一類地產(chǎn)期權(quán)的微分方程定價模型及其計算

葉勇強(qiáng) 陸曉嬌

摘要：該文以北京西奧中心寫字樓為例，分析“以租待售”型房地產(chǎn)營銷工具具有的分期付款期權(quán)特性，運(yùn)用[Δ]-對沖技巧和Ito引理，構(gòu)造了美式分期付款地產(chǎn)期權(quán)的微分方程定價模型，并確定了定價模型中各個變量的內(nèi)涵，包括標(biāo)的資產(chǎn)價格、波動率、期限和執(zhí)行價等。針對北京西奧中心寫字樓的具體市場數(shù)據(jù)，應(yīng)用有限差分策略進(jìn)行數(shù)值計算，得到了相應(yīng)的期權(quán)價值。

關(guān)鍵詞：地產(chǎn)期權(quán)；美式分期付款期權(quán)；Black-Scholes方程；有限差分法

中圖分類號：F224 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）22-5319-04

在最近的房地產(chǎn)營銷領(lǐng)域出現(xiàn)了越來越多帶期權(quán)性質(zhì)的營銷策略。北京西奧中心寫字樓是我國最先采用地產(chǎn)期權(quán)營銷策略的樓盤，其采用“以租待售”模式，實質(zhì)就是一種地產(chǎn)期權(quán)。北京西奧中心寫字樓采用先租后售的營銷策略：客戶在每月支付租金的同時，額外支付一筆期權(quán)金，客戶就享有在一定時間內(nèi)以約定的價格購買所租寫字樓的權(quán)利。這份權(quán)利就給了客戶一個選擇權(quán)，即獲得了一份地產(chǎn)期權(quán)。當(dāng)市場價格高于約定價格時，客戶可以行使購買權(quán)，也可以選擇將這份“地產(chǎn)期權(quán)”交易出去以直接套現(xiàn)；如果市場價格低于約定價格，則客戶可以選擇放棄行使權(quán)利。該地產(chǎn)期權(quán)為投資者提供了安全的退出出口，給客戶充足的市場觀望時間以看清擬購物業(yè)的真實價值，為其投資決策提供依據(jù)，并且減少購房者的一次性資金壓力。這樣的營銷策略既可以滿足客戶使用的需求，也可以使開發(fā)商立即獲得滿意的入住率和部分租金回報。

北京西奧中心寫字樓地產(chǎn)期權(quán)營銷策略甫一推出，就受到市場的廣泛關(guān)注，并有不少地產(chǎn)開發(fā)商也仿效采用了類似的銷售策略。2005年12月，金融街控股以期權(quán)交易方式向Excel公司出售部分物業(yè)：Excel公司以1600萬元人民幣購買了金融街一項金額為8.78億元的6個月選擇權(quán)；如果Excel公司放棄購買該部分物業(yè)，1600萬元人民幣將作為這段時間金融街排他客戶的損失。2006年7月北京通州區(qū)珠江國際城推出了房地產(chǎn)期權(quán)銷售模式：凡在國際城活動期間登記的客戶，均可得到比市場預(yù)期要低得多的一個購買價格，即得到一份珠江國際城送予的期權(quán)——待項目開盤時，客戶可以以期權(quán)價購買房產(chǎn)，亦可按照開盤當(dāng)天市場價購買。此外，還有售房養(yǎng)老計劃[1]、家電分期付款銷售合約[2]、人壽保險合約、員工股權(quán)激勵等也都采用了期權(quán)營銷的銷售策略。

當(dāng)前市場對房地產(chǎn)價格走勢發(fā)生了較大分歧，“地產(chǎn)期權(quán)”將會是更加有效的營銷策略。因此針對“地產(chǎn)期權(quán)”這樣的營銷工具，迫切需要在理論上進(jìn)行建模分析，以獲得合理定價。文獻(xiàn)[3]對北京西奧中心寫字樓“以租待售”型地產(chǎn)期權(quán)利用二叉樹方法給出了相應(yīng)的期權(quán)定價。但二叉樹法本質(zhì)是一種顯式有限差分法，其最大的缺陷在于收斂速度較慢、精度較低。該文應(yīng)用分期付款期權(quán)定價理論[4，5，6]對北京西奧中心寫字樓“以租待售”型地產(chǎn)期權(quán)建立了微分方程定價模型，并應(yīng)用有限差分策略進(jìn)行數(shù)值計算，以獲得相應(yīng)的“地產(chǎn)期權(quán)”的合理價值。

1 北京西奧中心寫字樓的“地產(chǎn)期權(quán)”

2005年，北京盛世兆業(yè)房地產(chǎn)開發(fā)商以“以租待售”營銷模式將北京西奧中心寫字樓租與客戶兩年，客戶向開發(fā)商支付高于亞運(yùn)村寫字樓平均租金水平的租金?？蛻舫凶獗本┪鲓W中心寫字樓的同時，擁有了在兩年內(nèi)以約定價格購買“北京西奧中心寫字樓”的權(quán)利 [3]。

北京西奧中心寫字樓有A，B，C，D 四種戶型的寫字樓[3]，具體數(shù)據(jù)見表1：

說明：

1） 表1中雖然只給出了客戶在半年末、一年末、兩年末行使權(quán)利的數(shù)據(jù)，但是客戶實際行使權(quán)利的時間為兩年內(nèi)的任意租金結(jié)算周期期末。

2） 表1中的行權(quán)價格是隨著時間的變化而變化的?，F(xiàn)行的市場價格為1.2萬元/平方米。

3） 客戶行使購買權(quán)時，作為優(yōu)惠條款，已付租金可折價計入房款。

4） 當(dāng)客戶放棄繼續(xù)持有該地產(chǎn)期權(quán)時，仍可繼續(xù)租用原寫字樓。

5） 亞運(yùn)村寫字樓平均租金為5.0元/天/平方米。

由上面“以租待售”營銷方案可知，客戶每月需向房地產(chǎn)開發(fā)商支付租金和期權(quán)金，因此地產(chǎn)期權(quán)的期權(quán)金是以分期付款形式支付的。在每個租金和期權(quán)金的支付日，客戶可以選擇支付期權(quán)金以繼續(xù)持有該地產(chǎn)期權(quán)，也可以選擇不支付期權(quán)金以終止該地產(chǎn)期權(quán)。同時，客戶擁有兩年內(nèi)的任意租金結(jié)算周期期末行使該地產(chǎn)期權(quán)的權(quán)利。因此從客戶的角度看，該地產(chǎn)期權(quán)可以看成是美式看漲分期付款期權(quán)。考慮到租金和期權(quán)金的支付日及行權(quán)日相對合約的生命期來說比較密集，可以近似認(rèn)為是連續(xù)支付租金、期權(quán)金及行權(quán)的。因此，可將該地產(chǎn)期權(quán)看成連續(xù)支付美式分期付款看漲期權(quán)。將半年行權(quán)價、一年行權(quán)價和兩年行權(quán)價進(jìn)行線性擬合，可得到兩年內(nèi)任意時間的行權(quán)價格（單位：萬元/年）[3]

2 地產(chǎn)期權(quán)的微分方程定價模型

下面從客戶角度建立地產(chǎn)期權(quán)的微分方程定價模型。首先給出模型的基本假設(shè)：

1） 市場是無套利的，無摩擦的，存在風(fēng)險中性的鞅測度；

2） 無風(fēng)險利率[r]是常數(shù)；

3） 租金和期權(quán)金是連續(xù)支付的，不支付交易費和稅收，單位時間內(nèi)支付的單位面積的寫字樓租金為[δ]，單位時間內(nèi)支付的單位面積的期權(quán)金為[q]，則單位時間內(nèi)單位面積的總支付金額為[δ+q]；

4） 期權(quán)的生存期為[[0，T]]；

5） 期權(quán)持有人可在任意時刻[t∈[0，T]]行使購買的權(quán)利，行權(quán)價為[E（t）]；

6） 客戶行使權(quán)利時，已付租金的折價率為[α=折價金額已付租金]（[0≤α≤1]）；

7） 寫字樓市場價格[xt]遵循幾何Brown運(yùn)動

4 結(jié)束語

本文分析了一類地產(chǎn)期權(quán)的分期付款期權(quán)特性，應(yīng)用[Δ]對沖方法及Ito引理，在風(fēng)險中性的意義下從客戶角度建立了微分方程定價模型。針對北京西奧中心寫字樓的具體市場數(shù)據(jù)，應(yīng)用隱式迎風(fēng)差分格式進(jìn)行數(shù)值計算，得到了相應(yīng)的期權(quán)價值。對于諸如售房養(yǎng)老計劃，家電分期付款銷售合約、人壽保險合約、員工股票期權(quán)等，也可以應(yīng)用類似的方法建立微分方程定價模型，求得相應(yīng)的期權(quán)價值。

參考文獻(xiàn)：

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