減速帶激勵下汽車的非線性振動特性分析*

吳瑩 李佳佳 農(nóng)多敏 劉少寶

(1．西安交通大學航天航空學院機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)(2．廣西柳工機械股份有限公司，柳州 545001)(3．西安理工大學土木建筑工程學院工程力學系，西安 710048)

減速帶激勵下汽車的非線性振動特性分析*

吳瑩1?李佳佳1農(nóng)多敏2，3劉少寶1

(1．西安交通大學航天航空學院機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)(2．廣西柳工機械股份有限公司，柳州 545001)(3．西安理工大學土木建筑工程學院工程力學系，西安 710048)

研究了在減速帶激勵下具有磁流變阻尼器懸架系統(tǒng)汽車的非線性動力學行為．汽車采用七自由度模型，磁流變阻尼器采用Sigmoid模型．根據(jù)第二類Lagrange方程建立了汽車振動微分方程，并采用四階Runge－Kutta法進行了數(shù)值仿真．首先以減速帶高度為參數(shù)對汽車運動進行分岔分析，然后通過時間歷程圖、相位圖、Poincaré截面分析了汽車在不同減速帶高度時所呈現(xiàn)的不同運動形式，得到了系統(tǒng)發(fā)生混沌運動時減速帶的高度范圍，并分析了系統(tǒng)經(jīng)擬周期運動通向混沌運動的途徑．研究結果為汽車平順性控制和安全性設計提供了理論指導．

減速帶， 磁流變阻尼器， 非線性， 分岔， 混沌

引言

減速帶(speed control hump)是一種強制汽車減速的設施，起著保護車輛安全行駛和遏制交通事故的作用，在學校、收費站、停車廠、高速公路的分岔道、隧道入口等都設置有減速帶．由于減速帶是凹凸不平的，所以當車輛行駛在減速帶上時，會產(chǎn)生大幅度的振動，影響車輛的行駛平順性和安全性．汽車磁流變懸架是汽車的半主動控制的減震系統(tǒng)，能夠控制汽車行駛的平順性．汽車磁流變懸架是一個具有強非線性的系統(tǒng)，在一定的外界激勵條件下極有可能發(fā)生混沌運動等復雜的非線性振動［1］，從而導致汽車偏離目標，影響汽車行駛的平順性和安全性，同時還會導致汽車疲勞損壞．因此，研究具有磁流變阻尼器懸架系統(tǒng)汽車的非線性動力學行為具有重要意義．

目前，國內外許多學者多以單自由度1/4汽車模型［2－4］和二自由度 1/4 汽車模型［5－7］為研究對象對汽車的非線性動力學行為進行分析．這些模型比較簡單，不能反映車輛整體的運動狀態(tài)．本文采用七自由度汽車的動力學模型，充分考慮了汽車在運動過程中產(chǎn)生的垂直、俯仰和側傾運動，更接近實際系統(tǒng)．由于目前還缺乏對高維非線性動力系統(tǒng)中能夠引起混沌響應的參數(shù)做出具體預測的理論工具，本文對汽車的混沌響應進行了數(shù)值分析．

1 七自由度汽車動力學模型

汽車懸架系統(tǒng)采用磁流變阻尼器，模型采用徐趙東［8］等人建立的磁流變阻尼器模型－Sigmoid模型，磁流變阻尼器的阻尼力表示如下:

其中Fm為磁流變阻尼器的屈服力，C0為阻尼系數(shù)，ω為激勵頻率，v為相對速度，β為無量綱系數(shù)．本文研究的減速帶是以連續(xù)方式設置在高速公路的分岔道和隧道口上的復合材料型減速帶(SCH)，如圖1所示．這種減速帶高度較小，且減振效果好．

復合材料型減速帶的凸起高度為h，寬為w，間距為d．當汽車通過復合材料型減速帶時，會受到類似矩形波的周期性激勵，如圖2所示．當汽車以速度v通過一個減速帶寬時所需時間為t1=ω/v，通過兩個帶寬之間的間距所需時間為t2=d/v，則激勵周期為T=t1+t2，激勵頻率可以表示為:

激勵函數(shù)的矩形波方程可描述為:

其中square為矩形波函數(shù)．

圖1 復合材料型減速帶［1］Fig．1 The physic photos of composite material SCH［1］

圖2 矩形波函數(shù)模型Fig．2 The model of rectangular wave

考慮前后輪存在的相位差，路面激勵可以描述如下:

式中zt1、zt2、zt3、zt4分別表示左前輪、右前輪、左后輪、右后輪的激勵，α為前后輪的相位差．

七自由度汽車模型如圖3所示．車身作為一個剛體，車身具有垂直、俯仰、側傾三個自由度;前輪獨立，可以分別做垂直運動;后輪非獨立，可以連后軸質心一起做垂直和側傾運動．

求出系統(tǒng)的動能、勢能、耗散能后，由Lagrange第二類方程可得到系統(tǒng)的振動微分方程如下［7］:

車身的垂直運動微分方程:

車身的側傾運動微分方程:

圖3 七自由度汽車模型Fig．3 The model of seven－degree－of－freedom car

車身的俯仰運動微分方程:

左前輪的垂直運動微分方程:

右前輪的垂直運動微分方程:

后輪的垂直運動微分方程:

后輪的側傾運動微分方程:

其中F1MR，F(xiàn)2MR，F(xiàn)3MR，F(xiàn)4MR為磁流變阻尼器的庫倫阻尼力，表達式

z1，z2，z3，z4表示車身在 4 個車輪處的鉛垂直位移．

2 結果與討論

本文采用四階Runge－Kutta法進行數(shù)值仿真，采用的汽車模型參數(shù)［9］如表1所示．

表1 汽車模型的參數(shù)Table 1 The parameters for car model

考慮高速公路上設置的減速帶高度在0．003m－0．015m 之間，數(shù)值分析時 h 的范圍?。?．003，0．01］，減速帶寬度取 w=0．5m，間距取 d=0．5m，前后輪滯后角取α=5π．

由式(2)可知激勵頻率與汽車行駛速度成正比．為了保證行車的安全，要求汽車通過高速公路上的減速帶時速度在40km/h～70km/h之間，數(shù)值計算時采用的車速為v=12m/s．以高度h為分岔參數(shù)，數(shù)值仿真時積分時間為400個周期，為消除瞬態(tài)響應的影響，在每一個確定的分岔參數(shù)上，用閃頻法繪制最后100個Poincaré點，得到的速度分岔圖如下:

圖4 車身垂直運動位移分岔圖Fig．4 Bifurcation diagram of z vs h

圖5 車身側傾運動位移分岔圖Fig．5 Bifurcation diagram of φ vs．h

圖7 減速帶高度h=0．0036m，車身垂直運動時間歷程圖、相位圖、Poincaré截面Fig．7 Time history，phase portrait and Poincaré map of z for h=0．0036m

圖4、圖5、圖6分別是車身的垂直、側傾、俯仰運動的位移關于復合材料型減速帶h高度的分岔圖．由以上三個圖可以看到，在區(qū)間［0．0030，0．0044］，車身的垂直、側傾、俯仰運動非常復雜，具體的運動形式需進一步分析．而在其它區(qū)間車身的垂直、側傾、俯仰運動均為周期運動．下面選取某些特定頻率值，利用時間歷程圖、相位圖、Poincaré截面，進一步分析車身的垂直、側傾、俯仰運動特性．首先取h=0．0036m，結果如圖7、圖8和圖9所示．

圖8 減速帶高度h=0．0036m，車身側傾運動時間歷程圖、相位圖、Poincaré截面Fig．8 Time history，phase portrait and Poincaré map of φ for h=0．0036m

圖9 減速帶高度h=0．0036m，車身俯仰運動時間歷程圖、相位圖、Poincaré截面Fig．9 Time history，phase portrait and Poincaré map of for h=0．0036m

從圖8可以看出，車身的側傾運動趨于穩(wěn)定．分析圖7和圖9，車身垂直和俯仰運動的時間歷程圖無周期性，相位圖由許多相環(huán)組成，Poincaré截面上的點分布混亂．結果表明，在h=0．0036m時，車身的垂直、俯仰運動形式為混沌運動．

其次取h=0．0041m，結果如圖10、圖11和圖12所示．圖10對應車身垂直運動的時間歷程圖，相位圖和Poincaré截面．很顯然，車身垂直運動的時間歷程圖無周期性，相位圖由許多相環(huán)組成，Poincaré截面上的點分布混亂，表明在h=0．0041m時，車身的垂直運動為混沌運動．圖11對應車身側傾運動．很顯然，車身的側傾運動趨于穩(wěn)定．從圖12可以看出，車身俯仰運動的時間歷程圖無周期性，相位圖由許多相環(huán)組成，Poincaré截面上的點組成三個圓環(huán)，表明車身的俯仰運動為三倍擬周期運動．

進一步分析可知，車身垂直方向發(fā)生混沌運動的區(qū)間為［0．0030，0．0044］;車身俯仰運動發(fā)生混沌運動的區(qū)間為［0．0030，0．0038］;車身側傾運動在整個區(qū)間都趨于穩(wěn)定;車身俯仰運動在區(qū)間［0．0038，0．0044］內為三倍擬周期運動．所以當汽車以車速v=12m/s通過高速公路上連續(xù)分布的減速帶時，為避免發(fā)生混沌運動，減速帶的高度應大于0．0044m．這為高速公路特殊路段上設計減速帶提供了理論依據(jù)．

圖10 減速帶高度h=0．0041m，車身垂直運動時間歷程圖、相位圖、Poincaré截面Fig．10 Time history，phase portrait and Poincaré map of z for h=0．0041m

圖11 減速帶高度h=0．0041m，車身側傾運動時間歷程圖、相位圖、Poincaré截面Fig．11 Time history，phase portrait and Poincaré map of for h=0．0041m

圖12 減速帶高度h=0．0041m，車身俯仰運動時間歷程圖、相位圖、Poincaré截面Fig．12 Time history，phase portrait and Poincaré map of θ for h=0．0041m

混沌現(xiàn)象只有在非線性系統(tǒng)才會出現(xiàn)，是確定性系統(tǒng)中的不規(guī)則運動．下面具體分析在連續(xù)減速帶激勵下，汽車俯仰運動由周期運動通向混沌運動的途徑．圖13和圖14給出了車身俯仰運動隨減速帶高度變化時的Poincaré截面演變過程．

圖13 車身俯仰運動的Poincaré截面，(h=0．0045m，h=0．00442m，h=0．0044m)Fig．13 Poincaré map of θ for(h=0．0045m，h=0．00442m，h=0．0044m)

圖14 車身俯仰運動的Poincaré截面，(h=0．00388m，h=0．00386m，h=0．0038m)Fig．14 Poincaré map of θ for(h=0．00388m，h=0．00386m，h=0．0038m)

分析圖13、圖14，可以看出車身俯仰運動通向混沌的道路可以分為兩步．第一步:由周期運動到擬周期運動過程，在圖13中，當h=0．0045m時，Poincaré截面上有三個點，表明此時的運動為周期三運動，當h減小到0．00442m時，Poincaré截面上的三個點向周圍擴散，當h減小到0．0044m時，Poincaré截面上的點組成三個圓環(huán)，運動已經(jīng)變?yōu)槿稊M周期運動;第二步:由擬周期運動到混沌運動，從圖14中可以看出，h減小到0．00388m時，Poincaré截面上三個圓環(huán)分別向周圍逐漸破裂，當h減小到0．00386m時，Poincaré截面上三個圓環(huán)已經(jīng)明顯破壞，此時的運動已經(jīng)具有明顯的混沌運動特性，當h減小到0．0038m時Poincaré截面上的點完全混亂分布，此時汽車俯仰運動已經(jīng)變?yōu)榛煦邕\動．

3 結論

本文數(shù)值研究了連續(xù)減速帶激勵下具有磁流變懸架系統(tǒng)七自由度汽車的非線性動力學行為．結果表明一定高度范圍的減速帶可激發(fā)汽車混沌運動．因此，汽車設計時應充分考慮連續(xù)減速帶激勵對其運動特性的影響，避免發(fā)生混沌振動等有害運動，實現(xiàn)平穩(wěn)安全行駛．

1 鄭劍．減速帶激勵下非線性汽車懸架系統(tǒng)動力學特性研究［碩士學位論文］．重慶:重慶大學，2010:30～52(Zheng J．Study on dynamics character of nonlinear vehicle suspension system due to speed control humps impact［Ms Thesis］．Chongqing:Chongqing University，2012:30 ～ 52(in Chinese))

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3 李韶華，楊紹普．擬周期激勵下滯后非線性汽車懸架的混沌．振動與沖擊，2003，22(3):61～64(Li S H，Yang S P．Chaos in suspension system with hysteretic nonlinearity under quasi－period excitation．Journal of Vibration and Shock，2003，22(3):61 ～64(in Chinese))

4 馬新娜，楊紹普．時滯在磁流變主動控制系統(tǒng)中的影響．動力學與控制學報，2012，10(3):228～234(Ma X N，Yang S P．Effect of time－delay on MRD active control system．Journal of Dynamics and Control，2012，10(3):228～234(in Chinese))

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9 方子帆．基于MR阻尼器的半主動懸架控制方法研究［博士學位論文］．重慶:重慶大學，2006(Fang Z F．The study of the semi－active suspension’s control method based on the MR damper［PhD Thesis］．Chongqing:Chongqing University，2006(in Chinese))

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(10972179，11272242)

? Corresponding author E－mail:wying36@163．com

NONLINEAR VIBRATION ANALYSIS FOR AUTOMOBILE STIMULATED BY SPEED CONTROL HUMP*

Wu Ying1?Li Jiajia1Nong Duomin2，3Liu Shaobao1
(1．State key Laboratory for strength and Vibration，School of Aerospace，Xi’an Jiaotong University，Xi’an710049，China)(2．Guangxi Liugong Machinery Co．，Ltd．，Liu Zhou545001，China)(3．Department of Engineering Mechanics，School of Civil Engineering and Architecture，Xi’an University of Technology，Xi’an710048，China)

This paper investigated the nonlinear dynamic behavior of seven degree－of－freedom automobile with suspension system of sigmoid magneto－rheological damper stimulated by speed control hump(SCH)．Based on the Lagrange equations，the two－order differential equations were developed to describe the motion of automobile，and the fourth－order Runge－Kutta method was used for the numerical simulation．The bifurcation was analyzed by taking the height of SCH as bifurcation parameter，and the movements of the automobile at some values of height were analyzed by using time series，phase portrait，Poincaré map．The height ranges of SCH were obtained when the chaos vibration appeared，and the route to chaos was analyzed．

speed control hump， magneto－rheological damper， nonlinear， bifurcation， chaos

5 June 2013，

8 June 2013．

10．6052/1672－6553－2013－072

2013－06－05 收到第 1 稿，2013－06－08 收到修改稿．

*國家自然科學基金資助項目(10972179，11272242)

E－mail:wying36@163．com