基于LMD的多尺度形態(tài)學(xué)在齒輪故障診斷中的應(yīng)用

侯高雁，呂 勇，肖 涵，郝志強

（武漢科技大學(xué) 機械自動化學(xué)院，武漢 430081）

從非線性、非平穩(wěn)信號中提取出旋轉(zhuǎn)機械的故障頻率一直是人們研究的熱點，齒輪故障振動信號是一種典型的非線性、非平穩(wěn)信號。為了提取出齒輪的故障頻率，人們提出了很多有效的方法，如小波變換，希爾伯特變換，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)等，小波變換在機械故障診斷中已經(jīng)取得了較好的應(yīng)用效果，但是對于小波基的選擇方面是一個難點，同時也存在傅里葉變換的局限性；Hilbert-Huang變換，由于Hilbert算子不可避免的加窗效應(yīng)，使得解調(diào)結(jié)果出現(xiàn)非瞬時相應(yīng)特性，增大解調(diào)誤差；數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是由Matheron和Serra［1－2］共同創(chuàng)立的，是基于積分幾何和隨機集理論建立起來的有別于時域、頻域的數(shù)學(xué)方法。該方法在考察信號時使用結(jié)構(gòu)元素探針，通過結(jié)構(gòu)元素探針在信號中不斷移動，從而提取有用信號的沖擊特征。

雖然形態(tài)濾波算法具有很強的抑制脈沖干擾的能力，但抑制白噪聲的能力卻不足。針對這一不足，提出了一種基于局域均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）的多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)方法，首先將采集的信號經(jīng)過LMD分解，然后再用形態(tài)學(xué)濾波器提取故障頻率。LMD［3］方法是Smith新近提出的一種新的時頻分析方法，它將復(fù)雜的多分量信號分解為若干個乘積函數(shù)（Production Function，PF）的線性組合，每一PF分量由一個包絡(luò)信號和一個調(diào)頻信號相乘得到，包絡(luò)信號就是該PF分量的瞬時幅值，而PF分量的瞬時頻率可以由調(diào)頻信號求出［4］。通過LMD方法可以很好的濾除白噪聲信號，同時還可以獲得原始信號的全部調(diào)制信息，再用形態(tài)學(xué)差值濾波器提取出齒輪故障特征。結(jié)果表明該方法能夠有效的在含噪信號中提取出故障頻率特征。

1 多尺度形態(tài)學(xué)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)［2］分析是基于積分幾何和隨機集的不同于時域、頻域分析的非線性方法。該方法首先應(yīng)用于圖像處理中，隨后在信號處理方面得到了廣泛的應(yīng)用，如文獻［5－8］。

1.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本運算

腐蝕和膨脹兩種算子是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運算。設(shè)采樣得到的一維多值信號（待處理信號）f（n）和一維結(jié)構(gòu)元素序列 g（n）的定義域分別為 Df＝｛0，1，2，…，N－1｝和 Dg＝｛0，1，2，…，M－1｝，其中 N和 M都是整數(shù)，且N＞M。

式中 m∈0，1，2，M－1。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的開運算用于濾除信號上方的峰值噪聲，去除信號邊緣的毛刺；閉運算用于平滑或抑制信號下方的波谷噪聲，填補信號的漏洞和裂紋。

1.2 形態(tài)學(xué)濾波器和形態(tài)學(xué)結(jié)構(gòu)元素

利用開運算和閉運算的組合可以構(gòu)造形態(tài)學(xué)分析算法，本文將介紹兩種濾波器，AVG和DIF濾波器。

平均（AVG）濾波器：

差值（DIF）濾波器：

平均濾波器可以同時消除信號中的正、負沖擊，對信號起到平滑作用，而差值濾波器，可以提取信號中的正、負沖擊。

確定了形態(tài)學(xué)運算，結(jié)構(gòu)元素的選取就起到了至關(guān)重要的作用，結(jié)構(gòu)元素是形態(tài)學(xué)的基本算子，它的選擇在于其形狀和尺寸（大?。┑拇_定。結(jié)構(gòu)元素的形狀一般選擇對稱的結(jié)構(gòu)，因為非對稱時運算會產(chǎn)生偏移，結(jié)構(gòu)元素可以選擇為圓盤形、正方形、菱形、六邊形、線段形等，不同形狀的結(jié)構(gòu)元素運算結(jié)果會有差異，應(yīng)針對待處理信號的幾何形狀進行選擇。當(dāng)確定了結(jié)構(gòu)元素的形狀后，其尺寸大小就至關(guān)重要，結(jié)構(gòu)元素尺寸太大，閉運算時目標之間互相干擾，造成過度粘連，開運算時造成假斷裂；過小時，閉運算不能實現(xiàn)裂口較大的斷裂邊緣連接，開運算不能實現(xiàn)較大凸起與粘連的去除。因此，為了有效地提取信號中不同尺度的形態(tài)特征，需要自適應(yīng)地選擇結(jié)構(gòu)元素及具有多尺度形態(tài)學(xué)分析的功能。

2 LMD方法

局域均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）方法是JSmith［3］提出的一種新的信號分析方法LMD，該方法的實質(zhì)就是將非平穩(wěn)調(diào)制信號分解為若干個由包絡(luò)信號和純調(diào)頻信號乘積而得的PF分量，它能根據(jù)信號本身的特征進行自適應(yīng)地分解，使得分解后的每個分量都具有一定的物理意義，能夠反映信號的內(nèi)在本質(zhì)，在機械故障診斷領(lǐng)域中得到了很好的應(yīng)用［9－12］。對于任意原始信號 x（t），其具體分解算法如下［4］：

（1）找出x（t）所有的局部極值點ni，通過各極值點，分別計算出相鄰兩極值點ni和ni＋1的平均值mi和包絡(luò)估計值ai

（2）分別將所有相鄰兩個極值點的平均值mi和包絡(luò)估計值ai用直線連接，然后采用移動平均方法進行平滑處理，分別得到局部均值函數(shù)m11（t）和包絡(luò)估計函數(shù) a11（t）。

（3）將局部均值函數(shù) m11（t）從原始信號 x（t）中分離出來，得：

再用 h11（t）除以包絡(luò)估計函數(shù) a11（t）以對 h11（t）進行解調(diào)，得：

對s11（t）重復(fù)上述步驟便能得到 s11（t）的包絡(luò)估計函數(shù)a12（t）。理想情況下，s11（t）是一個純調(diào)頻信號，它的包絡(luò)估計函數(shù)滿足 a12（t）＝1。如果 a12（t）不等于1，則將s11（t）作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)以上迭代過程，直至s1n（t）為一個純調(diào)頻信號，即滿足 －1≤s1n（t）≤1，它的包絡(luò)估計函數(shù)滿足 a1（n＋1）（t）＝1。因此有以下公式：

式中：

迭代終止條件為：

（4）把迭代過程中產(chǎn)生的所有局域包絡(luò)估計函數(shù)相乘便可以得到PF分量的包絡(luò)信號（瞬時幅值函數(shù)）。

（5）將包絡(luò)信號 a1（t）和純調(diào)頻信號 s1n（t）相乘便可以得到原始信號的第一個PF分量：

第一個PF分量包含了原始信號中最高的頻率成分，是一個單分量的調(diào)幅—調(diào)頻信號，而包絡(luò)信號a1（t）就是其瞬時幅值，其瞬時頻率 f1（t）可由純調(diào)頻信號 s1n（t）求出，即：

（6）PF的第一個分量PF1（t）從原始信號中分離出來，得到一個新的信號 u1（t），把 u1（t）作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)上述步驟，循環(huán) k次，直到uk為一個單調(diào)函數(shù)為止。

經(jīng)過上述步驟，初始信號x（t）被分解為k個PF分量和uk（其中uk為殘余項）之和，即：

3 基于LMD的多尺度形態(tài)學(xué)

局部均值分解（LMD）是在EMD的基礎(chǔ)上提出的一種針對非線性非平穩(wěn)信號的自適應(yīng)時頻分析方法，它能根據(jù)信號自身的時間尺度特征自適應(yīng)地將其分解，可將多分量的AM-FM信號分解為單分量的AM-FM信號，即由若干個PF分量組成，每一個PF分量都含有瞬時幅值和頻率，選取能量高的PF分量求和重構(gòu)，采用多尺度形態(tài)學(xué)差值濾波器進行解調(diào)，提取出了故障頻率特征。此方法與EMD相比，LMD端點效應(yīng)得到了一定的抑制，解決了欠包絡(luò)和過包絡(luò)的問題［13］。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)有很強的抑制脈沖干擾的能力，但濾除白噪聲的能力卻不足，LMD分解不僅可以濾除白噪聲，還可以有效地提取出故障特征頻率，將LMD與多尺度形態(tài)學(xué)相結(jié)合，用于提取故障信號的頻率特征，計算時間短，降噪效果好，能夠快速、準確地從故障信號中提取出故障頻率特征。

4 仿真實驗

為了驗證基于LMD的多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)方法提取信號沖擊成分，構(gòu)造如下仿真信號進行分析：

其中，x1（t）＝cos（2*pi*30*t）＋1．5*cos（2*pi*50*t），頻率為 30和 50的諧波信號；x2（t）為標準差為1的高斯白噪聲；x3（t）為周期性的指數(shù)衰減沖擊信號（頻率為20 Hz，每周期內(nèi)沖擊函數(shù)為exp（－20t）sin（20*pi*t）），對信號 y（t）進行采樣的頻率為 1 000 Hz，采樣點為10 000，得到的混合信號如下圖所示，圖1為混合信號的時域圖，圖2為混合信號的頻域圖。

圖1 混合信號的時域圖Fig．1 The time domain of Mixed signal

圖2 混合信號的頻域圖Fig．2 The frequency domain of Mixed signal

從圖1可以看出，沖擊信號淹沒在諧波信號和白噪聲信號中，圖2只能明顯的看出頻率為30 Hz和50 Hz的諧波信號，此實驗的目的是為了抑制諧波信號（30和50 Hz的余弦信號）和白噪聲，從而提取信號中的沖擊成分（即20 Hz的沖擊成分）。

先采用LMD對混合信號進行分解，LMD分解為6個PF分量，選取能量大的前三階PF分量，求和重構(gòu)，便得到降噪后的信號，如圖3和圖4所示，圖3是經(jīng)LMD降噪后的時域圖，圖4是相對應(yīng)的頻域圖，將圖4與圖2對比，可以明顯的看到，經(jīng)LMD處理后，達到了明顯的降噪效果。

圖3 混合信號經(jīng)LMD降噪后的時域圖Fig．3 The time domain of Mixed signal after noise reduction by LMD

圖4 混合信號經(jīng)LMD降噪后的頻域圖Fig．4 The frequency domain of Mixed signal after noise reduction by LMD

最后采用形態(tài)差值濾波器提取出沖擊頻率，如圖5所示，可以明顯的提取出20 Hz的沖擊信號及其2倍頻信號、3倍頻信號、4倍頻信號，證明了該方法的有效性。

圖5 形態(tài)學(xué)提取后的結(jié)果Fig．5 The extraction result by the morphology

5 基于LMD的多尺度形態(tài)學(xué)在齒輪故障診斷中的應(yīng)用

為了驗證所提出方法在齒輪箱故障特征提取中的有效性，在齒輪箱故障診斷試驗平臺上實驗。采用的齒輪箱變速為1級降速，該測試系統(tǒng)由調(diào)速電機、聯(lián)軸器、某型單級傳動齒輪箱、磁粉負載、傳感器和LMS分析儀組成。分別模擬齒輪斷齒和磨損兩種故障實驗，輸入軸和輸出軸的齒輪齒數(shù)分別為20和37，傳動比為1．85，齒輪模數(shù)為 3，高速軸的轉(zhuǎn)速為 363 r／min，采樣頻率為2 000 Hz，采樣點為10 000。

圖5（a）和圖5（b）分別為齒輪斷齒的時域圖和頻域圖，從圖中可以看出混有大量的噪聲，先對這些信號進行LMD分解，選取能量大的分量求和重構(gòu)，然后用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)差值濾波器來提取故障成分。

圖6（a） 齒輪斷齒時域圖Fig．6（a）The time domain of broken teeth of the gear

圖6（b） 齒輪磨損時域圖Fig．6（b）The frequency domain of broken teeth of the gear

圖7 斷齒信號經(jīng)LMD分解后的前3項PF信息Fig．7 The former there PF information of the broken teeth signal after LMD decomposition

圖7為斷齒信號經(jīng)LMD分解后形成的前3項能量較大的PF信息，將前3項PF信息求和重構(gòu)，然后用形態(tài)學(xué)差值濾波器對重構(gòu)的信息進行處理，提取出斷齒信號的故障頻率特征，如圖8所示，明顯的提取到了故障信號頻率為10 Hz的信息，以及2倍頻20 Hz，3倍頻30 Hz和1／2倍頻5 Hz等倍頻信息。

圖8 形態(tài)學(xué)提取后的結(jié)果Fig．8 The extraction result by the morphology

圖9（a）和圖9（b）分別為齒輪磨損信號的時域圖和頻域圖。齒輪磨損信號經(jīng)LMD分解后，再用形態(tài)學(xué)差值濾波器處理后的結(jié)果，如圖10所示，提取到了故障信號的1倍頻（5 Hz）、2倍頻（10 Hz）和3倍頻（15 Hz）信號，證明了所提出的方法的有效性，能夠提取出信號的故障頻率特征。

圖9（a） 齒輪斷齒時域圖Fig．9（a）The time domain of wear and tear of the gear

圖9（b） 齒輪斷齒時域圖Fig．9（b）The frequency domain of wear and tear of the gear

圖10 形態(tài)學(xué)提取后的結(jié)果Fig．10 The extraction result by the morphology

6 結(jié) 論

LMD方法是一種自適應(yīng)的時頻分析方法，該方法將多分量的振動信號自適應(yīng)地分解得到一系列的PF分量，而每一個 PF分量實際上是一個單分量的調(diào)幅——調(diào)頻信號，它由一個包絡(luò)信號與一個純調(diào)頻信號相乘得到，從中選取能量大的PF分量進行求和重構(gòu)，然后利用形態(tài)學(xué)差值濾波器提取故障信息。通過仿真試驗和模擬齒輪的斷齒和磨損實驗，證明了該方法的有效性。實驗表明，基于LMD多尺度形態(tài)學(xué)，可以有效提取齒輪的故障特征，實現(xiàn)齒輪的故障診斷。

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