Klein-Gordon-Schr?dinger耦合方程的線性化緊致差分格式

孫啟航, 徐尚巧

(魯東大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院,山東 煙臺 264025)

0 引言

在量子場論中,非線性Klein-Gordon-Schr?dinger(KGS)耦合方程刻畫了守恒復(fù)中子場和中性介子場Yukawa相互作用的經(jīng)典模型[1-2]．許多作者從解的性質(zhì)、類型以及數(shù)值解法等方面研究了這類方程[1-6]．文獻(xiàn)[5,7-8]中給出了KGS耦合方程的孤立波解、平面波解以及周期解．在數(shù)值方面,Xiang[9-10]利用譜方法對此方程進(jìn)行了研究,并給出了該方法的誤差估計．Wang等[11]利用樣條配置方法給出了該方程的數(shù)值解．Bao等[12]將時間分裂譜離散的方法作用于KGS方程,也得到了較好的數(shù)值結(jié)果．張魯明等[13-15]構(gòu)造了關(guān)于KGS方程的守恒差分格式,其收斂階為O(τ2+h2).本文介紹一個新的緊致差分格式,該格式是線性化的并且解耦的,其收斂階為O(τ2+h4),并通過理論以及數(shù)值試驗證明格式的正確性．

考慮如下KGS耦合方程的周期邊值問題:

(1)

utt-uxx+u-|φ|2=0,

(2)

φ(x,0)=φ0(x),u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),

(3)

φ(x,t)=φ(x+L,t),u(x,t)=u(x+L,t), 0≤t≤T,

(4)

其中φ和φ(x,t)是未知的復(fù)值函數(shù),u和u(x,t)是未知的實值函數(shù),常數(shù)L為方程的周期．

1 預(yù)備知識

1.1 符號的定義

為了更方便地解決KGS耦合方程的周期邊值問題,定義如下記號:

對于所研究的非線性KGS耦合方程的周期邊值問題(1)～(4)的精確解,假設(shè)

max{‖un‖,‖δxun‖,‖un‖∞}≤C, max{‖φn‖,‖δxφn‖,‖φn‖∞}≤C,

經(jīng)過簡單計算可知,此周期邊值問題滿足如下守恒性質(zhì):

Q(t)=‖φ‖2=Q(0),

(5)

(6)

1.2 幾個引理

引理1[16]對任意的網(wǎng)格函數(shù)u,v∈Vh,且滿足uj=uj+J,vj=vj+J,則有

引理2[16](Gronwall不等式) 假設(shè)網(wǎng)格函數(shù){wn|n=0,1,2,…,N;Nτ=T}滿足不等式

其中A和Bl(l=0,1,2,…,N)是非負(fù)常數(shù),則

引理3[16]假設(shè)網(wǎng)格函數(shù){wn|n=0,1,2,…,N;Nτ=T}滿足不等式

wn-wn-1≤Aτwn+Bτwn-1+Cnτ,

其中A,B和Cn(n=0,1,2,…,N)是非負(fù)常數(shù),則

引理4[16]對于序列w={w0,w1,…,wn-1,wn}和g={g0,g1,…,gn-1,gn},有

引理5[16]對任一實值對稱正定矩陣HJ×J,un∈Vh,則

其中RJ×J是一個對H進(jìn)行Cholesky分解得到的上三角實值矩陣,即H=RTR．

引理6[16]對任一實值對稱矩陣HJ×J,un∈Vh,則存在兩個常數(shù)C0和C1,使得

C0‖un‖2≤(Hun,un)≤C1‖un‖2.

引理7[17]對任意的網(wǎng)格函數(shù)v∈Vh,有

‖v‖p≤C(‖δxv‖α‖v‖1-α+‖v‖),

2 KGS耦合方程的線性化緊致差分格式

2.1 格式構(gòu)造以及離散守恒律

2.1.1 差分格式的構(gòu)造

對定解問題(1)～(4)提出如下差分格式:

(7)

(8)

(9)

(10)

記

因為M是一個實值對稱正定矩陣,因此存在另外一個實值對稱正定矩陣H,使得H=M-1,從而格式(7)～(10)可寫成如下的向量形式:

(11)

(12)

(13)

(14)

從(11)，(12)式可以得到

(15)

格式(11)是3層的,因此不能自啟動．對此可采取其它格式來求解φ1,顯然格式(11),(12)是完全解耦的,因此可對φn和Un并行計算,即若已知{φn,Un},可運(yùn)用格式(11),(12)分別對φn+1,Un+1同時求解,與其它格式相比大大提高了計算速度．

2.1.2 離散守恒律

與(5),(6)對應(yīng),所構(gòu)造的格式具有如下兩個離散守恒律:

定理1假設(shè)u0∈H1,u1∈L2,φ0∈H1∩L4,格式(11),(12)關(guān)于離散質(zhì)量和離散能量具有如下形式的守恒律:

(16)

=En-1=…=E0.

(17)

證將(11)與φn+1+φn-1作向量內(nèi)積,然后取虛部得

Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ=0

其中

將(11)與φn+1-φn-1作向量內(nèi)積,然后取實部，再根據(jù)引理5，有

(18)

將(12)與Un+1-Un-1作向量內(nèi)積,再根據(jù)引理5,得

(19)

假設(shè)En如(17)所示，則En=En-1=…=E0.

2.2 格式的依最大模范數(shù)的收斂性分析

首先,考慮差分格式(11),(12)的截斷誤差:

(20)

(21)

由(16)式及引理1,6,7,易得如下的先驗估計:

引理8(先驗估計) 假設(shè)u0∈H1,u1∈L2,φ0∈H1∩L4,則格式(11),(12)的差分解滿足

‖φn‖∞≤C, ‖Un‖∞≤C.

下面將根據(jù)以上結(jié)論來證明所構(gòu)造的差分格式的收斂性.

證令en=φn-φn,ηn=un-Un,0≤n≤N,則有如下誤差方程:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

其中

由引理7,有

將(24)與η1作內(nèi)積得

‖η1‖∞≤C(τ2+h4).

(27)

將(22)與en+1+en-1作內(nèi)積,然后取虛部，再根據(jù)Cauchy-Schwardz不等式得

鋼混凝土疊合梁主梁間橋面板支架通常使用M20型號的彎鉤螺桿進(jìn)行固定，其長度則根據(jù)實際測量數(shù)據(jù)決定，在螺桿上還要再安裝雙螺母構(gòu)件。當(dāng)螺桿的高度基本確定后，要將其與主梁的翼板進(jìn)行固定焊接，其中縱橋之間的距離控制在1m左右。當(dāng)這些焊接工作完成后，再需要結(jié)合設(shè)計圖紙的標(biāo)準(zhǔn)，對螺母高度細(xì)微調(diào)節(jié)。

將(23)與δtηn+δtηn-1作內(nèi)積,利用引理6和Cauchy-Schwardz不等式可得

因此有

≤‖σn‖2+C(‖en‖+‖δtηn‖2+‖δtηn-1‖2).

(28)

由以上可得

≤τ(‖rn‖2+‖σn‖2)+Cτ(‖en+1‖2+‖en-1‖2+‖en‖2+‖δtηn‖2+‖δtηn-1‖2+‖ηn‖2).

(29)

令

(30)

則由(29)得Bn-Bn-1≤τ(‖rn‖2+‖σn‖2)+Cτ(Bn+Bn-1).由引理3,當(dāng)τ足夠小時,有

(31)

可采取其它具有4階精度的格式來計算出φ1,則e1也具有4階精度,故B0≤C(τ2+h4).由引理9,可得

‖en‖≤C(τ2+h4), ‖δtηn‖≤C(τ2+h4), ‖δxηn‖≤C(τ2+h4),

因此得‖ηn‖∞≤C(τ2+h4).

(32)

將(23)與en+1-en-1作內(nèi)積，然后取實部得

(33)

利用Cauchy-Schwardz不等式可得

≤C(‖en-1‖2+‖en+1‖2+‖ηn‖2+‖Rδxen-1‖2+‖Rδxen+1‖2),

將以上所得代入(33),得

‖Rδxen+1‖2-‖Rδxen-1‖2≤Cτ(‖Rδxen-1‖2+‖Rδxen+1‖2)+Cτ(τ2+h4)2

+τRe(rn,en+1-en)+Cτ(‖en‖2+‖en+1‖2+‖ηn‖2).

對于n,從0連加到k,然后再用n替換k,得

3 數(shù)值實驗

在數(shù)值實驗中,當(dāng)初始條件都有|x|→∞時,|φ0(x)|,u0(x),u1(x)→0,KGS耦合方程有如下的孤立波解[7-8]:

(34)

(35)

這里v是已知的傳播速度,x0是初始常數(shù)．

取(34)和(35)中的v=0.8,x0=0,h為空間步長．為了驗證該格式的收斂階為O(τ2+h4),選擇時間步長τ=h2,x∈[-10,10]以及T=1.格式的誤差估計以及收斂階見表1．可以看出,格式的計算精度接近4階,此結(jié)果也證實了理論分析．

數(shù)值方法中最重要的目的之一就是驗證問題所滿足的守恒律．取h=0.2,τ=0.04,x∈[-10,10]以及T=20. 從圖1中可以看出該格式是完全守恒的．圖2和圖3分別表示孤立波的數(shù)值解|φ|,U及精確解φ,u．由此也能看出該格式所求得的數(shù)值解和精確解幾乎一致,從而也證明了該數(shù)值方法的有用性．

表1 差分格式的誤差估計和收斂階

圖1 質(zhì)量和能量守恒量

圖2 數(shù)值解|φ|與精確解φ的比較

圖3 數(shù)值解U與精確解u的比較

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