基于MATLAB 優(yōu)化工具箱的機(jī)床主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)

呂緒忠， 何 寧

(陜西理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，陜西漢中 723000)

基于MATLAB 優(yōu)化工具箱的機(jī)床主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)

呂緒忠， 何 寧

(陜西理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，陜西漢中 723000)

基于現(xiàn)代機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)理論，建立了以數(shù)控機(jī)床主軸的體積最小為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。運(yùn)用MATLAB優(yōu)化工具箱對(duì)機(jī)床主軸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使主軸的設(shè)計(jì)在保證其強(qiáng)度、剛度的前提下達(dá)到體積最小的優(yōu)化要求。縮短了機(jī)床主軸的設(shè)計(jì)周期，提高了設(shè)計(jì)效率，從而降低了主軸生產(chǎn)成本。通過對(duì)優(yōu)化結(jié)果的研究和分析，表明該設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單、實(shí)用、效率高，機(jī)床主軸參數(shù)優(yōu)化的結(jié)果合理、可靠。

MATLAB; 機(jī)床主軸; 優(yōu)化設(shè)計(jì)

0引言

主軸是機(jī)床的關(guān)鍵執(zhí)行部件，起到傳遞運(yùn)動(dòng)和扭矩、承受切削抗力的作用，并對(duì)工件表面的加工質(zhì)量、機(jī)床的加工精度和生產(chǎn)效率有很大影響。因此，要求主軸具有良好的回轉(zhuǎn)精度，較高的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度、抗振性。MATLAB優(yōu)化工具箱提供了對(duì)各種優(yōu)化問題的一個(gè)完整的解決方案，其函數(shù)表達(dá)簡(jiǎn)潔、優(yōu)化結(jié)果準(zhǔn)確、可靠。因此，MATLAB優(yōu)化工具箱已被廣泛應(yīng)用于各種結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中。

本文運(yùn)用MATLAB工具箱對(duì)主軸的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，既克服了以往設(shè)計(jì)方法中的盲目性，又提高主軸的設(shè)計(jì)效率和質(zhì)量。

1 建立數(shù)控機(jī)床主軸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

本文以數(shù)控車床主軸為例，對(duì)機(jī)床主軸進(jìn)行優(yōu)化，為了便于對(duì)階梯軸進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，常常將空心階梯主軸簡(jiǎn)化為用當(dāng)量直徑表示的等截面軸(如圖1所示)。機(jī)床主軸的輸入功率P=120 kW，主軸的轉(zhuǎn)速n=1 000 r/min，主軸內(nèi)徑d=30 mm，主軸的懸臂端受到的切削力F=15 000 N，許用撓度［y0］ =0.04 mm，許用單位扭轉(zhuǎn)角［Φ］ =0.000 25(°)/mm，主軸的許用應(yīng)力［σ］ =37.5 MPa。要求主軸外徑為60 mm≤D≤140 mm，兩支承跨度為300 mm≤L≤650 mm，懸臂段長度為90 mm≤a≤150 mm。從機(jī)床主軸制造成本較低、工作能力較強(qiáng)及加工精度較高的要求出發(fā)，需要考慮主軸的體積、強(qiáng)度、剛度這樣3個(gè)重要因素，對(duì)于一般的機(jī)床來說，并不追求過高的加工精度，因此，應(yīng)該以主軸的體積最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)，將主軸的強(qiáng)度、剛度等作為約束條件。

1.1 確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)

與主軸體積有關(guān)的設(shè)計(jì)變量包括主軸的內(nèi)徑d、外徑D、兩支撐跨度L及外伸段長度a，如圖1所示。

圖1 機(jī)床主軸力學(xué)模型

由于機(jī)床主軸的內(nèi)徑主要取決于待加工棒料的直徑，故不作為設(shè)計(jì)變量處理。因此，設(shè)計(jì)變量為:

機(jī)床主軸體積最小優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為

1.2 約束條件

1.2.1 主軸強(qiáng)度約束條件

在切削加工中，主軸的最大工作應(yīng)力不得超過許用應(yīng)力［σ］，則有:

式中T為機(jī)床主軸所受最大扭矩，M為機(jī)床主軸所受最大彎矩，W為抗彎截面模量。

整理得到主軸強(qiáng)度的約束條件:

1.2.2 主軸彎曲剛度約束條件

工件的加工質(zhì)量在很大程度上取決于機(jī)床主軸的剛度。因此，要求主軸懸臂端撓度不得超過許用撓度［y0］。由材料力學(xué)可知，主軸懸臂端撓度絕對(duì)值最大:

1.2.3 主軸扭轉(zhuǎn)剛度約束條件

機(jī)床在正常工作時(shí)，除要求主軸有足夠的強(qiáng)度和彎曲剛度外，還要求主軸不能產(chǎn)生過大的扭轉(zhuǎn)變形，即要求主軸具有一定的扭轉(zhuǎn)剛度。如果主軸的扭轉(zhuǎn)剛度不足，將會(huì)降低機(jī)床的加工精度或產(chǎn)生劇烈的振動(dòng)，影響機(jī)床的正常工作。因此，要求主軸最大單位扭轉(zhuǎn)角不得超過許用的單位扭轉(zhuǎn)角［Φ］。即:

式中:G為主軸材料的剪切彈性模量，G=8.0×104MPa;Ipmin為主軸的最小極慣性矩。整理得到主軸扭轉(zhuǎn)剛度的約束條件:

1.2.4 結(jié)構(gòu)條件(邊界條件)

邊界約束條件為設(shè)計(jì)變量的取值范圍，即

由此確定的邊界約束為:

1.3 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

將所有函數(shù)表達(dá)式整理得到:

2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的分析與求解

根據(jù)建立的機(jī)床主軸優(yōu)化模型，利用MATLAB優(yōu)化工具箱對(duì)主軸結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，fmincon是MATLAB中求解多維非線性約束問題的函數(shù)，其數(shù)學(xué)模型為:

函數(shù)fmincon的調(diào)用格式為:

其中，x_opt和f_opt分別是返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解及在最優(yōu)解x點(diǎn)處的函數(shù)值;

jcz_f是調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名;

M文件的運(yùn)行結(jié)果如下:

3 優(yōu)化結(jié)果分析

使用MATLAB工具箱中的約束非線性優(yōu)化函數(shù)fmincon求解，取可行域內(nèi)的初始點(diǎn)向量x(0)=(500，100，120)T，采用內(nèi)點(diǎn)算法，經(jīng)過16次迭代計(jì)算收斂，在可行域內(nèi)得到目標(biāo)函數(shù)的極小值點(diǎn)和機(jī)床主軸體積最優(yōu)值得到的極小值點(diǎn)能夠滿足各約束條件，所以、和是可行域內(nèi)使機(jī)床主軸體積最小的最佳參數(shù)值。

4結(jié)語

運(yùn)用MATLAB優(yōu)化工具箱對(duì)機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，編程少，計(jì)算度快，并且結(jié)果準(zhǔn)確、可靠，大大提高了機(jī)床主軸的設(shè)計(jì)效率。從優(yōu)化計(jì)算結(jié)果可以看出，通過MATLAB的優(yōu)化計(jì)算可以使機(jī)床主軸的強(qiáng)度、剛度完全滿足設(shè)計(jì)的要求，同時(shí)也可以減小機(jī)床主軸的體積，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化的目的，這對(duì)于提高設(shè)計(jì)效率、降低成本具有重要意義。

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［責(zé)任編輯:張存鳳］

Optimal design of main axle of machine tool based on MATLAB optimization toolbox

LV Xu-zhong，HE Ning
(School of Mechanical Engineering，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，China)

The design set up a theoptimal mathematical model to machine spindle of NC machine tool on volume minimum as objective function based on the modern theory of mechanical optimization design.MATLAB optimization toolbox is used for optimal design of NC machine tool spindle.It makes the main spindle smallest on the premise of guarantee the strength and stiffness.At the same time，the design cycle of the machine tool spindle is shortened ，and the efficiency of the spindle design is improved，thus it achieves the goal of reducing the cost of the spindle.The research and analysis of the optimization results，suggest that the design method is simple，practical，highly efficient and spindle parameters optimization result is reasonable and reliable.

MATLAB; machine spindle; optimization design

TH122

A

1673-2944(2014)05-0006-05

2014-06-02

陜西省工業(yè)攻關(guān)項(xiàng)目(2009K07-09)

呂緒忠(1987—)，男，山東省聊城市人，陜西理工學(xué)院碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械裝備的設(shè)計(jì)與制造;［通信作者］何寧(1955—)，男，陜西省漢中市人，陜西理工學(xué)院教授，碩士研究生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械裝備的設(shè)計(jì)與制造、機(jī)電傳動(dòng)控制技術(shù)。