二元域上線性半群到任意域上線性半群的同態(tài)

朱 捷, 顧秋宇， 劉 瑩, 杜廣環(huán), 王佳秋

(黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150027)

0 引言

線性半群同態(tài)近年來引起許多學(xué)者關(guān)注,已成為矩陣代數(shù)中重要的研究課題[1-9]．我們描繪了F2上的n階線性群到域K上的m階線性群(n=m=2,n=m≥3,n>m)的同態(tài)形式[1-3],從而完全描述了二元域F2上一般線性群的同態(tài)形式．但關(guān)于矩陣半群同態(tài)的描繪并不多[4-7],因此,我們使用矩陣計(jì)算與群的定義關(guān)系,結(jié)合文獻(xiàn)[1-3]中已有的一般線性群結(jié)果,在文獻(xiàn)[4]中通過引入標(biāo)準(zhǔn)型、延斷型、平凡型、特殊型的概念,描述了M2(F2)到M2(K)的線性半群同態(tài)形式(其中同態(tài)是僅保持乘法，但未必保單位矩陣的映射)．

本文結(jié)合文獻(xiàn)中已有的關(guān)于一般線性群的結(jié)果,在正整數(shù)n≥m的限制下,給出了n>m,乘法半群同態(tài)(不必保幺元)為In,s,r或?yàn)棣?的延斷(其中:若X為GL2(F2)的2階元,φ1(X)=-1;若X=I2或X為3階元,φ1(X)=1);當(dāng)n=m時,乘法半群同態(tài)(不必保幺元)除In,s,r外,為標(biāo)準(zhǔn)型或線性非平凡解同態(tài)的延斷．從而完全描述了Mn(F2)到Mm(K)的所有線性半群同態(tài)形式(僅保持乘法，未必保單位矩陣的映射)．

1 基礎(chǔ)知識

本文中,設(shè)K為域,n∈N+,SLn(K),GLn(K),Mn(K),DGLn(K)分別表示K上的n階特殊線性群、一般線性群、線性半群、換位子群．以F2表示僅含兩個元素的域，Tij(λ)(i≠j,λ∈K*,K*=K{0})為將n階單位矩陣中(i,j)位置的元素易之以λ所得到的矩陣．對于X∈Mn(K),記iPX=P-1XP(其中P∈GLn(K))．

由[1-7]可知,下述映射φ是Mn(F2)到Mm(K)(n≥m)的半群同態(tài)(僅保持乘法,未必保單位矩陣)．

Ⅰ標(biāo)準(zhǔn)型

1)φ(X)=PXτP-1,?X∈Mn(F2),其中P∈GLm(K),τ:F2→K為嵌入．

2)φ(X)=P(X*τ)TP-1,?X∈Mn(F2),其中P∈GLm(K),X*為X的伴隨矩陣,τ同1)．

Ⅱ延斷型

設(shè)φ1:GLn(F2)→GLm(K)為非平凡同態(tài),則稱下列映射φ為φ1在Mn(F2)到Mm(K)的延斷：

Ⅲ平凡型

設(shè)r,s∈{0,1,…,m},r≤s,P∈GLm(K),置

其中對于任意n,m∈N+,任意域K,稱其為平凡同態(tài),并以In,s,r表之．

Ⅳ特殊型

設(shè)ChK≠2,φ:M2(F2)→M2(K),

易證,φ為同態(tài)．

引理1[7]當(dāng)n≥3時,有DGLn(F2)=SLn(F2)=GLn(F2)．

引理2[4]設(shè)φ:M2(F2)→M2(K)為半群同態(tài),則

1)φ=I2,2,2,I2,2,1,I2,2,0,I2,1,1,I2,1,0,I2,0,0．

2) 當(dāng)ChK=2時,φ為標(biāo)準(zhǔn)型或標(biāo)準(zhǔn)型延斷,或者為下述φ1的延斷:

φ1(X)=PT12(1)P-1,

φ1(Y)=I2,

其中X∈GL2(F2)為任意2階元,Y=I2或?yàn)?階元,P∈GL2(K)．

3) 當(dāng)ChK≠2時,φ為下述φ1,φ2,φ3之一的延斷:

φ1(X)=-I2,φ1(Y)=I2,

φ2(X)=P[1,-1]P-1,φ2(Y)=I2,

φ3(X)=P[-1,0]P-1,φ3(Y)=P[1,0]P-1,

其中X∈GL2(F2)為任意2階元,Y∈GL2(F2)為任意3階元．

4)φ為特殊型．

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)φ:Mn(F2)→Mm(K)是半群同態(tài),n>m,則僅當(dāng)n=2,ChK≠2時,φ可以是φ1的延斷,其它情形φ均為平凡型,其中

由InX=XIn=X,?X∈Mn(F2),推出

iPφ(X)=X1⊕Om-s,X1∈Ms(K).

(1)

可推出φ1:X→X1是GLn(F2)到GLs(K)的群同態(tài),由文獻(xiàn)[3，定理2]知,當(dāng)n≥3時,φ1是平凡的,即

?X∈GLn(F2).

(2)

而當(dāng)n=2時,若ChK≠2,由文獻(xiàn)[3,定理1]知,除上述φ1為平凡外,還有下述形式：

φ1(X)=-1,φ1(Y)=1，

(3)

其中

iPφ(In-1⊕0)=X1⊕Om-s.

iQφ(X)=Is⊕Om-s, ?X∈GLn(F2),

iQφ(In-1⊕0)=Ir⊕Om-r.

從而對于任意X∈Mn(F2),rankX=n-1,有T1,T2∈GLn(F2),使X=T1(In-1⊕0)T2,可推出

iQφ(X)=Ir⊕Om-r.

于是,對于t∈{0,1,…,n-2},由

(4)

推出

iQφ(It⊕0)=Ir⊕O.

因此

iQφ(X)=Ir⊕Om-r,

?X∈Mn(F2)GLn(K)，

即φ為平凡型的．

對于(3)式,設(shè)φ(E11)=x∈K,由于T12(1)E11=E11,取象后，(-1)x=x,得x=0．不難指出

φ(X)=O, ?X∈Mn(F2)GLn(K)，

即φ是φ1的延斷．證畢.

定理2設(shè)φ:Mn(F2)→Mn(K)為半群同態(tài)(只保持矩陣乘法),n≥3,則

1)φ為平凡的,即φ=In,s,r;

2)φ為標(biāo)準(zhǔn)型,或?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)型延斷;

3)φ為下述φ3的延斷,φ:GL3(F2)→GL3(K),其中ChK≠2,多項(xiàng)式2x2-x+1在K上分裂,且有P∈GL3(K),使

iPφ3(T12(1))=-I2⊕1,

iPφ3(T13(1))=1⊕(-I2),

證若存在sn,P∈GLn(K),使iPφ(In)=Is⊕On-s．則由定理2證明可知,?X∈Mn(F2),有X1∈Ms(K),使iPφ(X)=X1⊕On-s．由文獻(xiàn)[3，定理2]可知,iPφ(X)=Is⊕On-s,?X∈GLn(F2)．與定理2證明類似,可知φ=In,s,r．

如果φ(In)=In,則φ誘導(dǎo)出GLn(F2)→GLn(K)的群同態(tài)．置φ1=φ|GLn(F2),由引理1知,φ1是SLn(F2)到SLn(K)的群同態(tài)．如果φ1是平凡的,可知φ=In,s,r;如果φ1不是平凡的,由文獻(xiàn)[2,定理1,3]有

Ⅰ) 當(dāng)ChK=2時,φ1為標(biāo)準(zhǔn)型[2,定理3]);

Ⅱ) 當(dāng)ChK≠2時,當(dāng)且僅當(dāng)n=3,多項(xiàng)式2x2-x+1在域K上分裂,存在P∈GL3(K),使iPφ1具有文獻(xiàn)[2,定理1]中iPφ的形式．

如果上述Ⅰ)成立,則

iPφ1(X)=Xστ, ?X∈SLn(F2)

(5)

或者

iPφ1(X)=((Xτ)-1)T, ?X∈SLn(F2),

(6)

其中τ:F2→K為嵌入．

當(dāng)(5)成立時,由于

(In-1⊕0)(A⊕1)=(A⊕1)(In-1⊕0),

?A∈SLn-1(F2),

(In-1⊕0)Tnl(1)=In-1⊕0,l=1,2,…,n-1,

?A∈SLn-1(F2).

(7)

令

上述式子取象后得

X(A⊕1)=(A⊕1)X,XTnl(1)=X．

推出

AX1=X1A, (A-In-1(1))X2=O,

X2ei=O,X3(A-In-1)=O,X4ei=O,

X1=aIn-1,X2=O(n-1)×1,X3=O1×(n-1)．

iPφ(In-1⊕0)=In-1⊕0

(8)

或

iPφ(In-1⊕0)=On.

(9)

若(8)發(fā)生,經(jīng)(4)得,iPφ(It⊕On-t=On,不難指出

iPφ(X)=O, ?X∈Mn(F2)GLn(F2),

即φ為標(biāo)準(zhǔn)型的延斷．

若(7)發(fā)生,?X∈Mn(F2),rankX=n-1,有T1，T2∈GLn(F2),使

X=T1(In-1⊕0)T2.

(10)

推出

再由(4)不難指出,上式對于?X∈Mn(F2)GLn(F2)成立,故φ為標(biāo)準(zhǔn)型．

若(6)成立,由GLn(F2)=SLn(F2),可知det (Xτ)=1,故(Xτ)-1=(Xτ)*．于是(6)為

iPφ1(X)=((Xτ)*)T, ?X∈GLn(F2),

(11)

X((Aτ)-1)T⊕1)=(((Aτ)-1)T⊕1)X,XTln(1)=X,l=1,…,n-1,?A∈GLn-1(F2),

其中

故又有

X1((Aτ)-1)T=((Aτ)-1)T⊕X1,

(((Aτ)-1)T-In-1)X2=O,

X3((Aτ)-1)T-In-1)=O,

X3ei=O,

可推出

經(jīng)X2=X,得X=Enn或On．與上述討論類似,由X=On,可推出φ為標(biāo)準(zhǔn)型φ1的延斷．

當(dāng)X=Enn時,則

iPφ(In-1⊕0)=((In-1⊕0)τ)*T.

經(jīng)(10)，(11)得,

=(((T1(In-1⊕0)T2)τ)*)T

=(Xτ)*T，

其中X∈GLn(F2),rankX=n-1．

iPφ(It⊕0)=((It⊕0)τ)*T.

從而對于X∈Mn(F2),rankX=n-1,有S1,S2∈SLn(F2),使X=S1XS2．取象iPφ(X)=((Xτ)*)T,因此φ為標(biāo)準(zhǔn)型．

如果上述Ⅱ)成立,此時n=3,ChK≠2,φ1=φ3．

⊕x33.

又由T13(1)(I2⊕0)=I2⊕0,推出

⊕0.

再經(jīng)(I2⊕0)T31(1)=I2⊕0,推出

故x11=x12=0,即iPφ(I2⊕0)=O．由此不難指出φ為φ3的延斷．證畢．

定理3設(shè)K為域,且φ:Mn(F2)→Mm(K)為乘法半群同態(tài)(不必保幺元),n≥m,

1) 若n>m,則φ=In,s,r或?yàn)橄率靓?的延斷:

2) 若n=m,則除φ=In,s,r外,φ為標(biāo)準(zhǔn)型或?yàn)榫€性非平凡解同態(tài)的延斷．

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