關(guān)于微積分解題的兩個(gè)注記

金少華， 王金環(huán)， 邢小玉， 宛艷萍， 王 東

(河北工業(yè)大學(xué)，天津300401)

微積分是理工科大學(xué)生的一門非常重要的基礎(chǔ)課.在微積分的教學(xué)過程中，正面臨著一個(gè)無法回避卻又日益突出的矛盾：一方面，微積分課的學(xué)時(shí)普遍減少；另一方面，后續(xù)專業(yè)課及考研對學(xué)生學(xué)習(xí)這門課又有很高的要求.本文給出了微積分中求未定式極限時(shí)需注意采取的一個(gè)措施及由微分方程的通解求相應(yīng)的微分方程的一般方法，并給出了算例，希望對讀者能有所啟發(fā).

求未定式的極限是微積分教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容.我們知道洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種有效方法，但不是萬能的，而且也未必是最簡捷的，所以在求未定式的極限時(shí)能化簡應(yīng)盡可能先化簡，可以應(yīng)用等價(jià)無窮小替代或重要極限時(shí)，應(yīng)盡可能應(yīng)用，這樣可以使運(yùn)算簡捷[1].這里指出：當(dāng)未定式的分子或分母中出現(xiàn)f(b)-f(a)的形式時(shí)，先使用拉格朗日中值定理將f(b)-f(a)表為f′(ξ)(b-a)，一般情況下比直接用洛必達(dá)法則能大大降低題目的難度及復(fù)雜程度.

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分析 本題含抽象函數(shù)f(x)，而且對f(x)除已知極限式外無任何信息，對本題不能使用洛必達(dá)法則.將cosx的帶Peano余項(xiàng)的4階麥克勞林公式代入已知極限式，是解此題的簡捷方法.

注 在已知極限式中，設(shè)法分離出所要求的極限式，這是本題求解的關(guān)鍵所在.

下面用這種方法處理2008年全國考研數(shù)學(xué)一真題的第15題.

微分方程在幾何、物理及數(shù)學(xué)建模中有重要應(yīng)用[2].下面給出由微分方程的通解求相應(yīng)的微分方程的一般方法.由于常微分方程的階數(shù)、常微分方程中所出現(xiàn)未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)、常微分方程通解中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)及常微分方程初始條件的個(gè)數(shù)這四者是相等的，故應(yīng)從常微分方程通解中所含任意常數(shù)的個(gè)數(shù)n確定方程的階數(shù)n，對通解y=fx,c1,…,cn連續(xù)對x求導(dǎo)n次，得方程組

由該方程組解出c1,…,cn(用x,y′,…,y(n)表示)，并將其代入通解的表達(dá)式y(tǒng)=fx,c1,…,cn，便得所求方程.

例6求以函數(shù)x-c12+(y-c2)2=c2為通解的微分方程，其中c1,c2與c均為任意常數(shù).

解在x-c12+(y-c2)2=c2中含有三個(gè)任意常數(shù)，所求方程必為三階微分方程，因此必須將該式兩邊對x連續(xù)求導(dǎo)三次，得

x-c1+(y-c2)y′=0,

1+(y-c2)y″+y′2=0,

(1)

(y-c2)y?+3y′y″=0.

(2)

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分[M].北京：高等教育出版社,2002.

[2] 高等學(xué)校工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會本科組.高等數(shù)學(xué)釋疑解難[M].北京：高等教育出版社,1992.