并且BD =CE 。

求證：AB =AC 。

證明：（海塞）

作∠BDF =∠BCE，并使DF = BC ，連接BF ,

∵ BD = CE

∴△BDF ≌△ECB

∴BF =BE,∠BEC =∠FBD

設(shè)∠ABD =∠DBC =α，

∠ACE =∠ECB =β

則∠FBC =∠FBD +∠DBC =∠BEC+α

=180°-（2α+β）+α

=180°-（α+β）

∠CDF =∠CDB +∠BDF =180°-(α+2β) +β=180°-（α+β）

∴∠FBC =∠CDF

∵2α+2β<180°

∴α+β<90°

即∠FBC =∠CDF > 90° ( * )

連結(jié)CF，又有BC =DF，CF =FC，

∴△FBC ≌△CDF( ** )

∴BF =CD

∴BE =CD

∴△EBC ≌△DBC

∴∠B =∠C

∴ AB =AC.

( * )這里說明兩個對應相等的角都是鈍角，因而是“大角”，很有必要。

( ** )這里證明的根據(jù)就是“邊邊大角定理”。

以上的證明是首個給出的直接證法，非常經(jīng)典。

新的證明方法其價值不僅在于證明本身，而且在于其所展示的知識之間的聯(lián)系和思維方法的啟發(fā)?！八固辜{-雷米歐司定理”的海塞證法就是一個典型。

（責任編輯 付淑霞）

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一、邊邊大角定理

兩組對應邊相等，并且其中一組邊的對角相等是兩個三角形全等的必要條件，但不是兩個三角形全等的充分條件。那么是不是對以上條件“加強”一下，可以成為充分條件呢？回答是肯定的。請看這個新的命題。

定理如果兩個三角形的兩組邊對應相等，并且其中較大一組邊的對角相等，則這兩個三角形全等。

已知：在△ABC與△ABC中，AB = AB AC =A CAC>AB ∠B = ∠B。

求證：△ABC ≌△ABC。

證明：按∠B的大小分成三種情況證明

（1）∠B >90°，如圖（1）

圖（1）

過A作CB延長線的垂線，垂足為D，過A作CB延長線的垂線，垂足為D。

在△ABD 與△ABD 中

∵ ∠B = ∠B

∴ ∠ABD =∠ABD

又AB = AB， ∠D =∠D=90°

∴ △ABD≌△AB D

∴AD = ADDB =DB

在△ACD 與△ACD中，

AD = ADAC =A C ∠D =∠D=90°

∴△ACD ≌△ACD

∴DC = D C

∴BC = B C

在△ABC與△ABC中.

AB = ABAC =A CBC = B C

∴ △ABC ≌△ABC.

命題成立。

（2）∠B = 90°，如圖（2）

圖（2）

這里AB 、AB為直角邊，正符合斜邊直角邊定理條件，

∴△ABC ≌△ABC

命題成立。

（3）∠B <90°，如圖（3）

圖（3）

∵ AC >AB

∴∠C<∠B∠C<∠B

即 ∠C<90°∠C <90°

仿（1）同理可證△ABC ≌△ABC。

綜上所述，定理成立。

由于∠B、∠B分別是所述兩邊中較大一組所對的角，因此定理可稱為邊邊大角定理。

二、邊邊大角定理的應用

下面通過斯坦納-雷米歐司定理的證明可以看到邊邊大角定理的應用。

兩條內(nèi)角平分線相等的三角形是等腰三角形。這一命題簡單清晰，很容易理解。早在歐幾里得《幾何原本》中已有論述，但是沒有證明。雷米歐司求證無門，求教于斯圖姆，但也不得其路，還是斯坦納率先用反證法給出證明。因此這一定理史稱“斯坦納-雷米歐司定理”。從1840年開始，至今發(fā)表的證明不下百種，可見人們的關(guān)注程度。這個定理真可謂數(shù)學園地中深受人們喜愛的一朵奇葩。

下面請看“斯坦納-雷米歐司定理”的海塞證法。

圖（4）

已知：如圖（4）在△ABC中，BD、CE分別平分∠B和∠C, 并且BD =CE 。

求證：AB =AC 。

證明：（海塞）

作∠BDF =∠BCE，并使DF = BC ，連接BF ,

∵ BD = CE

∴△BDF ≌△ECB

∴BF =BE,∠BEC =∠FBD

設(shè)∠ABD =∠DBC =α，

∠ACE =∠ECB =β

則∠FBC =∠FBD +∠DBC =∠BEC+α

=180°-（2α+β）+α

=180°-（α+β）

∠CDF =∠CDB +∠BDF =180°-(α+2β) +β=180°-（α+β）

∴∠FBC =∠CDF

∵2α+2β<180°

∴α+β<90°

即∠FBC =∠CDF > 90° ( * )

連結(jié)CF，又有BC =DF，CF =FC，

∴△FBC ≌△CDF( ** )

∴BF =CD

∴BE =CD

∴△EBC ≌△DBC

∴∠B =∠C

∴ AB =AC.

( * )這里說明兩個對應相等的角都是鈍角，因而是“大角”，很有必要。

( ** )這里證明的根據(jù)就是“邊邊大角定理”。

以上的證明是首個給出的直接證法，非常經(jīng)典。

新的證明方法其價值不僅在于證明本身，而且在于其所展示的知識之間的聯(lián)系和思維方法的啟發(fā)?！八固辜{-雷米歐司定理”的海塞證法就是一個典型。

（責任編輯 付淑霞）

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