基于改進小波閾值去噪法的變形預(yù)測研究*

李明峰 歐江霞 王永明 解 晨 王 春

1)南京工業(yè)大學(xué)地球空間信息研究中心，南京 210009

2)武漢大學(xué)測繪學(xué)院，武漢 430079

基于改進小波閾值去噪法的變形預(yù)測研究*

李明峰1)歐江霞1)王永明2)解 晨1)王 春1)

1)南京工業(yè)大學(xué)地球空間信息研究中心，南京 210009

2)武漢大學(xué)測繪學(xué)院，武漢 430079

針對傳統(tǒng)小波閾值去噪算法的不足，根據(jù)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)特點及噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性，提出新的門限閾值估計方法與閾值處理函數(shù)，并應(yīng)用于建筑物變形觀測數(shù)據(jù)時間序列建模。算例表明，改進后算法的去噪效果及預(yù)測值精度均優(yōu)于常規(guī)方法。

小波閾值去噪;閾值函數(shù);小波變換;時間序列;變形預(yù)測

變形預(yù)測通?？刹捎脮r間序列［1］、線性回歸［2］、灰色系統(tǒng)［3］、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［4］等數(shù)學(xué)方法，在建立預(yù)測模型之前雖可通過穩(wěn)健估計［5］、假設(shè)檢驗等方法剔除測量粗差，但未顧及數(shù)據(jù)采集過程中所受的噪聲干擾，模型可信度較低。小波閾值去噪在信號處理領(lǐng)域的優(yōu)越性可較好地彌補這一缺陷。小波閾值去噪的效果很大程度上取決于門限閾值及閾值處理函數(shù)的選取，常用的固定閾值隨著小波分解尺度的增加易將有用信號去除，造成信號丟失;軟閾值函數(shù)［6－7］處理后的估計小波系數(shù)與含噪小波系數(shù)之間存在恒定偏差;硬閾值函數(shù)［6－7］則不具備連續(xù)性。本文根據(jù)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的特點，提出與噪聲傳播特性相一致的新的門限閾值估計方法，針對軟閾值函數(shù)及硬閾值函數(shù)的不足構(gòu)建新閾值處理函數(shù)，并將改進后的小波閾值去噪法應(yīng)用于變形預(yù)測建模過程中。

1 小波閾值去噪原理與方法

信號在小波域內(nèi)的能量主要集中在有限的系數(shù)中，而噪聲能量分布于整個小波域內(nèi)。經(jīng)小波變換后，信號的小波系數(shù)大于噪聲的小波系數(shù)，可通過設(shè)定相應(yīng)的門限閾值，將小于該閾值的小波系數(shù)舍去，進而進行信號重構(gòu)，達到去噪的目的。

1.1 小波變換

設(shè)φ(t)為平方可積函數(shù)，即φ(t)∈L2(R)，若其傅里葉變換(ω)滿足:

則稱φ(t)為基本小波。常用為基本小波函數(shù)有Haar、Daubechies(dbN)、Mexican Hat(mexh)、Morlet及Meyer等。設(shè)長度為N的觀測信號為:

式中，s(t)為原始信號，n(t)為服從N(0，σ2)的高斯白噪聲。對f(t)連續(xù)作J次小波變換，可得小波系數(shù) ωj，k(j=1，…，J，k=1，…，N)［8］:

1.2 閾值及閾值函數(shù)

固定閾值按經(jīng)驗可取［6－7］:

固定閾值可能將有用高頻信號去除。因此，趙瑞珍［9］、任超［10］等依據(jù)噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性，對固定閾值估計方法進行了改進(稱ZR法)，但未顧及變形監(jiān)測數(shù)據(jù)受噪聲干擾相對較小的特點，易造成信號失真。本文提出新的門限閾值估計公式:

由式(6)可知，新門限閾值估計方法降低了首層門限閾值，且與噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性相一致，即隨著分解尺度j的增加而減小。因此，新的門限閾值降低了有用高頻系數(shù)被舍去的風險。

傳統(tǒng)的閾值處理方法有硬閾值法和軟閾值法［6－7］。軟閾值函數(shù)的估計小波系數(shù)與含噪小波系數(shù)之間存在恒定偏差，硬閾值函數(shù)在定義域上的不連續(xù)會導(dǎo)致間斷點。故構(gòu)建新的閾值函數(shù):

由以上分析可知，式(8)的漸近線為y=x，即新的閾值函數(shù)是以=ωj，k為漸近線。因此，新閾值函數(shù)既克服了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性，又減小了軟閾值函數(shù)估計小波系數(shù)與含噪小波系數(shù)之間的恒定偏差。

2 算例分析

以某建筑物沉降監(jiān)測點25期監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，其監(jiān)測頻率為每天一次。對前20期數(shù)據(jù)(表1)進行小波閾值去噪處理，建立時間序列模型［11－12］，并預(yù)測未來5期的高程值。

表1 用于建模的實測數(shù)據(jù)Tab.1 Measurement data used for model establishment

采用db2小波對原始數(shù)據(jù)進行2層小波分解。表2為經(jīng)4種小波閾值處理后的信噪比和均方差。對比表2中的信噪比及均方差可知，改進法的信噪比最高，均方差最小，具有更好的去噪效果。

表2 小波閾值去噪信噪比與均方差對比Tab.2 Comparison of SNR and MSE among four kinds of wavelet thresholding

圖1中，軟閾值法由于舍去了較多有用的信號，造成信號失真，數(shù)據(jù)曲線過于平滑;硬閾值法與ZR法的處理結(jié)果反映了原始數(shù)據(jù)的基本特征，但在觀測期數(shù)18～20處其數(shù)據(jù)變化呈上升趨勢，與原始數(shù)據(jù)變化規(guī)律不符;改進法的處理結(jié)果曲線比原始數(shù)據(jù)光滑，且與原始數(shù)據(jù)的變化規(guī)律相一致，去噪效果明顯優(yōu)于其他方法。

令{x1}、{x2}、{x3}、{x4}分別代表由軟閾值法、硬閾值法、ZR法及改進法處理過的數(shù)據(jù)序列，分別建立時序模型。預(yù)測方程如下:

利用式(11)預(yù)測監(jiān)測點未來5期的高程值，如表3所示。由表3可知，改進法時序模型最大預(yù)測誤差的絕對值及其絕對值的平均值最小，預(yù)測精度最高，而其他模型的預(yù)測值波動比較大、精度較低。同時，預(yù)測精度與小波閾值的去噪效果相一致，即數(shù)據(jù)序列的去噪效果越好，其建立的預(yù)測模型可信度越高，模型預(yù)測值越精確，在一定程度上彌補了其精度隨預(yù)測步數(shù)增加而降低的缺陷。

圖1 去噪效果對比Fig.1 Comparison of de-noised effects of four kinds of wavelet thresholding

步數(shù) 實測值/m 軟閾值時序模型 硬閾值時序模型 ZR 55 75 －0.61 10.455 67 －0.54 2 10.455 06 10.454 99 －0.07 10.454 93 0.13 10.454 97 －0.09 10.455 21 －0.15 3 10.454 98 10.454 16 0.82 10.454 41 0.57 10.454 43 0.55 10.454 95 0.03 4 10.454 65 10.454 57 0.08 10.454 97 －0.32 10.454 94 －0.29 10.454 97 －0.32 5 10.454 78 10.456 06 －1.28 10.455 85 －1.07 10.455 88 －1.10 10.455 02 －0.24誤差指標/mm/mm 1 10.455 14 10.455 84 －0.70 10.455 75 －0.61 10.4法時序模型 改進法時序模型預(yù)測值/m 誤差/mm 預(yù)測值/m 誤差/mm 預(yù)測值/m 誤差/mm 預(yù)測值/m 誤差最大絕對值 1.28 1.07 1.10 0.54平均絕對值0.59 0.54 0.53 0.26

由圖2可知，軟閾值時序模型、硬閾值時序模型、ZR法時序模型的預(yù)測值與實測值差距很大，而改進法時序模型在較好地去除觀測噪聲的情況下，得到更接近真實值的數(shù)據(jù)，具有較高的預(yù)測精度。

圖2 各模型預(yù)測值與實測值對比Fig.2 Comparison of predicted values and measured values

3 結(jié)語

變形監(jiān)測數(shù)據(jù)不可避免地含有觀測噪聲，利用小波閾值去噪法建立數(shù)據(jù)分析模型，去除噪聲影響，可提高預(yù)測準確度。顧及門限閾值及閾值函數(shù)選取對去噪效果的影響，并根據(jù)監(jiān)測數(shù)據(jù)及噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性，提出了新的門限閾值估計方法與閾值處理函數(shù)，通過對比現(xiàn)有小波閾值算法信噪比與均方差，驗證了所提方法的優(yōu)越性。

依據(jù)經(jīng)驗及信噪比確定的小波分解層數(shù)會對去噪效果產(chǎn)生不利影響，而現(xiàn)有的小波系數(shù)白噪聲檢驗僅適合于大樣本數(shù)據(jù)，因此，利用小波閾值去噪處理變形監(jiān)測小樣本數(shù)據(jù)時，其最優(yōu)分解層數(shù)的確定有待進一步研究。

1 黃聲享，尹暉，黃征.變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2010.(Huang Shengxiang，Yin Hui，Huang Zheng.Data processing for deformation monitoring［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2010)

2 李明峰，等.基于雙參數(shù)線性化回歸的基坑變形分析與預(yù)報［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2012(2):64 －67.(Li Mingfeng，et al.Deformation monitoring analysis and prediction for foundation pit based on two-parameter linearized regression［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2012(2):64－67)

3 焦明連，蔣延臣.基于小波分析的灰色預(yù)測模型在大壩安全監(jiān)測中的應(yīng)用［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2009，(4):115 －117.(Jiao Minglian，Jiang Yanchen.Application of grey model based on wavelet analysis in dam safety monitoring［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2009(4):115－117)

4 潘國榮，谷川.變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2007(8):47 －50.(Pan Guorong，Gu Chuan.Wavelet neural network prediction method of deformation montoring data［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2007(8):47 －50)

5 王新洲，陶本藻，邱衛(wèi)寧.高等測量平差［M］.北京:測繪出版社，2006.(Wang Xinzhou，Tao Benzao，Qiu Weining.Advanced surveying adjustment［M］.Beijing:Survey and Mapping Press，2006)

6 Donoho D L，Johnstone I M.Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage［J］.Biometrika，1994，81:425 －455.

7 Donoho D L.De-noising by soft-thresholding ［J］.IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3):613 －627.

8 張維強，宋國鄉(xiāng).基于一種新的閾值函數(shù)的小波域信號去噪［J］.西安電子科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2004，31(2):296 － 303.(Zhang Weiqiang，Song Guoxiang.Signal de-noising in wavelet domain based on a new kind of thresholding function ［J］.Journal of Xidian University，2004，31(2):296－303)

9 趙瑞珍，宋國鄉(xiāng)，王紅.小波系數(shù)閾值估計的改進模型［J］.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2001，19(4):625 －628.(Zhao Ruizhen，Song Guoxiang，Wang Hong.Better threshold estimation of wavelet coefficients for improving de-noising ［J］.Journal of Northwestern Polytechnical University，2001，19(4):625－628)

10 任超，沙磊，盧獻健.一種改進小波閾值算法的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)濾波方法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報:信息科學(xué)版，2012，37(7):873 － 875.(Ren Chao，Sha Lei，Lu Xianjian.An adaptive wavelet thresholding de-noising for deformation analysis［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2012，37(7):873 －875)

11 趙燕榮，袁寶遠.基于小波的時序改進法在深基坑監(jiān)測中的應(yīng)用［J］.巖土力學(xué)，2008，29(12):3 381 －3 386.(Zhao Yanrong，Yuan Baoyuan.A method based on time series improvement method of wavelet applied to deep foundation pit monitoring［J］.Rock and Soil Mechanics，2008，29(12):3 381－3 386)

12 隋銘明，陳健，史玉峰.時間序列分析與頻譜分析聯(lián)合用于變形監(jiān)測分析與預(yù)報［J］.工程勘察，2011(11):77－80.(Sui Mingming，Chen Jian，Shi Yufeng.Integration of time series analysis and spectrum analysis and its application in deformation data processing and forecasting［J］.Geotechnical Investigation and Surveying，2011(11):77 －80)

STUDY ON DEFORMATION PREDICTION BASED ON IMPROVED WAVELET THRESHOLD DE-NOISING METHOD

Li Mingfeng1)，Ou Jiangxia1)，Wang Yongming2)，Xie Chen1)and Wang Chun1)
1)Institute of Geo-Spatial Information，Nanjing University of Technology，Nanjing 210009
2)School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan430079

According to the characteristics of deformation data and noise propagation on wavelet transforming in various scales，a new threshold estimation method and threshold processing function are proposed，and applied to establishment of time series model for deformation observation data.The advantage of improved wavelet de-noising method is demonstrated，and the precision of prediction value is higher than that with the conventional methods.

wavelet threshold de-noising;threshold function;wavelet transform;time series;deformation prediction

P207

A

1671-5942(2014)03-0068-04

2013-09-09

國家自然科學(xué)基金項目(41274009);江蘇省研究生科研創(chuàng)新計劃項目(CXLX13_422);南京市科技計劃項目(201101069);江蘇省測繪科研項目(JSCHKY201108)。

李明峰，男，1964年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為變形監(jiān)測與災(zāi)害預(yù)測理論與方法，E－mail:njuter@163.com。