參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下薄板的非線性動(dòng)力學(xué)*

郝五零 張偉

(1．云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明 650500)(2．北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124)

參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下薄板的非線性動(dòng)力學(xué)*

郝五零1?張偉2

(1．云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明 650500)(2．北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124)

研究了在參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的非線性動(dòng)力學(xué)．基于von Karman理論，推導(dǎo)出了在參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的動(dòng)力學(xué)方程．利用Galerkin法對(duì)偏微分方程進(jìn)行三階離散，得到一個(gè)三自由度的常微分方程．考慮1:2:4內(nèi)共振－主參數(shù)共振－1/2亞諧共振的情況，利用多尺度法得到了薄板系統(tǒng)的六維的平均方程．最后，采用數(shù)值方法研究了薄板的周期和混沌運(yùn)動(dòng)．結(jié)果發(fā)現(xiàn)外激勵(lì)對(duì)薄板的混沌運(yùn)動(dòng)是敏感的．

非線性系統(tǒng)， 矩形薄板， 多尺度法， 平均方程， 混沌

引言

眾所周知，薄板的應(yīng)用是非常廣泛的，但是在應(yīng)用過(guò)程中常常會(huì)出現(xiàn)由于外力的作用發(fā)生變形的現(xiàn)象，因此研究薄板的大變形具有很重要的應(yīng)用價(jià)值．事實(shí)上，這些大的變形往往不是簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題，而是復(fù)雜的非線性問(wèn)題．為了能夠更加細(xì)致的研究大變形的特性，我們需要研究薄板的更高維數(shù)的非線性動(dòng)力學(xué)，這與低維的系統(tǒng)相比會(huì)更加復(fù)雜．因此研究高維非線性薄板系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)將有更大的意義!

目前，關(guān)于薄板的非線性振動(dòng)、分叉和混沌動(dòng)力學(xué)的研究取得了一些進(jìn)展．1990年，Hadian和Nayfeh［1］利用多尺度法分析了諧波激勵(lì)作用下的非線性?shī)A緊圓板混合內(nèi)共振情形的響應(yīng)．Yang和Sethna［2］用平均法分析了參數(shù)激勵(lì)下正方形板的局部分叉和全局分叉，研究結(jié)果表明系統(tǒng)存在異宿環(huán)和Smale馬蹄意義的混沌運(yùn)動(dòng)．根據(jù) Yang和Sethna 的研究結(jié)果，F(xiàn)eng 和 Sethna［3］用全局?jǐn)z動(dòng)方法進(jìn)一步分析了參數(shù)激勵(lì)下1:1內(nèi)共振薄板的全局分叉和單脈沖混沌動(dòng)力學(xué)，他們得到了Shilnikov同宿軌道和混沌運(yùn)動(dòng)存在的條件．2001年，Zhang［4］研究了在參數(shù)激勵(lì)下的簡(jiǎn)支矩形薄板全局分叉和混沌動(dòng)力學(xué)．首先，基于von Karman理論［5］得到了薄板的運(yùn)動(dòng)方程，然后，應(yīng)用Galerkin方法和多尺度方法得到了薄板的平均方程．接下來(lái)應(yīng)用規(guī)范形理論［6］對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后，應(yīng)用高維Melnikov方法［7］研究了系統(tǒng)的異宿分岔和混沌動(dòng)力學(xué)．后來(lái)Zhang等人［8］又用同樣的方法研究了參數(shù)激勵(lì)和橫向激勵(lì)聯(lián)合作用下的簡(jiǎn)支矩形薄板全局分叉和混沌動(dòng)力學(xué)．Awrejcewicz等［9］研究了在一側(cè)受到縱向的隨時(shí)間變化的載荷的柔性薄板的周期和概周期及混沌運(yùn)動(dòng)．Awrejcewicz和 Krysko［10］利用 Bubnov－ Galerkin 法研究了柔性薄板和殼在有限自由度離散系統(tǒng)下的動(dòng)力學(xué)．Han等人［11］利用Galerkin方法和平均法研究了大變形彈性矩形板的非線性動(dòng)力學(xué)．2007年，Yao和Zhang［12］利用規(guī)范形方法和能量－相位法研究了參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下的矩形薄板的多脈沖Shilnikov類(lèi)型動(dòng)力學(xué)．在這篇文章中所研究的系統(tǒng)是個(gè)自治的系統(tǒng)．在此文章的基礎(chǔ)上，隨后Zhang等人［13－15］應(yīng)用改進(jìn)的廣義 Melnikov 方法研究了四維非自治屈曲薄板的全局分叉和多脈沖混沌動(dòng)力學(xué)．2010年，Li等人［16］運(yùn)用指數(shù)二分法和廣義平均法［17］研究了面內(nèi)激勵(lì)和橫向激勵(lì)聯(lián)合作用下屈曲矩形薄板的混沌動(dòng)力學(xué)．Yu和Chen［18］研究了受橫向間諧激勵(lì)的簡(jiǎn)支矩形金屬板的全局分叉和單脈沖混沌動(dòng)力學(xué)．

以上這些文獻(xiàn)都是對(duì)二自由度的薄板系統(tǒng)進(jìn)行了分析，本文將運(yùn)用Galerkin方法對(duì)薄板系統(tǒng)進(jìn)行三階離散，得到一個(gè)三自由度的非線性控制方程;接下來(lái)運(yùn)用多尺度法對(duì)參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形薄板進(jìn)行攝動(dòng)分析;然后對(duì)薄板系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬;最后給出了結(jié)論．

1 薄板的三階離散

下面我們對(duì)要研究的薄板模型進(jìn)行簡(jiǎn)要的概述．四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的邊長(zhǎng)為a和b，厚度是h，薄板同時(shí)受參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)，所建立的直角坐標(biāo)系如圖1．坐標(biāo)系Oxy位于薄板的中面上．u、v和w分別表示薄板中面上的一點(diǎn)在x、y和z方向的位移．薄板的參數(shù)激勵(lì)為p=p0－p1cosΩ2t，外激勵(lì)為F(x，y)cosΩ1t．

圖1 矩形薄板的模型及坐標(biāo)系Fig．1 The model of a rectangular thin plate and the coordinate system

根據(jù)薄板的von Karman方程，可以得到矩形薄板的運(yùn)動(dòng)方程如下

式中，ρ是薄板的密度;D=Eh3/(12(1－v2))是薄板的彎曲剛度;E是薄板的楊氏模量;v是Poisson比;φ為薄板的應(yīng)力函數(shù);μ為薄板的阻尼系數(shù)．

薄板的簡(jiǎn)支邊界條件為

在滿足邊界條件的情況下，可以得到應(yīng)力函數(shù)φ應(yīng)該滿足如下條件

當(dāng)x=0和a時(shí)

當(dāng)y=0和b時(shí)

式中δx為邊界上x(chóng)方向的位移．

我們考慮薄板的前三階模態(tài)的非線性振動(dòng)，則w可以表示為

式中ui(t)(i=1，2，3)為三個(gè)模態(tài)的振幅．

橫向的激勵(lì)可以表示成如下的形式

式中Fi(i=1，2，3)為三個(gè)非線性模態(tài)的橫向激勵(lì)的振幅．

將方程(3)～(6)代入方程(1b)，同時(shí)考慮邊界條件(3)和(4)，并且積分，得到如下的應(yīng)力函數(shù)

為了得到無(wú)量綱方程，我們引入變量和參數(shù)變換如下

為了便于分析，去掉參數(shù)和變量上面的符號(hào)“－”，將方程(5)～(8)代入方程(1)，應(yīng)用 Galerkin方法并積分，可以得到無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)方程如下

式中的系數(shù)可以參看附錄;其中 ωk(k=1，2，3)為薄板的三個(gè)線性固有頻率;fk(k=1，2，3)為參數(shù)激勵(lì)的振幅;Fk(k=1，2，3)為外激勵(lì)的振幅．

2 攝動(dòng)分析

在本節(jié)中，我們運(yùn)用多尺度法對(duì)四邊簡(jiǎn)支矩形薄板系統(tǒng)進(jìn)行攝動(dòng)分析．為了便于分析，我們對(duì)系統(tǒng)(9)引入如下的尺度變換

把變換(10)代入方程(9)，可以得到含有小參數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程

為了得到方程(11)的平均方程，我們使用多尺度法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行攝動(dòng)分析．設(shè)方程有如下形式的解

其中T0=t，T1= εt．

可以得到式子(12)有如下形式的微分算子

我們研究薄板系統(tǒng)的1:2:4內(nèi)共振－主參數(shù)共振－1/2亞諧共振情況下的運(yùn)動(dòng)，則共振關(guān)系如下:

其中 ω1、ω2和 ω3為薄板系統(tǒng)前三階的頻率;σ1、σ2和σ3為三個(gè)調(diào)諧參數(shù)．

不妨令Ω=2，把公式(12)、(13)和(14)代入到公式(11)，并且比較方程兩邊小攝動(dòng)參數(shù)ε同階次的系數(shù)，可以得到如下的微分方程

方程(15)的解的復(fù)數(shù)形式可以表示如下:

將方程(17)代入方程(16)，可以得到如下的方程

其中cc和NST分別表示方程(18)右邊函數(shù)的共軛項(xiàng)和非長(zhǎng)期項(xiàng)．令方程的長(zhǎng)期項(xiàng)等于零，可以得到如下復(fù)數(shù)形式的平均方程

為了得到直角坐標(biāo)形式的平均方程，可以將A1、A2和A3表示成如下的形式

將(20)代入(19)，可以得到如下形式的平均方程

3 非線性動(dòng)力學(xué)分析

本節(jié)利用數(shù)值方法對(duì)平均方程(21)進(jìn)行數(shù)值模擬分析，得到薄板系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)．圖2 －5的(a)、(c)和(e)分別表示二維平面(x1，x2)、(x3，x4)和(x5，x6)的相圖;(b)、(d)和(f)分別表示(t，x1)、(t，x3)和(t，x5)的波形圖;(g)和(h)分別表示(x1，x2，x3)和(x4，x5，x6)的三維相圖．

圖2 薄板的單倍周期運(yùn)動(dòng)Fig．2 The single－periodic motion of the thin plate

方程(21)的初始值為:

參數(shù)取下面的值:

圖3 薄板的多倍周期運(yùn)動(dòng)Fig．3 The multi－ periodic motion of the thin plate

圖4 薄板的概周期運(yùn)動(dòng)Fig．4 The quasi－ periodic motion of the thin plate

薄板系統(tǒng)出現(xiàn)了單倍周期響應(yīng)．如圖2所示．當(dāng)F2=22時(shí)，薄板系統(tǒng)出現(xiàn)了多倍周期響應(yīng)．如圖3所示．繼續(xù)變化F2的取值，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)F2=37時(shí)，薄板系統(tǒng)出現(xiàn)了概周期響應(yīng)，如圖4所示．當(dāng)F2=44時(shí)，薄板系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌運(yùn)動(dòng)，如圖5所示．由此可得，當(dāng)逐漸變化F2的取值時(shí)，薄板系統(tǒng)發(fā)生從單倍周期－多倍周期－概周期－混沌的變化過(guò)程．

圖5 薄板的混沌運(yùn)動(dòng)Fig．5 The chaotic motion of the thin plate

4 結(jié)論

本文研究了在參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的非線性動(dòng)力學(xué)．在研究過(guò)程中，運(yùn)用Galerkin法對(duì)四邊簡(jiǎn)支矩形薄板系統(tǒng)進(jìn)行了三階離散，得到了一個(gè)三自由度的非自治常微分方程．然后利用多尺度法得到了平均方程．最后通過(guò)數(shù)值計(jì)算，得到四邊簡(jiǎn)支矩形薄板系統(tǒng)隨著參數(shù)的變化發(fā)生從周期運(yùn)動(dòng)－概周期－混沌的變化規(guī)律．通過(guò)本文的研究，一方面對(duì)以后繼續(xù)研究高維的薄板系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)奠定了基礎(chǔ);另一方面對(duì)研究其他的高維板結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)行為具有重要的參考意義．

1 Hadian J，Nayfe A H．Modal interaction in circular plates．Journal of Sound and Vibration，1990，142(2):279～292

2 Yang L，Sethna P R．Local and global bifurcations in parametrically excited vibrations nearly square plates．International Journal of Non－linear Mechanics，1990，26(2):199～220

3 Feng Z C，Sethna P R．Global bifurcations in the motion of parametrically excited thin plate．Nonlinear Dynamics，1993，4:389～408

4 Zhang W．Global and chaotic dynamics for a parametrically excited thin plate．Journal of Sound and Vibration，2001，239(5):1013～1036

5 Chia C Y．Nonlinear analysis of plate．New York:1980

6 Yu P，Zhang W，Bi Q．Vibration analysis on a thin plate with the aid of computation of normal forms．International Journal of Non－linear Mechanics，2001，36(4):597 ～627

7 Yagasaki K．Periodic and homoclinic motions in forced，coupled oscillators．Nonlinear Dynamics，1999，20(4):319～359

8 Zhang W，Liu Z M，Yu P．Global dynamics of a parametrically and externally excited thin plate．Nonlinear Dynamics，2001，24:245～268

9 Awrejcewicz J，Krysko V A，Krysko A V．Spatio－temporal chaos and solitons exhibited by von kármán model．International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12(7):1465～1513

10 Awrejcewicz J，Krysko A V．Analysis of complex parametric vibrations of plates and shells using Bubnov－Galerkin approach．Archive of Applied Mechanics，2003，73:467 ～532

11 Han Q，Dai L，Dong M．Bifurcation and chaotic motion of an elastic plate of large deflection under parametric excitation．International Journal of Bifurcation and Chaos，2005，15(9):2849～2863

12 Yao M H，Zhang W．Multi－pulse Shilnikov orbits and chaotic dynamics of a parametrically and externally excited thin plate．International Journal of Bifurcations and Chaos，2007，17(3):1～25

13 Zhang J H，Zhang W．Global bifurcation and chaotic dynamics for a non－autonomous buckled thin plate．Journal of Dalian University of Technology，2006，46(S1):1～6

14 Zhang J H，Zhang W，Yao M H，et al．Multi－pulse Shilnikov chaotic dynamics for a non－autonomous buckled thin plate under parametric excitation．International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation，2008，9(4):381～394

15 Zhang W，Zhang J H，Yao M H．The extended Melnikov method for non－autonomous nonlinear dynamical system of a buckled thin plate．Nonlinear Analysis:Real World Application，2010，11(3):1442～1457

16 Zhang W，Li S B．Resonant chaotic motions of a buckled rectangular thin plate with parametrically and externally excitations．Nonlinear Dynamics，2010，62(3):673 ～686

17 Feckan M，Gruendler J R．The existence of chaos for ordinary differential equations with a center manifold．Bulletin of the Belgian Mathematical Society，2004，11(1):77～94

18 Yu W Q，Chen F Q．Global bifurcations of a simply supported rectangular metallic plate subjected to a transverse harmonic excitation．Nonlinear Dynamics，2010，59:129～141

*The project supported by the State Key Program of National Natural Science Foundation of China(10732020)，the National Natural Science Foundation of China(11072008 and 10972011)and the National Natural Science Foundation of China Youth Project(11002005)

? Corresponding author E－mail:haowuling@sohu．com

NONLINEAR DYNAMICS OF A PARAMETRICALLY AND EXTERNALLY EXCITED THIN PLATE*

Hao Wuling1?Zhang Wei2
(1．School of Mathematics，Yunnam Normal University，Kunming650500，China)(2．College of Mechanical Engineering，Beijing University of Technology，Beijing100124，China)

The nonlinear dynamics of a four－edge simply supported rectangular thin plate under the combination of the parametrical and external excitations were investigated．Based on the von Karman theory，the formulas of motion for the four－edge simply supported rectangular thin plate under the combination of the parametrical and external excitations were derived．The partial differential equations were discretized to the ordinary differential equations with three－degree－of－freedom using the Galerkin approach．Considering the resonant cases of 1:2:4 internal resonance and principal parametric resonance－1/2 subharmonic resonance，the method of multiple scales was utilized to obtain the six－dimensional averaged equations．Furthermore，numerical method was carried out to investigate the periodic and chaotic motions of the thin plate．The results show that the chaotic responses of the thin plate are sensitive to the external excitation．

nonlinear system， rectangular thin plate， the method of multiple scales， averaged equation，chaos

2 July 2012，

20 July 2012．

10．6052/1672－6553－2014－009

2012－07－02 收到第 1 稿，2012－07－20 收到修改稿．

*國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(10732020)，國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11072008和10972011)和國(guó)家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(11002005)

E－mail:haowuling@sohu．com

附錄