基于蒙特卡洛模擬的VaR模型及其模擬實(shí)證對(duì)比研究

喻為民

(淮南聯(lián)合大學(xué) 基礎(chǔ)部，安徽 淮南 232038)

隨著經(jīng)濟(jì)全球化和金融一體化的迅猛發(fā)展，國際范圍內(nèi)的金融市場創(chuàng)新活動(dòng)逐步深入，由此帶來金融風(fēng)險(xiǎn)的管理控制問題成為理論界討論的重點(diǎn)問題。VaR模型最早由J.P.Morgan提出［1］，被廣泛的運(yùn)用到金融風(fēng)險(xiǎn)的測量上并取得迅速推廣，成為金融市場衡量風(fēng)險(xiǎn)的主流方法。

1 VaR模型的基本思想

1.1 VaR模型的金融學(xué)含義

VaR是“Value at Risk”的簡寫，一般被稱作是“處于風(fēng)險(xiǎn)中的價(jià)值”或“風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值”，其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義表征為在市場正常波動(dòng)情況下，某一金融資產(chǎn)或證券組合的最大可能損失。通過VaR值的確定，可以知道投資者在某一市場波動(dòng)范圍內(nèi)進(jìn)行某次投資行為所能夠承受的最大可能損失［2］。比如A資產(chǎn)組合未來24小時(shí)的90%的VaR值為100萬元人民幣，即表示投資者購買A組合未來一天內(nèi)可以保證90%的可能性，其最大損失不超過100萬元。

1.2 VaR模型的數(shù)學(xué)含義

VaR的數(shù)學(xué)含義可以表示為在給定的置信水平范圍內(nèi)，某一金融資產(chǎn)或證券組合在特定時(shí)間范圍內(nèi)的最大可能損失。即置信水平C條件下，持有某金融資產(chǎn)Δt時(shí)間其所能夠承受的最大可能損失為VaR。其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:

其中ΔPΔt表示持有該金融資產(chǎn)Δt時(shí)間內(nèi)所遭受到的損失。一般而言損失應(yīng)當(dāng)負(fù)數(shù)表示，但考慮到日常習(xí)慣，此處ΔPΔt和VaR均為正數(shù)。公式(1)和(2)分別表示實(shí)際損失不超過和超過VaR值的概率水平，即此處的置信水平C。

2 基于蒙特卡洛模擬的VaR模型數(shù)學(xué)解釋

歷史模擬法的重點(diǎn)在于科學(xué)確定投資組合的價(jià)值函數(shù)及市場因子的分布水平，并假設(shè)投資組合的價(jià)值函數(shù)與市場因子之間存在線性關(guān)系。以RiskMetrics為主要代表的歷史模擬法，往往假定市場因子的分布服從多元正態(tài)分布，對(duì)于構(gòu)建和計(jì)算VaR值提供模型上的簡便，不同置信水平和不同持有期的VaR值均可以得以轉(zhuǎn)化計(jì)算出［2］。但是其模型假定中市場因子收益的多元正態(tài)分布情況與現(xiàn)實(shí)存在較大差距，且對(duì)于非線性金融工具的風(fēng)險(xiǎn)衡量不夠充分。

與歷史模擬法不同，蒙特卡洛模擬法以計(jì)算機(jī)基于一定規(guī)則隨機(jī)生成的數(shù)據(jù)作為計(jì)算VaR值的依據(jù)，通過隨機(jī)數(shù)模擬出市場因子的各種可能分布情況，從而計(jì)算出投資組合的VaR值。蒙特卡洛模擬法通過隨機(jī)生成的序列近似模擬各種可能分布情況下市場因子的各種潛在情況，并利用這些隨機(jī)數(shù)計(jì)算出不同置信水平條件下的VaR值。作為一種全估值的模擬方法，基于蒙特卡洛模擬的VaR計(jì)算方法一方面有效地克服非線性價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)、粗尾風(fēng)險(xiǎn)等不利因素的影響，另一方面則提供各種不同分布條件情況下的收益行為及VaR值。

本文以蒙特卡洛模擬作為計(jì)算VaR值的主要方法，并通過數(shù)學(xué)語言重點(diǎn)解釋VaR值計(jì)算的完整過程。一般而言，基于蒙特卡洛模擬的VaR值計(jì)算包括三個(gè)主要步驟，首先是基本規(guī)則提出及隨機(jī)模型的構(gòu)建;其次是基于隨機(jī)規(guī)則的模擬價(jià)格序列生成;最后則是基于隨機(jī)生成的數(shù)據(jù)估算VaR值。

2.1 隨機(jī)模型構(gòu)建

在初始時(shí)刻t到目標(biāo)時(shí)刻T持續(xù)期內(nèi)，假設(shè)投資組合的價(jià)格S為時(shí)刻t的函數(shù)，即t時(shí)刻投資組合價(jià)值為S(t)。記其一階差分為y(t)，投資組合相鄰時(shí)刻價(jià)格之間存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系，公式表示如下［4］:

其中μ，σ分別表示投資組合的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，ξ為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，通過ξ數(shù)值的不同可以隨機(jī)生成不同的模擬數(shù)值。

2.2 模擬價(jià)格走勢

其中i=1，2，……n。通過公式(4)基于生成的隨機(jī)變量ξi可以模擬出n個(gè)時(shí)間間隔單元內(nèi)的價(jià)格序列{S(t+1)，S(t+2)，……S(t+n)}及目標(biāo)時(shí)刻T的價(jià)格S(T)=S(t+n)。

2.3 VaR估值

選取該院收治的100例糖尿病患者，所有患者于該院進(jìn)行檢查均確診為糖尿病，排除嚴(yán)重肝腎疾病、軀體疾病、惡性腫瘤、語言障礙及精神障礙者，100例患者及其家屬均對(duì)該研究知情同意，并簽署知情同意書。按照隨機(jī)數(shù)字表法將其分為對(duì)照組和觀察組，每組各50例；對(duì)照組男性27例，女性23例，年齡21～74歲，平均年齡（47.5±4.5）歲，病程 1～14 年，平均病程（7.5±1.2）年；觀察組男性25例，女性25例，年齡22～75歲，平均年齡（48.5±4.2）歲，病程 1～13 年，平均病程（7.2±4.1）歲，兩組患者性別、年齡、病程一般資料差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＞0.05），具有可比性。

根據(jù)已得的目標(biāo)時(shí)刻價(jià)格序列，將其模擬價(jià)格按照從小到大的順序升序排列組成新的序列L'。在給定置信水平C條件下，選取新序列L'中的第m(1-C)個(gè)數(shù)作為衡量值，記其為S'，則S'=，i=m(1-C)。通過相對(duì)計(jì)算方法可以將VaR值表示如下:

假設(shè)重復(fù)價(jià)格走勢5000次，在置信水平90%條件下，在蒙特卡洛模擬方法計(jì)算VaR模型的要求下，將某投資組合目標(biāo)時(shí)刻價(jià)格序列按照升序進(jìn)行排列，選取第5000×(1-90%)=500個(gè)數(shù)作為衡量值，在與基期價(jià)格St進(jìn)行求差運(yùn)算，即可求出90%置信水平條件下的該種投資組合的VaR值。

2.4 VaR數(shù)值的檢驗(yàn)

通過以上三步的完整實(shí)施，可以計(jì)算出基于蒙特卡洛模擬的投資組合的VaR值，從而用于該投資組合的風(fēng)險(xiǎn)管理問題。由于在運(yùn)用蒙特卡洛模擬過程中，隨機(jī)數(shù)的生成過程中不可避免會(huì)出現(xiàn)偽隨機(jī)數(shù)問題，對(duì)于計(jì)算出的VaR數(shù)值的科學(xué)性和實(shí)用性產(chǎn)生一定程序上的影響［6］。因此有必要在完成VaR數(shù)值計(jì)算之后，對(duì)計(jì)算結(jié)果通過科學(xué)的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，以驗(yàn)證其準(zhǔn)確性。

VaR數(shù)值檢驗(yàn)在于檢驗(yàn)投資組合的實(shí)際損失與VaR值之間的偏離概率是否在給定置信水平范圍內(nèi)的，其檢驗(yàn)方法眾多，本小節(jié)將介紹失敗頻率檢測法［7-8］。在失敗頻率檢測法中，假設(shè)記實(shí)際損失超過VaR值為失敗，記實(shí)際損失不超過VaR值為成功，考察天數(shù)為X天，在給定置信水平C條件下，失敗天數(shù)為Y天。則

對(duì)VaR數(shù)值結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證即驗(yàn)證失敗頻率P與失敗期望概率P*之間是否相等，通過假設(shè)檢驗(yàn)與參數(shù)估計(jì)的方法即可求出零假設(shè)H0:P=P*的置信域［9］。

3 VaR模型的隨機(jī)模擬實(shí)現(xiàn)

結(jié)合前部分的成果，本部分將利用Matlab2012a實(shí)現(xiàn)VaR模型的隨機(jī)模擬計(jì)算。此處通過隨機(jī)模擬函數(shù)生成2000天的收益率r，在置信水平位99%條件下，分別假設(shè)收益率r服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和自由度為4的t分布，計(jì)算近1000天的VaR值及收益r。計(jì)算結(jié)果如下:

3.1 r服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

基于Matlab2012a的計(jì)算，其結(jié)果如下圖所示:

圖1 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算結(jié)果

由圖1可以看出，通過假設(shè)收益率r服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布生成模擬數(shù)，并結(jié)合VaR數(shù)值的滾動(dòng)求解，近1000天投資組合的收益率大多分布于6σ范圍區(qū)間內(nèi)，VaR數(shù)值約為2.21大小左右。

3.2 r服從t分布(n=4)

基于Matlab2012a的計(jì)算，其結(jié)果如下圖所示:

圖2 服從t分布的計(jì)算結(jié)果(自由度n=4)

由圖2可以看出，通過假設(shè)收益率r服從自由度為4的t分布生成模擬數(shù)，并結(jié)合VaR數(shù)值的滾動(dòng)求解，近1000天投資組合的收益率大多分布于±6范圍區(qū)間內(nèi)，且存在諸多極端數(shù)值，VaR數(shù)值約為4.02大小左右。

3.3 主要結(jié)論

綜合以上兩個(gè)圖形可以看出，在收益率分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和自由度為4的t分布的VaR計(jì)算結(jié)果中，t分布結(jié)果圖形較好的反映出來金融數(shù)據(jù)的厚尾與尖峰特征。在置信水平位99%的條件下，收益率服從t分布的VaR數(shù)值明顯高于收益率服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的VaR值。在高置信水平條件下，t分布模型較于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布模型具有更高的精度要求和顯著的優(yōu)勢。此外t分布模型在描述投資組合收益率方面，明顯地表征出金融收益率數(shù)據(jù)的波動(dòng)性和非穩(wěn)定性，對(duì)金融數(shù)據(jù)的厚尾及尖峰特征進(jìn)行較好的擬合。

4 VaR模型的歷史模擬實(shí)現(xiàn)

結(jié)合前部分的成果，本部分將利用Matlab2012a實(shí)現(xiàn)VaR模型的歷史模擬計(jì)算。以2012年1月1日至2013年12月30日，從交易開拓者導(dǎo)出上海中金期貨交易所股指期貨的歷史日線數(shù)據(jù)，并計(jì)算其收益率。再通過Matlab予以分析?？紤]到股指日波動(dòng)性較大，本部分所選取的原始數(shù)據(jù)是股指的日平滑指數(shù)。以全年交易日數(shù)為橫軸，以每日VaR值為縱軸，計(jì)算結(jié)果如下圖所示:

圖3 2012年與2013年股指VaR比較圖

由上圖可以看出，2012年至2013年我國股指期貨的市場結(jié)構(gòu)發(fā)生較為明顯變化。具體而言，2012年全年股指期貨市場風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)幅度較小，2013年全年股指期貨市場風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)幅度較大。2013年上半年我國股指期貨市場的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)較低，但是波動(dòng)水平較為劇烈，下半年系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)走高。與2012年的股指期貨市場相比，2013年股指期貨系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，對(duì)市場內(nèi)廣大參與者造成一定程度的影響。由此可見，對(duì)于市場內(nèi)的參與者而言，要注意利用VaR值來衡量系統(tǒng)，指導(dǎo)其未來的交易行為。

5 結(jié)語

本文從金融學(xué)和數(shù)學(xué)角度出發(fā)闡述VaR的基本涵義，在此基礎(chǔ)上通過VaR模型計(jì)算方法的綜述，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言構(gòu)建基于蒙特卡洛模擬的VaR求解模型，再利用Matlab通過歷史模擬和隨機(jī)模擬分別測度出99%置信水平條件下金融市場的VaR數(shù)值。通過對(duì)比分析，研究結(jié)果表明:隨機(jī)模擬方面，t分布模型在高置信水平條件下較標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布模型具有更高的精度要求和優(yōu)勢，且對(duì)于金融收益率數(shù)據(jù)的表征更為合理科學(xué);歷史模擬方面，2013年我國股指期貨市場結(jié)構(gòu)較2012年發(fā)生較大程度變化，且系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)有進(jìn)一步擴(kuò)大趨勢。

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