不同形式齒廓偏差對直齒輪副振動的影響規(guī)律

常樂浩，劉 更，吳立言，賀朝霞

（1．西北工業(yè)大學(xué) 陜西省機電傳動與控制工程實驗室，西安 710072；2．長安大學(xué) 道路施工技術(shù)與裝備教育部重點實驗室，西安 710064）

齒輪制造誤差是引起齒輪系統(tǒng)振動的重要激勵形式之一，研究誤差激勵形成的機理和性質(zhì)對準(zhǔn)確預(yù)測齒輪系統(tǒng)振動和噪聲具有重要意義。在齒輪系統(tǒng)動力學(xué)分析時，齒輪的短周期制造誤差常以綜合嚙合誤差表示。由于齒輪誤差的隨機性特點，以往文獻常用簡諧函數(shù)模擬綜合誤差函數(shù)［1－2］。然而，多數(shù)學(xué)者在誤差幅值確定時都進行了回避，或直接采取假設(shè)的方式，缺少合理的理論依據(jù)。由于重合度和嚙合輪齒間變形的相互影響，誤差的實際作用量應(yīng)該小于原始齒面誤差幅值，直接利用精度等級確定的綜合誤差幅值顯然過大。韓靜波考慮重合度對齒廓偏差的影響，提出了齒廓偏差和基節(jié)偏差的合成方法，并應(yīng)用于行星齒輪系統(tǒng)動力學(xué)分析中［3］。但這種方法未考慮不同載荷下輪齒變形的影響，而且無法分析當(dāng)齒面具有不同誤差分布形式時系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的差異。Matsumura等［4］在研究斜齒輪振動特性時，發(fā)現(xiàn)中凸齒廓的齒輪具有較小的振動。李凱嶺等［5］研究了齒廓偏差對直齒輪副嚙合噪聲的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)輪齒具有不同形式齒廓偏差時的噪聲差別顯著，但其研究基于試驗測試結(jié)果，缺少合理的數(shù)學(xué)模型和理論分析。

本文基于齒輪承載接觸分析模型，提出了齒輪綜合嚙合誤差的確定方法。同時考慮嚙合剛度激勵、誤差激勵和嚙入沖擊激勵，分析了具有不同形式齒廓偏差時直齒輪副的動態(tài)響應(yīng)規(guī)律，為進一步提出齒廓偏差控制原則奠定了理論基礎(chǔ)。

1 綜合嚙合誤差的確定

齒輪副的嚙合過程為兩彈性體的動態(tài)接觸過程，兩彈性體的通用承載接觸分析模型如圖1所示。當(dāng)實際齒廓與理想齒廓存在偏差時，可能接觸點i需要滿足變形協(xié)調(diào)條件［6］：

式中：ui為接觸體上點i的總彈性變形，大小為ui1和ui2之和；εi為接觸前點i的原始間隙，即原始齒面誤差；δ為兩接觸體的剛體接近量，即靜態(tài)傳遞誤差；Yi為接觸后點i的剩余間隙。

圖1 兩彈性體承載接觸模型Fig．1 Loaded contact model of two elastic bodies

將所有接觸點對均利用式（1），并寫成矩陣形式為

式中：［λ］為彈性變形柔度矩陣；｛F｝為離散接觸點載荷向量；｛Y｝為剩余間隙向量；｛ε｝為原始齒面誤差向量；N為可能接觸點總數(shù)。

齒輪在接觸點的彈性變形實際上由宏觀變形（主要為彎曲變形）和局部接觸變形組成。假設(shè)彎曲變形隨載荷呈線性變化，而接觸變形隨載荷呈非線性變化，則可將式（2）的變形協(xié)調(diào)條件寫為：

式中：［λb］為彎曲變形柔度矩陣；｛uc｝為各接觸點接觸變形向量。

齒輪副在接觸時還需要滿足載荷平衡條件：

式中：I為各元素為1的行向量；P為嚙合法向力。

各點載荷與剩余間隙之間滿足以下接觸條件：

各接觸點的柔度系數(shù)可利用有限元法計算，并利用文獻［7］的方法將彎曲變形分離出來。各離散點的接觸變形用各點所在分段接觸線的接觸變形代替。有限長線接觸彈性接觸變形的解析計算公式［8］為

式中：li為分段接觸線長度；E1和E2分別為兩齒輪材料的彈性模量；ν1和ν2分別為兩齒輪材料的泊松比；R1和R2分別為兩齒輪接觸點法向曲率半徑。

式（3）～（4）組成的N＋1階非線性方程組含有｛F｝，｛Y｝和 δ共2N＋1個未知數(shù)，但由于接觸條件（5）的存在，方程組有唯一解。因為后續(xù)計算中并不關(guān)注剩余間隙｛Y｝的大小，這樣在求解過程中可不必求解｛Y｝，從而減少了未知量的個數(shù)。本文采用迭代法求解｛F｝和δ，迭代流程圖見圖2。圖中的外層迭代過程用｛F｝（k）根據(jù)式（6）計算出等效的接觸變形柔度矩陣［λc］．將原非線性方程組（3）轉(zhuǎn)換為線性方程組，通過判斷前后兩次載荷的差異判定是否收斂。內(nèi)層迭代過程去除了未知變量｛Y｝的影響，由于參與接觸的各點載荷均大于0，若｛F′｝中存在載荷小于0的值，則說明該點未參與接觸，將對應(yīng)的柔度矩陣［λ］和誤差向量｛ε｝中的行和列劃去，重新求解新的方程組，直至｛F′｝中所有載荷均大于 0，得到內(nèi)層迭代的收斂解｛F｝（k＋1）和δ（k＋1）。算例結(jié)果表明，外、內(nèi)層迭代一般均在5次內(nèi)就能達到收斂，有效提高了求解效率。

圖2 接觸方程迭代求解流程Fig．2 Iteration scheme of solving the contact equations

得到載荷分布｛F｝和傳遞誤差δ后，就可以計算齒輪副嚙合剛度和綜合嚙合誤差。齒輪副嚙合剛度為各對接觸點剛度之和。單對接觸點對應(yīng)的等效彈簧系統(tǒng)示意圖如圖3所示。由圖中的變形關(guān)系可得齒輪副綜合嚙合剛度為

圖3 單對接觸點變形關(guān)系Fig．3 Deformation relationship of a contact pair

與單個接觸點的變形關(guān)系類似，齒輪副綜合嚙合誤差為傳遞誤差δ與齒輪副綜合變形Δ之差，即：

顯然，當(dāng)載荷較小時，齒面只有部分接觸點參與嚙合，實際嚙合剛度會小于理想齒輪副剛度。只有當(dāng)載荷增加至齒面實現(xiàn)完全接觸時，實際嚙合剛度才會與理想齒輪副剛度相等，綜合嚙合誤差才能達到穩(wěn)定。

2 嚙合沖擊力

由于輪齒彈性變形和誤差的存在，主、從動齒輪的實際嚙合基節(jié)會不相等，使得輪齒實際嚙合點在進入嚙合和退出嚙合時會偏離理論嚙合線，導(dǎo)致主從動齒輪產(chǎn)生瞬時速度差，引起線外嚙合沖擊力。嚙合沖擊包括嚙入沖擊和嚙出沖擊兩種，其中嚙入沖擊力一般要明顯大于嚙出沖擊力［9］，因此本文僅考慮嚙入沖擊的影響。在輪齒進入嚙合時，主從動輪實際基節(jié)之差可以用“嚙合合成基節(jié)誤差”Δfpbe表示，其大小為齒輪副相對變形量Δ與基節(jié)偏差Δfpb之和，即：

基節(jié)偏差Δfpb的大小主要與齒距偏差有關(guān)，同時受到齒廓偏差的影響。由于本文重點討論齒廓偏差對系統(tǒng)振動的影響，所以不考慮齒距偏差引起的基節(jié)偏差量。對于如圖4所示的某齒廓偏差曲線，在某一時刻t時由齒廓偏差引起的等效基節(jié)偏差量為：

式中，T為嚙合周期，F(xiàn)α（t）和 Fα（t＋T）分別為 t時刻和t＋T時刻的法向齒廓偏差值。

求得“嚙合合成基節(jié)誤差”后，根據(jù)相關(guān)幾何關(guān)系可求得實際嚙入點和兩齒輪瞬時相對速度Δv［10］。根據(jù)沖擊動力學(xué)相關(guān)理論，可得最大沖擊力Fs為［10］：

圖4 由齒廓偏差引起的等效基節(jié)偏差Fig．4 Equivalent normal pitch error due to profile deviation

式中：mred為齒輪副系統(tǒng)的等效質(zhì)量；J1、J2分別為主、從動齒輪的轉(zhuǎn)動慣量；ks為齒輪在初始嚙入點的嚙合剛度；rb1、rb2分別為主、從動齒輪的基圓半徑。

由沖量定理可知，沖擊作用時間為

假設(shè)沖擊力為一半正弦脈沖，則沖擊力函數(shù)fs（t）為

式中：ωc＝π／tc為半正弦波的角頻率。

3 動力學(xué)建模

在不考慮齒面摩擦的情況下，直齒輪副彎扭耦合動力學(xué)模型如圖5所示。圖中下標(biāo)1表示主動輪，下標(biāo)2表示從動輪。

圖5 直齒輪副相對位移模型Fig．5 The relative displacement of a spur gear pair

將圖5中各齒輪振動位移向嚙合線方向投影，可得嚙合線相對總變形為

式中：xi，yi，θi（i＝1，2）分別為齒輪 i在橫向和扭轉(zhuǎn)方向的振動位移；α為嚙合角；rbi（i＝1，2）為齒輪 i基圓半徑；e（t）為時變的法向綜合嚙合誤差，可在第1節(jié)中計算得到；角度φ＝α－，為從動輪安裝相位。

根據(jù)牛頓第二定律，可得系統(tǒng)運動微分方程組為

式中：mi，Ii（i＝1，2）分別為齒輪 i的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；km和cm分別為綜合嚙合剛度和嚙合阻尼；kix，kiy，cix，ciy分別為齒輪i沿x向和y向的支撐剛度和阻尼；T1和T2分別為齒輪1和齒輪2的扭矩。

將式（14）代入方程組（15）中，并加入沖擊力后整理成矩陣形式為：

式中：M，C和K分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；X為系統(tǒng)動態(tài)位移列向量，即動態(tài)傳遞誤差；Ke和Ce·為嚙合誤差引起的系統(tǒng)自激振力向量；Fs為嚙入沖擊力在各自由度的分量。

由于動態(tài)位移波動ΔX是未知的，用靜態(tài)傳遞誤差波動ΔXs近似代替式（17）第二式右端的ΔX，則有

式中：FTE和Fs分別為傳遞誤差激振力和沖擊激振力。

這樣式（16）中的參變微分方程組就變?yōu)槭剑?8）所示的定常微分方程組，時變嚙合剛度的影響被作為剛度激振力放在方程右端，能夠避免使用數(shù)值積分方法求解。本文使用傅里葉級數(shù)法［12］直接求解方程（18）的穩(wěn)態(tài)解ΔX，進一步得到系統(tǒng)位移響應(yīng)X。

4 齒廓偏差類型對振動的影響

4.1 齒廓偏差參數(shù)描述

分析直齒輪副的基本參數(shù)如表1所示。

表1 分析齒輪副基本參數(shù)Tab．1 Basic paramters of the analyzed gear pair

為了分析不同形式齒廓偏差對直齒輪副振動的影響，假設(shè)齒廓偏差按以下五種形式變化，分別為理想齒廓、中凸齒廓、中凹齒廓、正壓力角偏差齒廓和負(fù)壓力角偏差齒廓。由于大齒輪誤差值一般要明顯大于小齒輪誤差值，參照GB／T 3480－1997中計算動載系數(shù)的作法，僅以大齒輪誤差代入計算模型。各類型齒廓偏差的示意圖如圖6所示，其中正、負(fù)壓力角偏差以直線形式變化，中凸、中凹偏差以拋物線形式變化。假設(shè)各類型齒廓偏差具有相同的幅值Fα＝5μm，則根據(jù)式（10）可得由齒廓偏差引起的等效基節(jié)偏差如表2所示。由于正、負(fù)壓力角偏差齒廓曲線對稱，所以兩者具有相同的等效基節(jié)偏差但符號相反；對于中凸和中凹齒廓同樣如此。

圖6 各類型齒廓偏差示意圖Fig．6 Schematic diagram for different profile deviations

表2 不同齒廓偏差對應(yīng)的等效基節(jié)偏差Tab．2 Equivalent pitch errors for different profile deviations

4.2 不同齒廓偏差在相同負(fù)載下的系統(tǒng)響應(yīng)

當(dāng)負(fù)載扭矩為2 000 N·m時，具有不同類型齒廓偏差的齒輪副動載荷波動量隨輸入轉(zhuǎn)速的變化情況如圖7所示。由圖7可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的提高，各類型齒廓偏差對應(yīng)的動載荷均在1 500 r／min和3 000 r／min左右出現(xiàn)峰值，這兩個轉(zhuǎn)速分別對應(yīng)系統(tǒng)二次諧波共振和主共振轉(zhuǎn)速。另外，在多數(shù)轉(zhuǎn)速下對應(yīng)于不同齒廓偏差類型的動載荷波動量從大到小的順序為：中凹齒廓＞負(fù)壓力角偏差齒廓＞正壓力角偏差齒廓＞理想齒廓＞中凸齒廓。為了便于分析出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因，圖8給出了轉(zhuǎn)速為2 000 r／min時不同齒廓偏差所對應(yīng)的傳遞誤差激振力波動值和嚙入沖擊力大小。

圖7 不同轉(zhuǎn)速下的動載荷波動量Fig．7 Fluctuations of dynamic mesh forces at different speeds

對比圖7與圖8可以發(fā)現(xiàn)，各類型齒廓偏差對應(yīng)動載荷大小排序與傳遞誤差激振力的大小排序完全相同。對于中凸齒廓的齒輪，其效果類似于對齒廓進行起鼓修形，這樣雙齒嚙合區(qū)的傳遞誤差會增加，單齒嚙合區(qū)的傳遞誤差基本不變，而總體上使得傳遞誤差波動值會有所減小，甚至小于理想齒廓的傳遞誤差波動值，所以對應(yīng)的傳遞誤差激振力也最小。對于負(fù)壓力角偏差和正壓力角偏差的齒輪，在某一嚙合時刻兩者的誤差呈對稱分布，所以兩者的傳遞誤差激振力相差不大。而對于中凹齒廓的齒輪，誤差的作用效果與中凸齒廓剛好相反，使得齒輪副具有最大的傳遞誤差波動量及激振力。

圖8 轉(zhuǎn)速為2 000 r／min時各項激振力對比Fig．8 Comparison of exciting forces at 2 000 r／min

另外，由式（10）和表2可知，中凹齒廓和負(fù)壓力角偏差齒廓會使“嚙合合成基節(jié)誤差”增加，因此兩者對應(yīng)的嚙合沖擊力將大于理想齒廓齒輪，如圖8所示。而正壓力角偏差和中凸齒廓均使齒頂減薄，“嚙合合成基節(jié)誤差”會減小，嚙入沖擊力隨之減小。

綜合對比兩類激振力大小關(guān)系可以得到：中凹齒廓的總激振力最大，因此對應(yīng)的動載荷最大；負(fù)壓力角偏差齒廓的動載荷次之；中凸齒廓的動載荷最小。雖然正壓力角偏差與理想齒輪的沖擊力差值要明顯大于兩者的傳遞誤差激振力差值，但由于沖擊力的作用時間較短，所以理想齒輪的動載荷仍略小于正壓力角偏差齒輪的動載荷，這也從側(cè)面說明此時傳遞誤差的影響要強于嚙合沖擊的影響。

4．3 不同齒廓偏差在不同負(fù)載下的系統(tǒng)響應(yīng)

選取輸入轉(zhuǎn)速為4 000 r／min，不同齒廓偏差對應(yīng)的動載荷波動量隨負(fù)載扭矩T的變化曲線如圖9所示。從圖中可以看出，各類型齒廓偏差對應(yīng)振動的相對大小關(guān)系在不同扭矩時會發(fā)生變化。為了便于分析原因，圖10和圖11分別給出了不同扭矩下各類型齒廓偏差所對應(yīng)的傳遞誤差激振力和沖擊激振力。

從圖9～圖11中可以看出以下幾點規(guī)律：

（1）理想齒廓的動載荷與扭矩近似呈線性關(guān)系變化。由于理想齒廓的傳遞誤差與齒輪副變形相等，而齒輪副變形與載荷大小近似呈線性變化，所以傳遞誤差激振力基本隨載荷呈線性變化。與此同時理想齒廓的沖擊激振力隨載荷單調(diào)增加。兩項激振力的綜合效果使理想齒廓的動載荷隨扭矩呈近似線性變化。

（2）中凹齒廓的動載荷在所有扭矩下均為各類型偏差中最大的。這是因為中凹齒廓的傳遞誤差激振力（圖10）和沖擊激振力（圖11）均為最大，這與4．2節(jié)的分析結(jié)論相一致。

圖9 不同扭矩下的動載荷波動量Fig．9 Fluctuations of dynamic mesh forces at different torques

圖10 不同扭矩下的傳遞誤差激勵力Fig．10 Exciting forces due to transmission error at different torques

圖11 不同扭矩下的沖擊激勵力Fig．11 Impact forcesat different torques

（3）中凸齒廓在輕載（T＝300N·m）時雖然無沖擊激振力，但由于其傳遞誤差激振力大于理想齒廓，所以導(dǎo)致此時中凸齒廓的振動要大于理想齒廓。這說明輕載時傳遞誤差的影響要大于沖擊的影響。當(dāng)扭矩大于或等于600 N·m后，中凸齒廓的兩類激振力都要小于理想齒廓，所以其振動也明顯小于理想齒廓。這與文獻［5］的試驗結(jié)果完全吻合。

（4）正壓力角偏差齒廓在T＜2 400 N·m時的動載荷均大于理想齒廓，但在T≥2 400 N·m時，正壓力角偏差齒廓的動載荷與理想齒廓基本相等，并將隨著扭矩的繼續(xù)增加而小于理想齒廓。由于正壓力角偏差齒廓的傳遞誤差激振力在所有扭矩下均大于理想齒廓，而理想齒廓的沖擊激振力要大于正壓力角偏差齒廓，這進一步說明沖擊力在輕載時的影響要小于傳遞誤差的影響，而在重載時的影響要大于傳遞誤差的影響。

（5）負(fù)壓力角偏差齒廓在T＜900 N·m時的振動要小于正壓力角偏差齒廓，但在T≥900 N·m時的振動要大于正壓力角偏差齒廓。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因為當(dāng)扭矩較小時，負(fù)壓力角偏差齒輪的傳遞誤差激振力要小于正壓力角偏差齒輪的數(shù)值，雖然此時負(fù)壓力角偏差齒輪的沖擊力明顯大于正壓力角偏差齒輪的沖擊力，但由于輕載時沖擊力影響較小，所以負(fù)壓力角偏差齒輪的振動在輕載時仍小于正壓力角偏差齒輪。而當(dāng)扭矩較大時（T≥900 N·m），負(fù)壓力角偏差齒輪的傳遞誤差激振力和沖擊激振力都將大于正壓力角偏差的數(shù)值，所以其振動也大于正壓力角偏差齒輪。

（6）從圖10曲線中可以看出，當(dāng)齒面存在誤差時，在某一臨界扭矩之前，傳遞誤差激振力呈現(xiàn)不規(guī)則波動，而在該扭矩之后，傳遞誤差激振力基本隨扭矩呈線性變化，且與理想齒廓的曲線變化率基本一致。這是因為在臨界扭矩之前，齒面僅有部分接觸點實現(xiàn)嚙合，齒輪副實際重合度小于理論重合度，導(dǎo)致相應(yīng)的嚙合剛度減小，綜合嚙合誤差和傳遞誤差曲線形狀隨扭矩改變而變化。當(dāng)扭矩大于臨界扭矩后，嚙合力足以使所有接觸點實現(xiàn)接觸，此時齒輪副嚙合剛度與無誤差齒輪嚙合剛度基本相等，綜合嚙合誤差曲線不再改變；此時由齒面誤差產(chǎn)生的激振力隨扭矩基本不變，而由于嚙合剛度產(chǎn)生彈性變形的激振力隨扭矩呈線性變化，使得傳遞誤差激振力隨扭矩也呈近似線性變化。對于中凹齒廓、中凸齒廓、正壓力角偏差齒廓和負(fù)壓力角偏差齒廓，使齒面實現(xiàn)完全接觸的臨界扭矩分別為1 500 N·m、2 400 N·m、900 N·m和900 N·m左右。

5 結(jié) 論

（1）在輕載條件下，理想齒廓齒輪的振動最??；在中等載荷和重載時，具有中凸齒廓齒輪的振動最小。

（2）中凹齒廓齒輪在任何載荷狀況下均具有最大的振動，負(fù)壓力角偏差齒廓的齒輪在多數(shù)載荷情況下的振動僅次于中凹齒廓齒輪。

（3）正壓力角偏差齒廓的齒輪在輕載及中等載荷條件下的振動要大于理想齒廓，但在重載條件時的振動逐漸減小并將小于理想齒廓齒輪。

（4）在輕載條件時，傳遞誤差是系統(tǒng)最主要的激勵成分；隨著載荷的增加，嚙合沖擊所占的激勵成分逐漸增加。

（5）在齒輪實際加工過程中，應(yīng)避免出現(xiàn)中凹齒廓。對于從動輪，同時應(yīng)避免負(fù)壓力角偏差齒廓。

以上分析結(jié)果均是在誤差齒輪作為從動輪的條件下得出的，當(dāng)主、從動關(guān)系發(fā)生改變時，正、負(fù)壓力角偏差的影響會出現(xiàn)正好相反的結(jié)論。

［1］李潤方，陶澤光，林騰蛟，等．齒輪嚙合內(nèi)部動態(tài)激勵數(shù)值模擬［J］．機械傳動，2001，25（2）：1－4．LI Run-fang， TAO Ze-guang， LIN Teng-jiao， et al．Numerical simulation for inner dynamic excitation of gearing［J］．Mechanical Transmission，2001，25（2）：1－4．

［2］林騰蛟，蔣仁科，李潤方，等．船用齒輪箱動態(tài)響應(yīng)及抗沖擊性能數(shù)值仿真［J］．振動與沖擊，2007，26（12）：14－17．LIN Teng-jiao， JIANG Ren-ke， LI Run-fang， et al．Numerical simulation of dynamic response and shock resistance of marine gearbox［J］．Journal of Vibration and Shock，2007，26（12）：14－17．

［3］韓靜波，劉更，吳立言，等．齒輪系統(tǒng)動力學(xué)誤差激勵合成方法研究［J］．機械傳動，2009，33（5）：24－26．HAN Jing-bo，LIU Geng，WU Li-yan，et al．Study on method of synthesizing error excitation about gear system dynamics［J］．Mechanical Transmission，2009，33（5）：24－26．

［4］Matsumura S，Umezawa K，Houjoh H．Rotational vibration of a helical gear pair having tooth surface deviation during transmission of light load（4th Report，effect of tooth profile deviation）［J］．Bulletin of JSME，1996，62（603）：4324－4331．

［5］李凱嶺，孫乃坤，崔劍平，等．漸開線齒輪不同形式齒廓偏差對齒輪噪聲的影響［J］．機械工程學(xué)報，2008，44（3）：234－240．LI Kai-ling，SUN Nai-kun，CUI Jian-ping，et al．Influence on gear mesh noise from different tooth profile errors of involute gears［J］． Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44（3）：234－240．

［6］Li Shu-ting．Finite element analyses for contact strength and bending strength of a pair of spur gears with machining errors，assembly errors and tooth modifications［J］．Mechanism and Machine Theory，2007，42（1）：88－114．

［7］Rincon A F D，Viadero F，Iglesias M，et al．A model for the study of meshing stiffness in spur gear transmissions［J］．Mechanism and Machine Theory，2013，61（3）：30－58．

［8］丁長安，張雷，周福章，等．線接觸彈性接觸變形的解析算法［J］．摩擦學(xué)學(xué)報，2001，21（2）：135－138．DING Chang-an， ZHANG Lei， ZHOU Fu-zhang， et al．Theoretical formula for calculation of line-contact elastic contact deformation［J］．Tribology，2001，21（2）：135－138．

［9］李潤方，王建軍．齒輪系統(tǒng)動力學(xué)［M］．北京：科學(xué)出版社，1996．

［10］周長江，唐進元，鐘志華．齒輪傳動的線外嚙合與沖擊摩擦［J］．機械工程學(xué)報，2008，44（3）：75－81．ZHOU Chang-jiang， TANG Jin-yuan， ZHONG Zhi-hua．Corner contact andimpact friction of gear drive［J］．Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44（3）：75－81．

［11］張金梅，劉更，周建星，等．考慮嚙入沖擊作用下減速器的振動噪聲分析［J］．振動與沖擊，2013，32（13）：118－122．ZHANG Jin-mei， LIU Geng， ZHOU Jian-xing， et al．Vibration and noise radiation analysis for a gear reducer considering meshing impact［J］．Journal of Vibration and Shock，2013，32（13）：118－122．

［12］方宗德，沈允文，高向群．斜齒輪傳動的動態(tài)特性分析［J］．航空學(xué)報，1992，13（2）：32－39．FANG Zong-de， SHEN Yun-wen， GAO Xiang-qun．An analysis of dynamic behaviour of helical gear transmissions［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，1992，13（2）：32－39．