煤礦北京54和西安80平面坐標(biāo)最優(yōu)轉(zhuǎn)換模型研究

劉作軍，李崇貴，朱學(xué)軍

(1.四川省川煤礦山勘測設(shè)計(jì)有限責(zé)任公司，四川 成都610031;2.西安科技大學(xué)，陜西 西安710054)

1 常用轉(zhuǎn)換模型

兩套坐標(biāo)系平面坐標(biāo)之間常用的轉(zhuǎn)換模型包括赫爾默特相似變換、仿射變換、雙線性變換、二次曲面變換和考慮高程起伏的仿射變換等［3，7］。不同模型所包含待求參數(shù)的個數(shù)、模型的轉(zhuǎn)換精度和對控制點(diǎn)數(shù)量及分布的要求不盡相同。最優(yōu)模型應(yīng)該是轉(zhuǎn)換精度最高、所需公共點(diǎn)數(shù)量最少、對控制點(diǎn)空間位置分布要求不高的模型。

1.1 赫爾默特相似變換

圖1 北京54坐標(biāo)系和西安80坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系

如圖1所示，設(shè)在某礦范圍內(nèi)，XOY為80坐標(biāo)系，xoy為54坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系之間的夾角為θ，兩坐標(biāo)系原點(diǎn)之間的偏差為(ΔX0，ΔY0)，設(shè)P為礦區(qū)任一控制點(diǎn)，其對應(yīng)的54坐標(biāo)和 80 坐標(biāo)分別為(xp，yp)，(Xp，Yp)。

可以推證，赫爾模特相似變換用于兩套坐標(biāo)系平面坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

當(dāng)利用個公共點(diǎn)解算(1)式中的待求參數(shù)時，可得如下觀測方程

待定參數(shù)的最小二乘解為

求解赫爾模特相似變換模型，至少需要2個控制點(diǎn)。

1.2 仿射變換

仿射變換也稱為6參數(shù)變換，其變換模型為

黑石集團(tuán)下屬的管道運(yùn)營商EagleClaw中游公司宣布，將以9.5億美元的現(xiàn)金收購美國卡普羅克中游控股公司（Caprock Midstream Holdings），交易預(yù)計(jì)年內(nèi)完成?？ㄆ樟_克擁有4套天然氣處理設(shè)施，其中2套在建，完工后的總處理能力將達(dá)到5.4億立方英尺/日。此外，該公司還運(yùn)營總計(jì)300英里長的管道儲運(yùn)設(shè)施，目前主要為特拉華盆地的勘探開發(fā)企業(yè)提供油氣以及水的加工和處理服務(wù)。收購卡普羅克將有助于EagleClaw成為特拉華盆地重要的油氣處理和管道儲運(yùn)商。

式中，(X，Y)和(x，y)分別為80坐標(biāo)系和54坐標(biāo)系中的坐標(biāo)點(diǎn)對，a1、a2、a3、b1、b2、b3為待求參數(shù)。其中，a1、b2分別確定點(diǎn)(x，y)在80坐標(biāo)系中X、Y方向上的縮放尺度，a2、b1確定旋轉(zhuǎn)尺度，a3、b3確定在X、Y方向上的平移量?？筛鶕?jù)礦區(qū)n個公共點(diǎn)，建立仿射變換模型的縱橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程。求解仿射變換模型，至少需要3個控制點(diǎn)。

1.3 考慮高程的仿射變換

若在(5)式的模型中，考慮控制點(diǎn)高程的影響，則可得改進(jìn)的仿射變換模型為

該模型的求解，至少需要4個公共點(diǎn)。

1.4 雙線性變換

為探討礦區(qū)54坐標(biāo)系和80坐標(biāo)系在不同位置處轉(zhuǎn)換可能存在的異常差異，可以考慮采用以下雙線性變換模型

該模型求解，也至少需要4個公共點(diǎn)。

1.5 二次曲面變換

典型的二次曲面變換模型為

求解該模型，至少需要6個公共點(diǎn)。

2 試驗(yàn)研究

為分析各種模型的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度，控制點(diǎn)數(shù)量和空間位置分布對建模精度的影響規(guī)律，現(xiàn)選擇陜西某煤礦若干地面和井下控制導(dǎo)線點(diǎn)，這些控制導(dǎo)線點(diǎn)既有54坐標(biāo)，又有80坐標(biāo)。各控制導(dǎo)線點(diǎn)坐標(biāo)成果如表1所示。

表1中各控制點(diǎn)在這些控制點(diǎn)中，E91、E92和E93是地面四等GPS控制點(diǎn)，已經(jīng)驗(yàn)證E91點(diǎn)存在較大點(diǎn)位誤差。為分析各種轉(zhuǎn)換模型的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度、受控制點(diǎn)數(shù)量和空間位置分布的影響規(guī)律，以便研究最優(yōu)轉(zhuǎn)換模型，現(xiàn)設(shè)計(jì)以下3種建模方案:

(1)取表1中序號為奇數(shù)行的控制點(diǎn)建模，用偶數(shù)行的控制點(diǎn)檢驗(yàn)所建模型的預(yù)報(bào)精度;

(2)取表1中序號為1～20的點(diǎn)建模，用其余點(diǎn)檢驗(yàn)建模精度;

(3)取表1中序號為20～39的點(diǎn)建模，用其余點(diǎn)檢驗(yàn)建模精度。

分別就上述各方案建立轉(zhuǎn)換模型，計(jì)算各模型的縱橫坐標(biāo)殘差和對未參與建模控制點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)預(yù)報(bào)偏差，殘差和預(yù)報(bào)偏差中誤差對應(yīng)表2中各種模型的第一行和第二行值。

分析可得，模型1、2和4的殘差和預(yù)報(bào)偏差相近，模型5效果最差。因建模所用控制點(diǎn)E91存在較大誤差，該模型在縱軸方向的殘差顯著增大，而模型5和3在橫軸方向的殘差也比其模型略大。綜合考慮殘差和預(yù)報(bào)偏差，模型2表現(xiàn)最佳。方案1建模所用控制點(diǎn)數(shù)量較多，且空間位置分布相對均勻，說明模型5受已知點(diǎn)精度影響的敏感性較大，模型2受其影響則很小。

分析當(dāng)建模用控制點(diǎn)集中分布在導(dǎo)線的一端時，各種模型的殘差相對較小，且比較穩(wěn)定，只有模型1相對其它模型略顯偏大。就預(yù)報(bào)偏差而言，模型1效果最好，其次是模型2和模型4。雖然模型5的殘差較小，但預(yù)報(bào)偏差卻很大。當(dāng)預(yù)報(bào)控制點(diǎn)離開建模用控制點(diǎn)越遠(yuǎn)，預(yù)報(bào)偏差就越大。此方案說明，若建模用控制點(diǎn)分布集中，各種模型受建模用控制點(diǎn)存在較大誤差的影響不敏感，模型殘差雖然較小，但預(yù)報(bào)偏差卻可能很大，殘差已經(jīng)不能反映建模精度。建?？刂泣c(diǎn)越集中，所建模型適用的空間范圍就越小。

分析當(dāng)建模用控制點(diǎn)集中在導(dǎo)線的另一端，且控制點(diǎn)沒有較大誤差時，各種模型的縱橫坐標(biāo)殘差均很小。但就預(yù)報(bào)偏差而言，模型5效果還是最差，其次是模型3。預(yù)報(bào)效果最好的是模型2和模型4。伴隨預(yù)報(bào)控制點(diǎn)逐步遠(yuǎn)離建模用控制點(diǎn)，預(yù)報(bào)偏差將逐漸增大，當(dāng)被預(yù)報(bào)點(diǎn)本身有較大誤差時，預(yù)報(bào)值偏差也非常明顯。

表1 控制導(dǎo)線點(diǎn)坐標(biāo)成果

表2 各種方案所建轉(zhuǎn)換模型的精度指標(biāo)

3 結(jié)語

(1)在討論的五種模型中，仿射變換模型的擬合和預(yù)報(bào)精度最優(yōu)，其次是雙線性變換模型和赫爾模特相似變換模型。比較仿射變換模型和赫爾模特相似變換模型，前者能針對縱橫坐標(biāo)單獨(dú)建立轉(zhuǎn)換方程，在控制點(diǎn)數(shù)量和空間分布范圍方面，適應(yīng)性最優(yōu);

(2)就平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而言，不宜考慮高程的影響，即考慮高程的仿射變換模型不宜采用;

(3)雙線性變換在試驗(yàn)區(qū)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換效果中，精度僅次于仿射變換模型。二次曲面擬合模型效果最差。在兩種坐標(biāo)系平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時一般不宜采用;

(4)建模用公共點(diǎn)的數(shù)量和分布對各種模型均有影響，公共點(diǎn)數(shù)量越多，分布越均勻，所建模型的效果就越好。當(dāng)建模用控制點(diǎn)存在較大誤差時，不同模型的敏感性相差較大，但仿射變換、雙線性變換和赫爾模特相似變換表現(xiàn)的效果較好。當(dāng)預(yù)報(bào)用控制點(diǎn)越遠(yuǎn)離建模用控制點(diǎn)，預(yù)報(bào)偏差就越大。

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