基于雙共振的渦街信號(hào)檢測方法

鄭 俊，林 敏

（中國計(jì)量學(xué)院 計(jì)量測試工程學(xué)院，杭州 310018）

自Benzi等［1］提出隨機(jī)共振以來，基于隨機(jī)共振的微弱信號(hào)檢測技術(shù)已經(jīng)在生物醫(yī)學(xué)、光學(xué)、機(jī)械設(shè)備故障檢測等領(lǐng)域中獲得了廣泛應(yīng)用［2－4］。隨機(jī)共振是一種非線性現(xiàn)象，在輸入弱周期信號(hào)和噪聲的共同作用下，非線性系統(tǒng)的輸出信噪比會(huì)隨著噪聲強(qiáng)度的變化而呈現(xiàn)出先增大后減小的非單調(diào)變化。目前，在微弱信號(hào)檢測與處理中，常規(guī)的信號(hào)處理方法的目標(biāo)均集中在如何抑制噪聲上，如相關(guān)檢測、時(shí)域平均、FFT譜分析等。然而，當(dāng)噪聲頻率與信號(hào)頻率相近或重合時(shí)，常規(guī)的微弱信號(hào)檢測方法便無能為力。與各種抑制噪聲的傳統(tǒng)微弱信號(hào)檢測方法相反，隨機(jī)共振是利用噪聲來增強(qiáng)系統(tǒng)的輸出信噪比，從而檢測出微弱信號(hào)［5－6］。

作為隨機(jī)共振走向應(yīng)用的關(guān)鍵，隨機(jī)共振的控制也已成為研究熱點(diǎn)。隨機(jī)共振控制就是通過各種控制手段有目的地產(chǎn)生或增強(qiáng)隨機(jī)共振效果，從而產(chǎn)生某些特定性質(zhì)的隨機(jī)共振輸出響應(yīng)。研究隨機(jī)共振的經(jīng)典非線性系統(tǒng)模型是雙穩(wěn)系統(tǒng)［7－9］，雙穩(wěn)系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單，便于理論分析的優(yōu)點(diǎn)，只有當(dāng)雙穩(wěn)系統(tǒng)、周期信號(hào)與噪聲這三者的相關(guān)參數(shù)存在一定的匹配關(guān)系時(shí)才能產(chǎn)生隨機(jī)共振。但在實(shí)際應(yīng)用中，雙穩(wěn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)往往固定，輸入信號(hào)和噪聲也是給定的，不能通過改變其勢(shì)壘高度或閾值以實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振控制。

將兩個(gè)單一雙穩(wěn)系統(tǒng)通過非線性耦合方法耦合成一個(gè)多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，將其中一個(gè)雙穩(wěn)系統(tǒng)作為參數(shù)固定的被控系統(tǒng)，另一雙穩(wěn)系統(tǒng)當(dāng)作參數(shù)可調(diào)的控制系統(tǒng)。與單一雙穩(wěn)系統(tǒng)相比，耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)具有靈活的隨機(jī)共振控制方法［10］。

本文研究了耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)在控制信號(hào)作用下的雙共振特性，通過分析控制信號(hào)頻率對(duì)雙共振的影響，提出了基于雙共振的隨機(jī)共振增強(qiáng)方法。將該方法應(yīng)用于實(shí)測的渦街流量信號(hào)檢測中，分別選取小流量渦街信號(hào)與強(qiáng)背景噪聲干擾下的大流量渦街信號(hào)進(jìn)行檢測，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，控制信號(hào)作用后耦合系統(tǒng)存在的雙共振現(xiàn)象能大幅增強(qiáng)隨機(jī)共振效果，系統(tǒng)輸出功率譜在特征頻率處的譜值顯著提高，從而能夠準(zhǔn)確檢測出強(qiáng)噪聲背景中的渦街信號(hào)頻率。

1 耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)雙共振特性

研究隨機(jī)共振的經(jīng)典模型可由如下單一雙穩(wěn)系統(tǒng)所描述的方程表示

式中，V（x）＝－ax2／2＋bx4／4，為雙穩(wěn)系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)。a，b為雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)。A cos（ω·t）是外界作用到系統(tǒng)中的弱周期信號(hào)，其中ω是周期信號(hào)的頻率，幅值A(chǔ)1。ξ（t）是滿足〈ξ（t）〉＝0，〈ξ（t）ξ（t′）〉＝2Dδ（t－t′）的高斯白噪聲，其中D為噪聲強(qiáng)度。

引入另一個(gè)受周期信號(hào)作用的雙穩(wěn)系統(tǒng)（a0yy3），通過非線性耦合方式，將這兩個(gè)單一雙穩(wěn)系統(tǒng)耦合成一多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，則控制信號(hào)作用下的耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)可由如下方程［11］來表示

式（2）所描述的耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)的靜態(tài)勢(shì)函數(shù)為U（x，y）＝－ax2／2＋bx4／4－a0y4／2＋y4／4＋rx2y2／2，r為耦合系數(shù)。將（ax－bx3）當(dāng)作被控雙穩(wěn)系統(tǒng)，則（a0y－y3）可作為控制雙穩(wěn)系統(tǒng)。x（t）為被控系統(tǒng)變量，輸入的外界弱周期信號(hào)與噪聲均是作用到被控系統(tǒng)中，因此隨機(jī)共振也只在被控系統(tǒng)中產(chǎn)生；y（t）為控制系統(tǒng)變量，控制信號(hào)B cos（Ωt＋）作用到控制系統(tǒng)中，控制變量y（t）的改變會(huì)直接引起勢(shì)函數(shù)U（x，y）的變化，進(jìn)而改變系統(tǒng)勢(shì)壘高度，影響被控系統(tǒng)中的隨機(jī)共振。

當(dāng)控制信號(hào)幅值B＝0時(shí)，考慮僅在耦合作用下時(shí)耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振特性。根據(jù)隨機(jī)共振的線性響應(yīng)理論［12］，（2）式中被控系統(tǒng)方程的穩(wěn)態(tài)解可表示如下

式中X為系統(tǒng)的響應(yīng)幅值。將上式代入（2）式中第二個(gè)方程，并對(duì)方程求解，當(dāng)t→∞時(shí)，可得y（t）穩(wěn)態(tài)解為

進(jìn)一步簡化［13］有

因此，當(dāng)沒有外加控制信號(hào)，僅在耦合作用下時(shí)，耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)中的控制系統(tǒng)變量 y（t）將會(huì)在2附近做小幅波動(dòng)，其波動(dòng)頻率2ω由外界輸入的弱周期信號(hào)頻率ω所決定。這是耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)所固有的特性。

當(dāng)控制信號(hào)B≠0時(shí)，控制信號(hào)作用下的控制系統(tǒng)方程可改寫為

控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)勢(shì)函數(shù)為

即y（t）在y1或y2附近以頻率Ω作受迫振動(dòng)。

由于耦合的作用，y（t）是以頻率為2ω做小幅波動(dòng)。當(dāng)外加的控制信號(hào) B cos（Ωt＋）的頻率 Ω與 y（t）的固有振動(dòng)頻率2ω相近或相等時(shí)，就會(huì)在控制系統(tǒng)中產(chǎn)生共振，引起y（t）大幅波動(dòng)，進(jìn)而直接改變耦合系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)和勢(shì)壘高度，從而影響被控系統(tǒng)中的隨機(jī)共振。

因此，對(duì)于外加控制信號(hào)作用下的耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)，改變控制信號(hào)頻率將會(huì)使耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)中產(chǎn)生雙共振現(xiàn)象，即控制系統(tǒng)中的共振與被控系統(tǒng)中的隨機(jī)共振。在耦合作用下，共振可影響與控制隨機(jī)共振。

對(duì)（2）式中的耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)方程采用四階龍格－庫塔算法對(duì)其數(shù)值求解，計(jì)算時(shí)間步長0．02。取被控系統(tǒng)參數(shù)a＝1，b＝1，控制系統(tǒng)參數(shù)a0＝1，耦合系數(shù)r＝0．5。作用到被控系統(tǒng)上的弱周期信號(hào)幅值A(chǔ)＝0．1，頻率 ω＝2π·f0＝2π·0．01，噪聲強(qiáng)度 D＝0．15。作用到控制系統(tǒng)中的控制信號(hào)的幅值和相位分別取B＝0．06，＝0．4π。通過連續(xù)改變控制信號(hào)的頻率Ω（Ω＝2π·f），得到圖1所示的被控系統(tǒng)輸出信噪比SNR隨控制信號(hào)頻率的變化曲線。由圖可知，隨著f的改變，被控系統(tǒng)輸出的信噪比也隨之改變，當(dāng)f＝2f0＝0．02 Hz時(shí)，系統(tǒng)輸出信噪比具有一個(gè)顯著突出的峰值，表明此時(shí)隨機(jī)共振最強(qiáng)烈。數(shù)值仿真與理論分析完全一致，當(dāng)控制信號(hào)頻率2倍于被控系統(tǒng)中弱周期信號(hào)頻率時(shí)，耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)處于雙共振狀態(tài)，控制系統(tǒng)中的共振大幅增強(qiáng)了被控系統(tǒng)中的隨機(jī)共振。

圖1 信噪比隨控制信號(hào)頻率變化曲線Fig．1 The curve of SNR by changing control signal’s frequency

2 基于雙共振的頻率檢測方法

對(duì)于式（2）所確定的耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)，當(dāng)被控系統(tǒng)在弱周期信號(hào)與噪聲的作用下，將會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)共振；給控制系統(tǒng)外加控制信號(hào)，改變其頻率大小能使控制系統(tǒng)產(chǎn)生共振。由于耦合的作用，控制系統(tǒng)中的共振能影響并增強(qiáng)被控系統(tǒng)中的隨機(jī)共振。提出一種基于雙共振的頻率檢測方法，該方法的檢測原理框圖如圖2所示，具體檢測過程如下：

圖2 雙共振頻率檢測原理框圖Fig．2 The framework of frequency detection based on dual-resonance

（1）將被測信號(hào) A cos（ωt）與噪聲 ξ（t）作為輸入項(xiàng)，輸入至參數(shù)固定的被控系統(tǒng)x·＝ax－bx3中，選取合適的耦合系數(shù)r與控制系統(tǒng)參數(shù)a0，使被控系統(tǒng)在被測信號(hào)與噪聲的協(xié)同作用下產(chǎn)生隨機(jī)共振。

（2）向控制系統(tǒng)y·＝ay－y3中外加頻率可調(diào)的控制信號(hào)B cos（Ωt＋φ），通過連續(xù)調(diào)節(jié)控制信號(hào)頻率Ω，當(dāng)Ω＝2ω時(shí)，外加信號(hào)頻率與被控系統(tǒng)固有振動(dòng)頻率相同，控制系統(tǒng)中將會(huì)產(chǎn)生共振。

（3）通過耦合作用r，控制系統(tǒng)中的共振將會(huì)影響被控系統(tǒng)的隨機(jī)共振，輸出信號(hào)x（t）的功率譜圖中特征頻率處的功率譜值增大，隨機(jī)共振效果增強(qiáng)，從而檢測出被測信號(hào)頻率。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

渦街流量計(jì)是基于卡門渦街原理設(shè)計(jì)而成的流體振動(dòng)型流量計(jì)，已經(jīng)在氣體、液體等流量的測量中得到廣泛應(yīng)用。由于其振動(dòng)頻率與流速成正比關(guān)系，因此準(zhǔn)確檢測出流體振動(dòng)頻率是渦街流量計(jì)應(yīng)用的關(guān)鍵。但在現(xiàn)場使用中，各種設(shè)備振動(dòng)尤其管道振動(dòng)而引起的噪聲干擾會(huì)降低測量精度，影響了渦街流量計(jì)的測量下限。渦街流量計(jì)的輸出信號(hào)由兩部分組成：一是因流體流過渦街發(fā)生體而產(chǎn)生的正弦周期性渦街信號(hào)，二是因各種其他干擾如振動(dòng)、湍流脈動(dòng)而產(chǎn)生的噪聲信號(hào)。當(dāng)噪聲干擾較強(qiáng)或在小流量的測量中，常規(guī)的渦街信號(hào)分析處理方法有時(shí)甚至?xí)o法準(zhǔn)確獲得渦街頻率，影響了渦街流量計(jì)的正常使用。

利用該方法分別對(duì)實(shí)測的小流量渦街信號(hào)與強(qiáng)噪聲干擾下的大流量信號(hào)進(jìn)行檢測。由于待測的渦街信號(hào)頻率fd1，不滿足隨機(jī)共振線性響應(yīng)理論所要求的小參數(shù)條件，所以先將采集到的原始渦街信號(hào)進(jìn)行變尺度預(yù)處理［15］，經(jīng)耦合系統(tǒng)隨機(jī)共振處理后再進(jìn)行尺度恢復(fù)。

3.1 小流量渦街信號(hào)檢測

實(shí)驗(yàn)采集流速為4．01 m3／h的小流量渦街信號(hào)，采樣頻率fs＝5 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N＝16 384。圖3為渦街信號(hào)的時(shí)域波形圖及功率譜圖，由于小流量時(shí)渦街頻率很低，背景噪聲相對(duì)較大，因此無論時(shí)域圖還是功率譜圖中均無明顯的渦街特征信息。設(shè)置采樣壓縮比R＝500，經(jīng)耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振處理后再進(jìn)行尺度恢復(fù)。耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù) a＝1，b＝1，a0＝0．8，r＝0．6。

圖4（a）為僅有耦合作用時(shí)（控制信號(hào)B＝0）的耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出功率譜圖。由圖可知，僅在耦合作用下，耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)中已產(chǎn)生隨機(jī)共振，但系統(tǒng)輸出功率譜在特征頻率 fr＝0．020 14 Hz處的譜峰值僅為0．010 31，且有他頻率成分的干擾，檢測效果不好。

向控制系統(tǒng)中外加控制信號(hào)，其幅值與相位分別取 B＝0．2，＝0．4π。通過連續(xù)調(diào)節(jié)控制信號(hào)頻率，當(dāng)Ω＝2fr時(shí)，得到如圖3（b）所示的耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出功率譜圖?？芍詈舷到y(tǒng)中產(chǎn)生的雙共振大幅增強(qiáng)了被控系統(tǒng)輸出的隨機(jī)共振，圖4（b）中系統(tǒng)輸出功率譜圖中在特征頻率fr＝0．020 14 Hz處的譜值進(jìn)一步增加至0．014 42，幅度增大了近40%。與僅有耦合作用時(shí)相比，該譜峰變得更為突出，檢測效果顯著提高。經(jīng)尺度恢復(fù)后得到待測的渦街信號(hào)頻率：fd＝fr·R＝10．07 Hz。而 4．01 m3／h時(shí)的渦街頻率理論值為 10．30 Hz。檢測結(jié)果表明，采用雙共振可準(zhǔn)確有效地檢測出待測的小流量渦街信號(hào)。

3.2 大流量渦街信號(hào)檢測

實(shí)驗(yàn)采集流速為46．28 m3／h的大流量渦街信號(hào)，采樣頻率fs＝5 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N＝10 504。由于噪聲干擾較大，因此無法直接從時(shí)域圖及功率譜圖中直接分辨出渦街特征頻率信息，如圖5所示。在經(jīng)由耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振處理前，先進(jìn)行變尺度預(yù)處理，取采樣壓縮比R＝2 000。耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)取a＝1，b＝1，a0＝0．9，耦合系數(shù) r＝0．6。

圖6（a）為當(dāng)控制信號(hào)幅值B＝0時(shí)，僅在耦合作用下，耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出功率譜圖。經(jīng)被控系統(tǒng)隨機(jī)共振處理后，圖中在特征頻率fr＝0．059 36 Hz處存在一個(gè)并不十分突出的譜峰值，其值為0．156 7，檢測效果受到了其他頻率成分的干擾。

向控制系統(tǒng)中外加單一頻率的控制信號(hào)，其參數(shù)取B＝0．1，＝0．4π。通過連續(xù)調(diào)節(jié)控制信號(hào)頻率，當(dāng)Ω＝2fr時(shí)，得到耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出功率譜如圖6（b）所示?？芍?dāng)控制信號(hào)作用后，耦合系統(tǒng)中產(chǎn)生的雙共振進(jìn)一步增強(qiáng)了被控系統(tǒng)的隨機(jī)共振，輸出功率譜在特征頻率fr處的譜值由0．156 7增大為0．187 2。與僅有耦合作用時(shí)相比，其譜峰值增加了約20%，且fr處的功率譜值變得更為突出，其他頻率成分的干擾也進(jìn)一步降低，可準(zhǔn)確檢測識(shí)別出0．059 36 Hz的特征頻率。最后經(jīng)尺度還原后得到待檢測的渦街頻率如下：fd＝fr·R＝118．72 Hz。而 46．28 m3／h時(shí)的渦街頻率理論值為118．60 Hz。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于雙共振的隨機(jī)共振增強(qiáng)方法可準(zhǔn)確檢測出強(qiáng)噪聲背景中的大流量渦街信號(hào)，可提高渦街流量計(jì)的現(xiàn)場適應(yīng)性。

圖 3 4．01 m3／h時(shí)渦街流量信號(hào)時(shí)域圖及功率譜圖Fig．3 The time domain waveform and power spectrum of vortex shedding signal under4．01m3／h

圖4 耦合系統(tǒng)輸出功率譜圖Fig．4 The time domain waveform and power spectrum of system output

圖 5 46．28 m3／h時(shí)渦街流量信號(hào)時(shí)域圖及功率譜圖Fig．5 The time domain waveform and power spectrum of vortex shedding signal under46．28m3／h

圖6 耦合系統(tǒng)輸出功率譜圖Fig．6 The time domain waveform and power spectrum of system output

4 結(jié) 論

分析了控制信號(hào)作用下的耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)的雙共振特性，通過改變控制信號(hào)的頻率，耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)的控制系統(tǒng)中會(huì)產(chǎn)生共振進(jìn)而影響被控系統(tǒng)中的隨機(jī)共振，并提出了基于雙共振的隨機(jī)共振增強(qiáng)與頻率檢測方法。數(shù)值仿真分析結(jié)果表明改變外加控制信號(hào)頻率使控制系統(tǒng)達(dá)到共振時(shí)，耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出信噪比增大，輸出功率譜在特征頻率處的譜值大幅增加，隨機(jī)共振效果顯著增強(qiáng)。將該方法分別應(yīng)用于實(shí)測的小渦街流量信號(hào)與強(qiáng)噪聲干擾的大流量渦街信號(hào)檢測中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過雙共振能有效增強(qiáng)系統(tǒng)輸出功率譜在特征頻率處的譜值，可準(zhǔn)確檢測出渦街信號(hào)頻率。該方法可拓寬渦街流量計(jì)的測量下限，增強(qiáng)其現(xiàn)場適應(yīng)性，具有良好的應(yīng)用前景。

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