考慮路面不平整度因素的車路耦合振動模型的建立

許海亮，袁 勇，屈鐵軍，唐浚然

（1．北方工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100144；2．同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092）

車輛與道路的相互作用問題，包括車輛和道路兩個系統(tǒng)的研究，是一個新的研究領(lǐng)域。車輛在路面不平整度的激勵下產(chǎn)生振動，這種振動反過來又作用于道路結(jié)構(gòu)，引起道路結(jié)構(gòu)的變形，進(jìn)而又加劇了車輛的振動，因此必須把車路作為一個大的系統(tǒng)進(jìn)行研究。路面不平整度作為一個隨機(jī)的激勵，使整個系統(tǒng)的研究要置于隨機(jī)振動的理論范疇內(nèi)來進(jìn)行。

目前，不管是車輛方面還是道路結(jié)構(gòu)方面的隨機(jī)振動研究，都將車輛和道路系統(tǒng)分離進(jìn)行。對于道路方面的研究主要采用兩種方式：①利用車輛模型，研究路面隨機(jī)不平整度激勵下車輛的振動，并計算出車輛對路面結(jié)構(gòu)的動力荷載，再以該荷載來研究路面結(jié)構(gòu)的響應(yīng)［1－3］；②直接假定某種波動荷載為模擬的車輛荷載進(jìn)行道路結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)研究［4－5］。上述方法都沒有完全反映出車路耦合振動的實(shí)際狀況，有鑒于此，有必要對車路相互作用系統(tǒng)的振動響應(yīng)作深入的研究。

1 傳統(tǒng)車路道路模型

以往的研究認(rèn)為，道路在車輛荷載作用下的變形較小，相對于路面不平整度引起的車輛振動來說可以忽略，因此對于車輛動荷載的研究均以車輛模型為基礎(chǔ)。研究中應(yīng)用較廣的模型是四分之一車輛模型［3，6－7］，如圖 1所示。

傳統(tǒng)模型研究的主要思路：利用四分之一車輛模型，研究車輛在路面不平整度下的隨機(jī)振動可以得到車輛對路面的動荷載，進(jìn)而作為道路振動響應(yīng)研究的輸入。

傳統(tǒng)模型將車輛和道路分開考慮，在隨機(jī)振動分析中將路面假設(shè)為剛性，即道路系統(tǒng)不參與振動，這與實(shí)際情況是不符的。對于隨機(jī)振動問題，是否考慮車路的耦合效應(yīng)，勢必會影響各振動自由度的頻率分布，頻率分布的改變對振幅的影響是不容忽視的，因此有必要就車路耦合效應(yīng)對系統(tǒng)振動的影響作深入的對比分析研究。

圖1 四分之一車輛模型Fig．1 Quarter vehicle model

2 車路耦合線彈性模型的建立及求解

2.1 車路耦合線彈性模型

鑒于傳統(tǒng)研究模型當(dāng)中的不足，本文在傳統(tǒng)振動模型的基礎(chǔ)上引入了道路結(jié)構(gòu)體系，建立了新的車路耦合振動線性模型。在模型中道路結(jié)構(gòu)中的路面和路基被分別看成一個整體參與振動，采用質(zhì)量－彈簧－阻尼元件進(jìn)行模擬。為了考慮道路結(jié)構(gòu)中相鄰質(zhì)量塊間的影響，在模型中引入了剪切彈簧和剪切阻尼元件，模型如圖2所示。

圖2 車路耦合線性模型Fig．2 The linear model of vehicle-pavement coupling system

圖2中：M1為懸掛系統(tǒng)（車架、載重）的質(zhì)量；M2為非懸掛系統(tǒng)（輪胎、輪軸）的質(zhì)量；M3為路面系統(tǒng)的質(zhì)量；M4為路基系統(tǒng)的質(zhì)量；K1為懸掛系統(tǒng)剛度；K2為非懸掛系統(tǒng)剛度；K3為路面系統(tǒng)剛度；K4為路基系統(tǒng)剛度；KV3為路面系統(tǒng)中剪切剛度；KV4為路基系統(tǒng)中剪切剛度；C1為懸掛系統(tǒng)阻尼；C2為非懸掛系統(tǒng)阻尼；C3為路面系統(tǒng)阻尼；C4為路基系統(tǒng)阻尼；CV3為路面系統(tǒng)剪切阻尼；CV4為路基系統(tǒng)剪切阻尼；Z1為懸掛系統(tǒng)與非懸掛系統(tǒng)的相對位移；Z2為非懸掛系統(tǒng)與路面的相對位移；Z3為路面系統(tǒng)與路基系統(tǒng)的相對位移；Z4為路基系統(tǒng)與基準(zhǔn)面的相對位移；δ（t）為路面不平整度。

2.2 車路耦合模型隨機(jī)振動求解

由D’A lembert原理，車路耦合線性模型的振動方程為：

整個系統(tǒng)的振動微分方程可以用矩陣形式表達(dá)為：

根據(jù)隨機(jī)振動相關(guān)理論，激勵與響應(yīng)間存在如下關(guān)系：

式中，δj（ω）、Zi（ω）分別為激勵和響應(yīng)的頻率函數(shù)；Hij（ω）為頻率響應(yīng)函數(shù)，對于單一激勵輸入可簡記為Hi（ω）。

對（5）式進(jìn)行Fourier變換，并利用（6）式可以得到Hi（ω）（i＝1，2，3，4）。

依據(jù)隨機(jī)振動理論，激勵的功率譜密度函數(shù)Sδ（ω），和響應(yīng)函數(shù)的功率譜密度 SZ（ω）間有如下關(guān)系：

同時可以得到：

式中 Si′（ω）和 Si″（ω）分別為響應(yīng)函數(shù)的速度譜密度函數(shù)和加速度譜密度函數(shù)。

以上求解得到了振動系統(tǒng)在相對坐標(biāo)下的響應(yīng)函數(shù)，對于絕對坐標(biāo)下的響應(yīng)可依據(jù)隨機(jī)振動相關(guān)理論利用相對坐標(biāo)下的響應(yīng)函數(shù)推導(dǎo)得出。

以車輛懸掛系統(tǒng)質(zhì)量單元為例，設(shè)其絕對位移函數(shù)為 y1（t），根據(jù)定義有：

依據(jù)相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的相關(guān)定理有：

式中：SZ1表示 SZ1（ω），在不引起混淆的情況下簡記為SZ1。

以上推導(dǎo)了車輛懸掛系統(tǒng)質(zhì)量單元的絕對位移函數(shù)為y1（t）和功率譜密度函數(shù)Sy1（ω）的表達(dá)式，同理也可以求得系統(tǒng)中其它質(zhì)量單元的絕對位移函數(shù)和功率譜密度函數(shù)。

2．3 路面不平整度模型

目前有多種典型路面的譜密度表達(dá)式，本文采用如下形式［8－9］：

式中，Ω0為參考空間頻率，Ω0＝0．1c／m。Gq（Ω0）為參考空間頻率下的路面功率譜密度值，稱為路面不平度系數(shù)。W為頻率指數(shù)，在雙對數(shù)坐標(biāo)上功率譜曲線為一條斜線，一般取W＝2。

設(shè)汽車的行駛速度為v，路面不平度的空間頻率Ω，圓頻率ω，自然頻率f間存在如下關(guān)系：

綜合式（12）、（13）、（14）可得：

3 車路耦合模型的試驗驗證

文獻(xiàn)［10］對車輛與路面間的相互作用進(jìn)行了現(xiàn)場試驗研究，通過在試驗車輛的前后軸頭處設(shè)置加速度傳感器來測量輪軸處的加速度值，試驗裝置布置如圖3所示。表1和圖4分別給出了試驗的試驗參數(shù)和測量結(jié)果。

表1 現(xiàn)場試驗參數(shù)［10］Tab．1 The parameters in field test

圖3 車輛軸頭處傳感器布置［10］Fig．3 The sensor disposition at car axle

從圖4中可以看出，車輛軸頭處（即車輛非懸掛系統(tǒng)）加速度頻譜中共有兩個顯著的峰值，第一個峰值出現(xiàn)在2．3 Hz附近，幅值為0．317，第二個峰值出現(xiàn)在17．5 Hz附近，幅值為0．385。

利用本文所提出的車路耦合隨機(jī)振動模型對試驗進(jìn)行了模擬，考慮試驗地點(diǎn)為高速公路，模擬計算采用了A級路面的路面譜；其它參數(shù)取值為：M1＝12．98×103kg，M2＝5．0×102kg，M3＝3．5×102kg，M4＝1．5×103kg，K1＝5．0×105N／m，K2＝1．5×106N／m，K3＝1．0×109N／m，K4＝2．5×107N／m，KV3＝1．0×108N／m，KV4＝4．0×105N／m，C1＝1．5×104N·s／m，C2＝5．0×103N·s／m，C3＝3．0×104N·s／m，C4＝5．0×103N·s／m，CV3＝2．0×104N·s／m，CV4＝3．0×103N·s／m，v＝70 km／s（道路部分的取值參考道路相關(guān)參數(shù)，并考慮了對實(shí)際應(yīng)力擴(kuò)散的修正）。

計算車輛非懸掛系統(tǒng)的加速度頻譜如圖5所示。

圖4 后輪軸加速度功率譜［10］Fig．4 Acceleration power spectral density of rear axle

圖5 耦合模型模擬結(jié)果Fig．5 Simulation result using the coupling model

圖6 車輛懸掛系統(tǒng)垂向加速度功率譜對比圖Fig．6 Vertical acceleration power spectral density comparison diagram of vehicle suspension system

由車路耦合模型模擬結(jié)果可以看出，車輛非懸掛系統(tǒng)也出現(xiàn)了兩個明顯的峰值，第一個峰值出現(xiàn)在2 Hz附近，幅值為0．26，第二個峰值出現(xiàn)在20 Hz附近，幅值為0．98。對比圖4和圖5可以發(fā)現(xiàn)，耦合模型計算結(jié)果能夠反映出車輛的主要振動情況，與實(shí)測資料能夠較好的吻合，幅值上的差別主要是由模型簡化、車輛參數(shù)、路面不平整度的輸入均會與實(shí)際情況出現(xiàn)偏差，同時測量過程也會出現(xiàn)誤差所造成。但是從總體的趨勢上說，車路耦合模型計算結(jié)果和實(shí)測資料吻合的相當(dāng)好。

利用本文提出的耦合模型對試驗中的其它成果進(jìn)行模擬也得到了很好的吻合，這有力的證明了本文所提出的耦合模型的正確性。

4 車路耦合模型與傳統(tǒng)模型的對比分析

車路耦合模型將車輛和道路作為一個大的系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)振動研究，能夠較好的反映出車輛和路面真實(shí)的振動情況。鑒于目前傳統(tǒng)模型在研究中應(yīng)用較為廣泛，本文將車路耦合模型和傳統(tǒng)模型進(jìn)行對比分析以界定出各自的適用范圍。

考慮到加速度是目前評價車輛自由度振動的主要指標(biāo)，本文研究了模型中各自由度的加速度功率譜密度函數(shù)，同時為便于分析，各函數(shù)圖形均表達(dá)為自然頻率f的形式。計算過程中取C級路面的功率譜，耦合模型和傳統(tǒng)模型所取相應(yīng)參數(shù)均相同。選擇計算參數(shù)如下：M1＝4．5×103kg，M2＝5．0×102kg，M3＝3．5×102kg，M4＝1．5×103kg，K1＝5．0×105N／m，K2＝1．5×106N／m，K3＝1．0×109N／m，K4＝2．5×107N／m，KV3＝1．0×108N／m，KV4＝4．0×105N／m，C1＝1．5×104N·s／m，C2＝5．0×103N·s／m，C3＝3．0×104N·s／m，C4＝5．0×103N·s／m，CV3＝2．0×104N·s／m，CV4＝3．0×103N·s／m，v為 30 m／s。

圖6～圖8分別為耦合模型和傳統(tǒng)模型中車輛懸掛系統(tǒng)、車輛非懸掛系統(tǒng)的加速度功率譜對比圖以及車輛道路間作用力的功率譜密度對比圖。

圖7 車輛非懸掛系統(tǒng)垂向加速度功率譜對比圖Fig．7 Vertical acceleration power spectral density comparison diagram of vehicle non-suspension system

圖8 車輛道路間作用力功率譜對比圖Fig．8 Power spectral density comparison diagram of the forces between vehicle and pavement

從圖6～圖8中可以分析得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：

（1）圖6為車輛懸掛系統(tǒng)垂向加速度功率譜對比圖，從圖中可以看出耦合模型和傳統(tǒng)模型中的曲線幾乎完全重合，振幅峰值均出現(xiàn)在1．5Hz左右，這就意味著車路耦合效應(yīng)對于車體懸掛系統(tǒng)（車體的主要部位）的振動影響不大。道路路面在車輛荷載下的變形通常是毫米量級，路面變形的影響對車輛主體的振動影響可忽略不計，所以車輛部門針對車輛振動的研究未考慮道路振動影響的方法是可行的。

（2）圖7為車輛非懸掛系統(tǒng)垂向加速度功率譜對比圖，可以看出耦合模型和傳統(tǒng)模型中非懸掛系統(tǒng)的振動變化很大。耦合模型中非懸掛系統(tǒng)主要能量分布在1．5 Hz和20 Hz兩處；而傳統(tǒng)模型中只有一個峰值出現(xiàn)在10 Hz附近。通過與實(shí)測資料對比，利用傳統(tǒng)模型計算得到的總體趨勢與實(shí)測資料相差很大，而耦合模型所得總體趨勢與實(shí)測資料吻合得較好。分析其具體原因，可以看出車輛非懸掛系統(tǒng)振動不僅受車輛懸掛系統(tǒng)的影響，而且受道路結(jié)構(gòu)振動的影響也比較明顯。

（3）圖8對比了耦合模型和傳統(tǒng)模型中車輛道路間作用力的功率譜圖，從圖中可以看出兩個模型計算得出的作用力峰值均出現(xiàn)在1．5 Hz左右，與車輛懸掛系統(tǒng)的振動頻率相近，符合車輛道路間作用力主要受車體懸掛系統(tǒng)影響的規(guī)律，這也間接證實(shí)了耦合模型計算的正確性。但是兩者的振動幅值相差甚大，耦合模型中車輛道路間作用力的振幅峰值是傳統(tǒng)模型的8倍多。若按照隨機(jī)作用力的最大值為3σ（σ為均方差）來評估，耦合模型中車輛道路間作用力的最大值是傳統(tǒng)模型的2．4倍（注：這里的作用力是中心化的，不包括車輛的靜載作用力，以下同）。由此可見，車輛道路間的作用力受車路耦合效應(yīng)影響較大，以往研究中考慮到道路的變形相對于路面不平整度來說量值較小而忽略車輛耦合效應(yīng)的方法對于車輛道路間作用力帶來的誤差不容忽視。追究兩模型所得數(shù)值相差較大的原因，發(fā)現(xiàn)考慮道路的耦合效應(yīng)后，車輛非懸掛系統(tǒng)的振動頻率發(fā)生了變化，其中一處振動峰值頻率與懸掛系統(tǒng)頻率相近，在該頻率處車輛的懸掛系統(tǒng)和非懸掛系統(tǒng)發(fā)生了共振，從而使車輛道路間作用力的幅值成倍增大。

5 結(jié) 論

（1）建立了車路耦合線彈性模型，經(jīng)實(shí)測數(shù)據(jù)驗證該模型能夠很好的反應(yīng)車路耦合系統(tǒng)的振動情況。雖然數(shù)學(xué)上建立更為復(fù)雜的車路耦合模型不存在任何困難，但是本文建立的模型形式簡單，計算方便，能夠很好的反映實(shí)際振動情況，有很高的研究應(yīng)用價值。

（2）利用車路耦合模型和傳統(tǒng)模型進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)車路耦合效應(yīng)對于車輛懸掛系統(tǒng)的振動影響較??；對于車輛的非懸掛系統(tǒng)及車路間作用力影響較大，因此考察非懸掛系統(tǒng)的振動以及路面結(jié)構(gòu)所受的隨機(jī)動荷載不能忽視車路耦合的影響。

（3）利用車路耦合模型研究了車路耦合效應(yīng)對車路間隨機(jī)動荷載的影響，發(fā)現(xiàn)耦合效應(yīng)對車路間動荷載的影響不容忽視，實(shí)際算例顯示耦合效應(yīng)下車路間最大作用力（中心化）是不考慮耦合效應(yīng)的2．4倍。

（4）分析車路耦合效應(yīng)對車輛道路間隨機(jī)動荷載影響較大的原因，發(fā)現(xiàn)考慮車路耦合效應(yīng)后，車輛非懸掛系統(tǒng)的振動頻率分布發(fā)生了變化，使其在車輛懸掛系統(tǒng)主振頻率處出現(xiàn)共振，從而使車路間隨機(jī)動荷載幅值比不考慮耦合幅值成倍增加。

（5）該模型雖考慮了車路耦合效應(yīng)的影響，但并沒有反映出車輛跳動與路面分離這一工況，還需要在今后的研究工作中進(jìn)一步完善。

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