基于密度參數(shù)K-均值算法的RBF網(wǎng)絡(luò)及其在降水量預(yù)測中的應(yīng)用

郭 皓, 邢貞相,2,3, 付 強,2,3, 李 晶

(1.東北農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與建筑學(xué)院, 哈爾濱 150030; 2.黑龍江省糧食產(chǎn)能提升協(xié)同創(chuàng)新中心,哈爾濱 150030; 3.黑龍江省高校節(jié)水農(nóng)業(yè)重點實驗室, 哈爾濱 150030)

基于密度參數(shù)K-均值算法的RBF網(wǎng)絡(luò)及其在降水量預(yù)測中的應(yīng)用

郭 皓1, 邢貞相1,2,3, 付 強1,2,3, 李 晶1

(1.東北農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與建筑學(xué)院, 哈爾濱 150030; 2.黑龍江省糧食產(chǎn)能提升協(xié)同創(chuàng)新中心,哈爾濱 150030; 3.黑龍江省高校節(jié)水農(nóng)業(yè)重點實驗室, 哈爾濱 150030)

徑向基函數(shù)(Radial Basis Funtion，簡稱RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種收斂速度快、逼近能力強的前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。為提高網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練速度，采用基于密度參數(shù)的K-均值算法，消除傳統(tǒng)K-均值算法對初始聚類中心的敏感性，構(gòu)建了基于K-均值算法的RBF降水預(yù)報模型，并應(yīng)用于撓力河流域的友誼農(nóng)場汛期月降水量預(yù)報中，以檢驗所建模型的有效性。結(jié)果表明，與標(biāo)準(zhǔn)的K-均值算法RBF網(wǎng)絡(luò)模型和BP(Back Propagation)網(wǎng)絡(luò)模型相比，所構(gòu)建的RBF降水預(yù)報模型對2008年，2009年，2010年各年間汛期(6—9月)降水量的預(yù)測平均相對誤差為9.270 7%；確定性系數(shù)為0.96。預(yù)報精度均有所提高，且滿足水文預(yù)報要求。

水文學(xué)； 降水量預(yù)測； 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)； 密度參數(shù)； K-均值

降水是自然界水循環(huán)的一個重要環(huán)節(jié)，因受多類因子的影響，降水量的變化存在復(fù)雜且多變的不確定性。高精度的降水量預(yù)測方法能提前預(yù)測降水量的變化并為徑流預(yù)報提供雨情數(shù)據(jù)狀態(tài)和后果，對防洪抗旱、指導(dǎo)生產(chǎn)都有重要意義[1]。降水量的預(yù)測方法眾多，如回歸分析[2]、灰色預(yù)測[3]、數(shù)值模擬[4]、模糊預(yù)測[5]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6-7]等等。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因具有較強的處理非線性問題的能力，無需求解具體的問題解析函數(shù)，有較好的泛化能力等優(yōu)點，在降水量的預(yù)測研究方法中獨樹一幟。目前，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是應(yīng)用最多的兩種網(wǎng)絡(luò)模型。吳有訓(xùn)[8]等人采用遺傳算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始連接權(quán)值和閾值的混合算法，建立安徽宣城市汛期降水短期氣候預(yù)測模型，預(yù)報誤差較小。盧文喜[9]等人采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立樺甸市降水預(yù)測模型，結(jié)果表明，模型的后驗差比值、平均絕對誤差及有效系數(shù)的精度均滿足要求。與BP網(wǎng)絡(luò)相比，RBF網(wǎng)絡(luò)的隱層單元數(shù)可在訓(xùn)練階段自適應(yīng)調(diào)整；此外，RBF網(wǎng)絡(luò)輸入層與隱層之間無須通過權(quán)值連接，而是采用直聯(lián)的方式。由此看來，RBF具有BP無法替代的優(yōu)越性，可大大提高網(wǎng)絡(luò)收斂速度，對非線性函數(shù)具有更好的一致逼近性[10]。故本文對RBF網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行一定的探討和研究，嘗試用于三江平原撓力河流域降水量的預(yù)測。

1 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Radial Basis Function Neural Network)是一種局部逼近的前饋式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11]，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。它模擬了人腦的局部調(diào)整、相互覆蓋接受域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并且能夠以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)。

圖1 徑向基網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

RBF網(wǎng)絡(luò)的基本思想是[12]：用RBF作為隱單元的“基”構(gòu)成隱含層空間，這樣可將輸入矢量直接(即不需要通過權(quán)連接)映射到隱空間。當(dāng)RBF的中心點確定以后，映射關(guān)系便確定了。而隱含層空間到輸出空間的映射是線性的，即網(wǎng)絡(luò)的輸出是隱單元輸出的線性加權(quán)和。

RBF網(wǎng)絡(luò)中常用的徑向基函數(shù)是高斯函數(shù)，因此RBF網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)可表示為

(1)

(2)

式中：wij——隱含層到輸出層的連接權(quán)值；i=1,2,…,h(h為隱含層的結(jié)點數(shù))；yj——與輸入樣本對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)的第j個輸出節(jié)點的實際輸出；其他符號意義同前。

2 基于密度參數(shù)的K-means算法

RBF網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法需要求解的參數(shù)有三個：隱層基函數(shù)的中心、方差及隱層到輸出層的權(quán)重。其中，基函數(shù)中心的選取是該網(wǎng)絡(luò)能否成功實現(xiàn)的關(guān)鍵所在，其選取方法有多種，如隨機選取中心法、自組織選取中心法、聚類分析法及正交最小二乘法。而RBF網(wǎng)絡(luò)較為有效的學(xué)習(xí)算法是K-均值(K-means)聚類法。K-means算法基本思想[13]：它是一種基于距離的聚類算法，采用距離作為相似性的評價指標(biāo)，首先在樣本數(shù)據(jù)中隨機選取k 個對象作為初始的聚類中心，而后的每個點都被分配到與其最近的聚類中心，而到同一個聚類中心的點集被指定為一個分組，即形成k個分組；重復(fù)分配和更新步驟，直到分組不發(fā)生任何變化，即聚類中心不發(fā)生變化時為止，此時具有共同特性的樣本數(shù)據(jù)便形成了特定的組群。該算法原理易于理解、計算步驟簡捷、易于計算機程序的實現(xiàn)，但從中也不難看出K-means算法對初始聚類中心很敏感，聚類結(jié)果隨不同的初始輸入而波動，這勢必影響最終各樣本組群的特征?；诿芏葏?shù)的K-means算法可以降低傳統(tǒng)算法初始聚類中心對聚類結(jié)果波動性的影響，因此，本文采用基于密度參數(shù)K-means算法的RBF網(wǎng)絡(luò)嘗試對降水量進(jìn)行預(yù)測研究。

2.1 密度參數(shù)的概念

樣本數(shù)據(jù)集合：S={x1， x2，…，xn}，k個初始的聚類中心：z1，z2，…，zk。

定義1，兩個數(shù)據(jù)對象間的歐氏距離

d(xi,xj) =(∣xi1-xj1∣2+∣xi2-xj2∣2

+…+∣xip-xjp∣2)1/2

(3)

式中：xi={ xi1，xi2，…，xip}和xj={ xj1，xj2，…，xjp}——兩個p維的數(shù)據(jù)對象。

定義2，樣本點之間的平均距離

(4)

定義3，密度參數(shù)[14]空間中任一點p和距離MeanDist，以p點為中心，半徑為MeanDist的區(qū)域稱為點的鄰域，區(qū)域內(nèi)的點的個數(shù)稱為點p基于距離MeanDist的密度參數(shù)，記作density(p，MeanDist)。

2.2 基于密度參數(shù)的K-means算法

在用歐氏距離作為相似性度量的K-means算法中，相互距離最遠(yuǎn)的k個數(shù)據(jù)對象比隨機取的k個數(shù)據(jù)對象更具有代表性。但實際的數(shù)據(jù)集往往有噪聲數(shù)據(jù)存在，如果只是單純地取相互距離最遠(yuǎn)的k個點來代表k個不同的類別，有時會取到噪聲點，從而影響聚類效果。一般在一個數(shù)據(jù)空間中，高密度的數(shù)據(jù)對象區(qū)域被低密度的對象區(qū)域所分割，通常認(rèn)為處于低密度區(qū)域的點為噪聲點。為了避免取到噪聲點，取k個處于高密度區(qū)域的點作為初始聚類中心，具體步驟[14]：

(1) 按照式(3)計算數(shù)據(jù)對象兩兩之間的距離d(xi，xj)

(2) 按照式(4)計算數(shù)據(jù)對象之間的平均距離MeanDist。

(3) 計算全部數(shù)據(jù)對象的密度參數(shù)density(p，MeanDist)，組成一個集合D。

(4) 從數(shù)據(jù)對象的密度參數(shù)集合中找到最大者zk，zk=max{density(pi,MeanDist)

|i∈(1,2,…,n),density(pi,MeanDist)∈D}。如果d(pi，zk)

(5) 重復(fù)步驟(3)，(4)，直至找到k個聚類中心為止。

根據(jù)上述方法得到的k個聚類中心即為RBF網(wǎng)絡(luò)最終的基函數(shù)的中心。

3 基于RBF網(wǎng)絡(luò)的降水量預(yù)測模型構(gòu)建

3.1 RBF網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的確定

3.1.1 輸入神經(jīng)元數(shù)目的選擇 輸入神經(jīng)元的選擇對建立RBF網(wǎng)絡(luò)的有效性至關(guān)重要，不合理的選擇會影響網(wǎng)絡(luò)的質(zhì)量，甚至導(dǎo)致建模失敗。因此，本文采用自相關(guān)分析技術(shù)確定RBF網(wǎng)絡(luò)的輸入神經(jīng)元節(jié)點數(shù)。

3.1.2 隱含層神經(jīng)元數(shù)目的選擇 隱含層神經(jīng)元用以存儲輸入層到隱含層的連接權(quán)值和閾值，能夠體現(xiàn)訓(xùn)練樣本與期望輸出間的內(nèi)在規(guī)律。目前還沒有準(zhǔn)確、科學(xué)的確定方法，多是通過經(jīng)驗公式和數(shù)值試驗比較確定，本文也采用此方法確定，且經(jīng)驗公式[15]：

(5)

n2=log2n1

(6)

式中：n2——隱含層神經(jīng)元個數(shù)；n1——輸出層神經(jīng)元個數(shù)；m——輸入神經(jīng)元個數(shù)，a——[0，1]之間的常數(shù)。

3.2 降水量預(yù)測模型的構(gòu)建

網(wǎng)絡(luò)模型的創(chuàng)建采用Matlab的RBF工具箱來實現(xiàn)，具體的程序語言為：net=newrb(P,T,goal,spread,mn,df)，其中，P和T分別為樣本的輸入向量和輸出向量；goal為均方誤差，本文取goal=0.001，目的是防止過度擬合；spread為徑向基函數(shù)的寬度，本文通過隱層神經(jīng)元各個中心之間的距離來確定，其計算公式

spread=b×di

(7)

式中：b——重疊系數(shù)，一般取大于1的整數(shù)[16]；di——隱含層基函數(shù)中心間的最小距離，基函數(shù)中心由基于密度參數(shù)的K-means算法求得。

4 實例研究

4.1 試驗數(shù)據(jù)

現(xiàn)以三江平原友誼農(nóng)場1956—2007年各年汛期(6—9月)降水量資料為例，建立基于密度參數(shù)K-means算法的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型。選取1956—2005年各年汛期降水?dāng)?shù)據(jù)用于網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，2006年和2007年汛期降水?dāng)?shù)據(jù)用于網(wǎng)絡(luò)檢驗，并對2008，2009，2010年汛期各月降水量進(jìn)行預(yù)測。

4.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

由于RBF網(wǎng)絡(luò)對輸入、輸出數(shù)據(jù)的要求在[0，1]之間，故在訓(xùn)練之前先將降水?dāng)?shù)據(jù)按以下公式進(jìn)行歸一化處理，即

(8)

式中：Xi，Yi——歸一化處理前、后的降水量；Xmin，Xmax——所有降水量的最小值和最大值。經(jīng)過以上處理后的數(shù)據(jù)將作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的樣本。

4.3 RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的確定及訓(xùn)練

根據(jù)降水量的特性，設(shè)計RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，主要是確定輸入層與隱含層的節(jié)點數(shù)。對于友誼農(nóng)場汛期降水量序列進(jìn)行相關(guān)分析(圖2，圖3分別給出降水量序列的自相關(guān)函數(shù)圖和偏相關(guān)函數(shù)圖)，據(jù)自相關(guān)圖的拖尾性和偏相關(guān)圖的截尾性，可判別降水量序列適用于AR模型，并通過AIC準(zhǔn)則[17]分析得到馬爾科夫過程的階數(shù)應(yīng)為4(表1中給出AIC準(zhǔn)則的計算結(jié)果)，即RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中輸入層的節(jié)點個數(shù)為4。隱含層神經(jīng)元用以存儲輸入層到隱含層的連接權(quán)值，體現(xiàn)訓(xùn)練樣本與期望樣本間的內(nèi)在規(guī)律。根據(jù)經(jīng)驗公式和試算，隱含層節(jié)點數(shù)選定6個，至此，本文網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為4∶6∶1。

圖2 降水量序列自相關(guān)函數(shù)

圖3 降水量序列偏相關(guān)函數(shù)

階數(shù)AIC值41622.481688.9121632.5

利用已構(gòu)建的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對1956—2005年的汛期降水量數(shù)據(jù)訓(xùn)練188次達(dá)到收斂，網(wǎng)絡(luò)擬合誤差達(dá)到0.001，其網(wǎng)絡(luò)誤差變化圖及網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練擬合圖(如圖4，圖5)，通過擬合曲線看出，訓(xùn)練階段計算降水量變化趨勢與實測降水量趨勢擬合度較高。為驗證所構(gòu)建RBF網(wǎng)絡(luò)模型的泛化能力，對2006年和2007年汛期各月降水量進(jìn)行檢驗計算，驗證期計算結(jié)果如表2所示，平均預(yù)報相對誤差為9.666 2%，確定性系數(shù)為0.98。經(jīng)以上驗證，可利用已構(gòu)建的RBF網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行撓力河流域降水量預(yù)測，表3給出了模型對2008，2009及2010年汛期各月降水量的計算結(jié)果(為便于對比，表中還列出了標(biāo)準(zhǔn)K-Means算法RBF網(wǎng)絡(luò)與BP網(wǎng)絡(luò)的計算結(jié)果)。

圖4 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合誤差變化

4.4 計算結(jié)果與分析

表3中計算結(jié)果表明，應(yīng)用已建立的RBF網(wǎng)絡(luò)模型對2008，2009及2010年汛期各月降水量預(yù)測的平均相對誤差為9.270 7%，確定性系數(shù)為0.96；而標(biāo)準(zhǔn)K-means算法預(yù)測的平均相對誤差為12.894 0%，確定性系數(shù)為0.92；BP網(wǎng)絡(luò)模型的平均相對誤差為11.242 0%，確定性系數(shù)為0.94。與此同時，已建立的RBF網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練擬合時間及收斂次數(shù)也有所提高，分別為85 s及188次；而標(biāo)準(zhǔn)K-means算法的訓(xùn)練擬合時間及收斂次數(shù)分別為100 s及266次；BP網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練擬合時間及收斂次數(shù)分別為121 s及420次。由此可見，與標(biāo)準(zhǔn)K-means算法的RBF模型和BP模型相比，本文所構(gòu)建的RBF網(wǎng)絡(luò)計算速度分別提高15%，30%；預(yù)報平均相對誤差分別降低28%，19%；確定性系數(shù)均相當(dāng)。

5 結(jié) 論

K-means算法是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)常用的學(xué)習(xí)算法，但是傳統(tǒng)的K-means由于隨機選取初始聚類中心不同而造成聚類結(jié)果的波動，從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生不同的收斂能力。本文應(yīng)用基于密度參數(shù)尋找初始聚類中心的思想，嘗試消除隨機選取聚類中心的不穩(wěn)定性和敏感性，并利用基于密度參數(shù)的K-means算法求得RBF網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)的寬度，構(gòu)建了友誼農(nóng)場基于密度參數(shù)K-Means的RBF降水量預(yù)測模型。通過實例研究，得出以下結(jié)論：

表3 改進(jìn)RBF網(wǎng)絡(luò)與標(biāo)準(zhǔn)K-means RBF網(wǎng)絡(luò)及BP網(wǎng)絡(luò)降水量預(yù)測結(jié)果對比

注：表中改進(jìn)的RBF網(wǎng)絡(luò)為本文構(gòu)建的RBF網(wǎng)絡(luò)。

(1) 從網(wǎng)絡(luò)收斂速度來看，基于密度參數(shù)K-means算法的RBF網(wǎng)絡(luò)模型與傳統(tǒng)K-means算法的RBF網(wǎng)絡(luò)相比，對聚類數(shù)、基函數(shù)中心的確定等方面有著一定的優(yōu)越性，收斂速度、預(yù)報精度均有明顯的提升。

(2) 對于撓力河流域友誼農(nóng)場汛期月降水量的預(yù)測而言，改進(jìn)的RBF網(wǎng)絡(luò)模型與BP網(wǎng)絡(luò)模型相比，在精度上有較大的提高，2008，2009，2010年汛期月降水量的平均相對誤差分別降低19%，29%及6%，確定性系數(shù)分別提高3%，4%及2%，為在不確定因素較強的降水量預(yù)測提供了一種新方法；

(3) 應(yīng)用本文所述的RBF網(wǎng)絡(luò)模型對月降水量進(jìn)行預(yù)測時，網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)采用經(jīng)驗公式和網(wǎng)絡(luò)試算，在日后的研究中，可采用智能優(yōu)化算法優(yōu)化RBF網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點數(shù)，以進(jìn)一步提高模型的計算精度。

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RBFNeuralNetworkofK-MeansAlgorithmBasedonDensityParameterandtheApplicationtotheRainfallForecasting

GUO Hao1, XING Zhen-xiang2,3, FU Qiang1,2,3, LI Jing1

(1.CollegeofWaterConservancy&CivilEngineering,NortheastAgriculturalUniversity,Harbin150030,China; 2.CollaborativeInnovationCenterofGrainProductionCapacityImprovementinHeilongjiangProvince,Harbin150030,China; 3.KeyLabofWater-SavingAgricultureofHeilongjiangUniversity,Harbin150030,China)

The radial basis function (RBF) neural network is a feed-forward artificial neural network with high convergence speed and strong approximation capability. In order to improve the training rate of the RBF, a K-means algorithm based on density parameter was introduced to determine clustering center, which could reduce the sensitivity of traditional K-means algorithm for initial clustering centers. A rainfall forecasting model of RBF based on K-means algorithm was built, which was applied to forecasting monthly rainfall over the Youyi Farm in Naolihe catchment during the flood season, aiming to test the effectiveness of this model. The case study showed that the mean relative error of rainfall forecasting in flood season (from June to September) of the year 2008, 2009 and 2010 was 9.270 7%, and the deterministic coefficient was 0.96. It demonstrated a higher forecasting accuracy compared to a RBF model based on a standard K-means algorithm and BP (Back Propagation) model, and the rainfall forecasting results met the requirements of hydrologic prediction.

hydrology; rainfall forecasting; radial basis function neural network; density parameter; K-means

2014-04-15

：2014-05-08

國家自然科學(xué)資助項目(51109036;51179032);教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金(20112325120009);水利部公益性行業(yè)科研專項經(jīng)費項目(201301096);黑龍江省級領(lǐng)軍人才梯隊后備事頭人資助項目(500001);黑龍江省博士后啟動金(LBH-Q12147)

郭皓(1990—),女,黑龍江省雙城人,碩士研究生,研究方向為水文預(yù)報方法研究。E-mail:ghneau@sina.cn

付強(1973—),男,遼寧省錦州人,博導(dǎo)，教授,博士,研究方向為水資源分析與評價。E-mail:fuqiang0629@126.com

P338

：A

：1005-3409(2014)06-0299-05