解析第二重要極限的三步驟法

華婷,文傳軍

(常州工學(xué)院理學(xué)院，江蘇常州213002)

第二重要極限是“高等數(shù)學(xué)”課程中極限部分的一個(gè)重要內(nèi)容[1-2]，是處理1∞未定型極限的有效方法。由于第二重要極限存在2種基本表達(dá)形式，且應(yīng)用時(shí)需要構(gòu)造特定的極限形式，學(xué)生對于該公式的學(xué)習(xí)、掌握及靈活應(yīng)用存在一定困難。

對于第二重要極限的研究，主要分為兩方面：一是第二重要極限公式的證明研究，大多集中在公式數(shù)列形式單調(diào)性的證明。包括利用數(shù)列展開證明單調(diào)性，以及利用算數(shù)平均大于幾何平均進(jìn)行單調(diào)性證明；二是第二重要極限公式應(yīng)用技巧方面的研究。夏桂梅[3]通過對第二重要極限表現(xiàn)形式及特性的研究分析，得出了它的一些推廣定理，并給予證明，同時(shí)得到了一些容易掌握的應(yīng)用技巧；高建云[4]從實(shí)際應(yīng)用出發(fā)逐步過渡到知識的講解,闡述了無窮數(shù)e與第二重要極限的關(guān)系，期望有助于學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的激發(fā)和知識遷移能力的提高；張正宇[5]分析了極限問題轉(zhuǎn)換為第二重要極限形式所需要滿足的基本要素；文獻(xiàn)[6]聯(lián)合應(yīng)用第二重要極限和羅比達(dá)法則求1∞的冪指函數(shù)極限，使冪指函數(shù)極限求值問題變得既方便又簡單。文獻(xiàn)[6]通過2個(gè)結(jié)論實(shí)現(xiàn)，其中結(jié)論2給出的條件與結(jié)論并不嚴(yán)謹(jǐn)，且結(jié)論2中最終結(jié)果的表示需中間變量轉(zhuǎn)換，增加了掌握和學(xué)習(xí)難度。

在上述研究工作的基礎(chǔ)上，提出了解析第二重要極限的三步驟法，利用冪指函數(shù)連續(xù)性計(jì)算極限，并將計(jì)算步驟細(xì)分為一判定、二構(gòu)造“1加”形式、三構(gòu)造指數(shù)倒數(shù)形式，從而降低了對該公式學(xué)習(xí)和應(yīng)用的難度。

1 三步驟法

1.1 學(xué)習(xí)第二重要極限存在的問題

第二重要極限公式為

(1)

由式(1)可知，第二重要極限公式存在2種基本極限形式：一是自變量x趨近于0時(shí)；二是自變量x趨近于無窮時(shí)。如果再考慮左右極限等情況，式(1)可衍生出許多種極限形式。

僅就2種最基本的極限形式而言，為了掌握第二重要極限，學(xué)生需要記憶不同的計(jì)算公式，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)和記憶的負(fù)擔(dān)；同時(shí)這2種極限形式非常相似，學(xué)生們學(xué)習(xí)時(shí)總是容易將二者混淆起來，包括對自變量趨近的混淆以及函數(shù)形式的混淆，進(jìn)而導(dǎo)致了極限計(jì)算的最終錯(cuò)誤。另外，在構(gòu)造底函數(shù)“1加”形式時(shí)，一般要求結(jié)合具體題目采用不同途徑構(gòu)造，增加了解題過程的變化形式，進(jìn)一步加大了該知識點(diǎn)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的困難。因此，第二重要極限公式的應(yīng)用或者1∞未定型極限是極限計(jì)算部分的難點(diǎn)。

1.2 三步驟法

為了能夠讓第二重要極限公式變得簡單易懂，幫助學(xué)生牢固而有效地掌握該公式的核心并靈活應(yīng)用之，對第二重要極限公式進(jìn)行了研究分析，將其解析過程歸納分解為3個(gè)基本步驟，并稱之為第二重要極限的三步驟法，具體如下說明。

冪指函數(shù)的極限形式為

limf(x)g(x)

(2)

步驟1 利用無窮大與無窮小的關(guān)系等方法，判定極限式(2)的類型為1∞未定型極限。

步驟2 構(gòu)造底函數(shù)“1加”的形式，即令

f(x)=[1+(f(x)-1)]

(3)

其中：f(x)>0,f(x)≠1。

此處需要特別說明的是，有許多教學(xué)或輔導(dǎo)教材要求同學(xué)們根據(jù)具體題目去構(gòu)造函數(shù)“1加”的形式，但正是因?yàn)椴煌念}目有著各種不同的構(gòu)造途徑，導(dǎo)致學(xué)生無法正確理解并有效掌握這些繁瑣的變換途徑，對于不同的題目而感到無所適從。為了幫助學(xué)生對于任何1∞未定型極限都能夠準(zhǔn)確處理，在三步驟法的第二個(gè)步驟中，統(tǒng)一要求學(xué)生通過“加1減1”的方法來構(gòu)造“1加”底函數(shù)形式，其形式如式(3)所示。

步驟3 構(gòu)造指數(shù)函數(shù)倒數(shù)形式，即令

(4)

由此，則有

limf(x)g(x)=lim [1+(f(x)-1)]g(x)=

(5)

由第二重要極限及l(fā)imf(x)g(x)為1∞未定型極限可知

(6)

設(shè)lim (f(x)-1)g(x)=a，結(jié)合式(5)、式(6)，從而有

limf(x)g(x)=ea

(7)

通過第二重要極限的三步驟法可知，整個(gè)極限過程除了極限lim (f(x)-1)g(x)需特定計(jì)算外，其他部分幾乎與試題具體函數(shù)內(nèi)容毫無關(guān)系，學(xué)生在掌握該方法時(shí)幾乎不需要根據(jù)具體試題而采用不同變化形式和方法，從而降低掌握及應(yīng)用該知識點(diǎn)的難度。而極限lim (f(x)-1)g(x)也可結(jié)合等價(jià)無窮小、洛必達(dá)法則等方法計(jì)算得到。

下面利用一算例來說明該方法的應(yīng)用情況。

解析：

①判斷類型。

②構(gòu)造“1加”形式，即

③構(gòu)造指數(shù)倒數(shù)形式，即

這里可以考慮使用等價(jià)無窮小計(jì)算，當(dāng)x→0時(shí)，ax-1～xlna，則

ax+bx+cx-3=(ax-1)+(bx-1)+(cx-1)～x(lna+lnb+lnc)

此處要求lna+lnb+lnc≠0，則

所以有

1.3 三步驟法的理論依據(jù)

文獻(xiàn)[7]中利用復(fù)合函數(shù)連續(xù)性及極限運(yùn)算法則，得到如下結(jié)論。

對形如f(x)g(x)的冪指函數(shù)(f(x)>0,f(x)≠1)，若limf(x)=a>0，limg(x)=b，則

limf(x)g(x)=ab

(8)

結(jié)合三步驟法，有

limf(x)g(x)(1∞)=

lim(f(x)-1)g(x)=a

則

limf(x)g(x)=ea

上述分析推導(dǎo)中，其核心在于極限lim (f(x)-1)g(x)是存在的，而實(shí)際上此極限還存在為∞的情況，當(dāng)(f(x)-1)g(x)趨向?yàn)?∞或+∞時(shí)，整個(gè)冪指函數(shù)的極限將會發(fā)生改變，最終結(jié)果可以歸納為式(9)。

limf(x)g(x)(1∞)=

(9)

雖然有上述3種情況，但在實(shí)際教學(xué)及考試中，學(xué)生所接觸到的，僅有極限lim (f(x)-1)g(x)=a的情況，所以同學(xué)們只需掌握該種情況下的計(jì)算步驟及結(jié)果即可。

2 考研數(shù)學(xué)中三步驟法的應(yīng)用

正是因?yàn)榈诙匾獦O限的復(fù)雜性和應(yīng)用計(jì)算時(shí)難度較大，所以在研究生升學(xué)考試數(shù)學(xué)試題中該知識點(diǎn)也頻繁出現(xiàn)。熟練掌握第二重要極限三步驟法，可以幫助同學(xué)們快速、有效、簡便地計(jì)算考研數(shù)學(xué)試題中的1∞未定型極限。

②構(gòu)造“1加”形式，原式等于

③構(gòu)造指數(shù)倒數(shù)形式

所以原式等于ea+b。

且有

所以有

則

通過上述3個(gè)典型考研例題及解答過程可知：①1∞類型的極限是歷年考研試題中頻繁出現(xiàn)的試題，從而體現(xiàn)了該知識點(diǎn)的重要性和掌握應(yīng)用的難度；②學(xué)生即使沒有記住第二重要極限公式的2種基本形式，或者對應(yīng)用該公式存在混淆不清的情況，只要按照三步驟法的3個(gè)基本步驟固化操作，結(jié)合等價(jià)無窮小、洛必達(dá)法則等也可以達(dá)到求解計(jì)算極限的目的。

3 結(jié)語

本文提出了解析第二重要極限的三步驟法，將第二重要極限公式的應(yīng)用細(xì)分為3個(gè)基本步驟，即判定、構(gòu)造“1加”形式和構(gòu)造指數(shù)倒數(shù)形式，降低了第二重要極限公式學(xué)習(xí)和應(yīng)用的難度，使得學(xué)生對1∞類型的極限可以有效地進(jìn)行解析，同時(shí)提高了公式的簡易實(shí)用性。