粗糙線性近似空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)

劉亞梅,馬盈倉,魯文霞,陳艷艷

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

粗糙集理論于1982年被Pawlak[1]提出以來，已經(jīng)取得很大的發(fā)展。特別是在數(shù)據(jù)的決策與分析、模式識別、數(shù)據(jù)挖掘、機器學(xué)習(xí)與知識發(fā)現(xiàn)等方面。在粗糙集理論中有2種方式來定義近似算子：構(gòu)造性方法和公理化方法。構(gòu)造性方法是以論域上的二元關(guān)系、鄰域系統(tǒng)或布爾子代數(shù)作為基本要素構(gòu)造性地定義近似算子，然后得出粗糙集代數(shù)系統(tǒng)[2-4]。公理化方法就是先給定一個粗糙集代數(shù)系統(tǒng)，然后定義二元關(guān)系使得由二元關(guān)系通過構(gòu)造性方法定義的近似算子及導(dǎo)出的粗糙集代數(shù)系統(tǒng)就是給定的近似算子和粗糙集代數(shù)系統(tǒng)[5-9]。基于這2種方法，在代數(shù)結(jié)構(gòu)方面，不少學(xué)者做出了一些研究并提出了許多新的概念，如粗糙群[10]、粗糙子群[11]、粗糙不變子群[12-13]等。在線性空間方面，日本學(xué)者N. Kuroki[14]研究了線性空間上粗糙集的性質(zhì)，提出了在線性空間上的等價關(guān)系以及上下近似算子。國內(nèi)學(xué)者W.J.Liu[15-16]、吳明芬[17]等也研究了粗糙線性空間的性質(zhì)并聯(lián)系線性空間本身的性質(zhì)研究更深入的性質(zhì)，同時還把粗糙集引入了線性空間和模糊線性空間中。本文就是在文獻(xiàn)[17]基礎(chǔ)上，結(jié)合模糊邏輯及其代數(shù)分析[18]的有關(guān)概念，以及H.G.Zhang[19]對經(jīng)典粗糙集上信息丟失問題的提出的方法，根據(jù)上下近似算子的性質(zhì)提出了2個集合，使信息丟失的問題得到解決，并建立基于布爾代數(shù)的粗糙線性近似空間模型。

1 基本概念

定義1[17]設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，X、Y是V上的非空子集，k是數(shù)域P上的任意元素，定義集合的和與數(shù)乘為：

X+Y={α=α1+α2|α1∈X,α2∈Y}

kX={kα|α∈X}

定義2[17]設(shè)線性空間V上一個等價關(guān)系ρ，若對?α,β∈V，有(α,β)∈ρ，(α+γ,α+γ)∈ρ，(kα,kβ)∈ρ，?γ∈V,k∈P。則稱ρ為V上的一個同余關(guān)系。

定義3[17]設(shè)W是線性空間上V的一個子空間，定義一個二元關(guān)系ρW：

ρW={(α,β)|α,β∈V,α-β∈W}

定理1[17]設(shè)W是線性空間V的子空間，則下面結(jié)論成立：

1)ρW是V上的一個同余關(guān)系

2) ?α∈V，同余類[α]ρW=α+W則可將[α]ρW記為ρW(α)。V/ρW={ρW(α)|?α∈V}是全體同余類的集合。

性質(zhì)1[17]ρW(α)+ρW(β)=ρW(α+β)

ρW(kα)=kρW(α)

定義4[17]設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，W是V的線性子空間，X是V上的任意一個非空子集，定義X在W上關(guān)于ρW的上、下近似分別為：

性質(zhì)2[17]設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，W是V的線性子空間，X,Y是V上的非空子集，則有：

2 集合的交(并)的上(下)近似的等

式刻畫

由性質(zhì)2 中的5)、6)可以看出，在線性空間中交的上近似、并的下近似并不是等式刻畫，存在信息丟失的問題。在本節(jié)中，主要解決這一問題，為此引入以下定義：

定義5 設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，W是V的一個子空間，X,Y是V的2個子集，記

PX(Y)=

{α|ρW(α)?X∪Y且ρW(α)?X,ρW(α)?Y}；

QX(Y)={α|ρW(α)∩(X∩Y)=?,

且ρW(α)∩X≠?,ρW(α)∩Y≠?}。

定理2:

2) 此命題等價為

例1: 設(shè)線性空間V是全體實數(shù)，定義它的加法運算為a⊕b=ab，乘法運算為a?b=ab。V的一個線性子空間為W={-1,1}，V中的2個子集X={1,2,3,4,5}和Y={1,2,3,6}。求PX(Y),QX(Y)并驗證以上結(jié)論。

解：由定義可得

PX(Y)={5}

QX(Y)={5}

3 粗糙線性近似空間及其代數(shù)結(jié)構(gòu)

研究了基于同余關(guān)系的線性空間上下近似的性質(zhì)，并通過2個集合解決了信息丟失的問題，下面要討論上下近似的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

定義6 設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，X是V的任意子集，定義

定義7 設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，X,Y是V的任意子集，則粗糙線性空間的并、交、補、差運算定義為：

推論1 1)ρW(X)∪ρW(Y)=ρW(X∪Y)

1）行走機構(gòu)：行走機構(gòu)采用自行式驅(qū)動，可選擇輪胎式和履帶式2種。輪胎式是由輪胎、軸和軸承以及液壓馬達(dá)等組成驅(qū)動裝置，車輪采用重載汽車輪胎。履帶式是由驅(qū)動輪、托鏈輪、支重輪、履帶架、履帶、張緊裝置、導(dǎo)向輪及液壓馬達(dá)組成。整機的重量通過履帶架、支重輪傳到履帶上。托鏈輪托持上股履帶的下垂。支重輪、托鏈輪均沿履帶滾動。

2)ρW(X)∩ρW(Y)=ρW(X∩Y)

所以ρW(X)∪ρW(Y)=ρW(X∪Y)。

同理可得ρW(X)∩ρW(Y)=ρW(X∩Y)。

定理3 設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，X、Y、Z是V的任意子集，則有

1)交換律：

ρW(X)∪ρW(Y)=ρW(Y)∪ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(Y)=ρW(Y)∩ρW(X)。

2)結(jié)合律：

(ρW(X)∪ρW(Y))∪ρW(Z)=

ρW(X)∪(ρW(Y)∪ρW(Z))；

(ρW(X)∩ρW(Y))∩ρW(Z)=

ρW(X)∩(ρW(Y)∩ρW(Z))。

3)分配律：

ρW(X)∪(ρW(Y)∩ρW(Z))=

(ρW(X)∪ρW(Y))∩(ρW(X)∪ρW(Z))；

ρW(X)∩(ρW(Y)∪ρW(Z))=

(ρW(X)∩ρW(Y))∪(ρW(X)∩ρW(Z))。

4)冪等律：

ρW(X)∪ρW(X)=ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(X)=ρW(X)。

5)0-1律：

ρW(X)∪ρW(?)=ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(V)=ρW(X)。

6)互補律：

ρW(X)∪ρW(X⊥)=ρW(V)；

ρW(X)∩ρW(X⊥)=ρW(?)。

7)對偶律：

(ρW(X)∪ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥)；

(ρW(X)∩ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∪ρW(Y⊥)。

證明:

1)由PX(Y)和QX(Y)定義可以看出PX(Y)=PY(X)，QX(Y)=QY(X)。

所以

2)(ρW(X)∪ρW(Y))∪ρW(Z)=

ρW(X∪Y)∪ρW(Z)=

ρW(X)∪(ρW(Y)∪ρW(Z))

(ρW(X)∩ρW(Y))∩ρW(Z)=

ρW(X∩Y)∩ρW(Z)=

ρW(X)∩(ρW(Y)∩ρW(Z))。

3)ρW(X)∪(ρW(Y)∩ρW(Z))=

ρW(X)∪ρW(Y∩Z)=ρW((X)∪(Y∩Z))=

ρW(X∪Y)∩ρW(X∪Z)=

(ρW(X)∪ρW(Y))∩(ρW(X)∪ρW(Z))，

ρW(X)∩(ρW(Y)∪ρW(Z))=

ρW(X)∩ρW(Y∪Z)=

ρW(X∩Y)∪ρW(X∩Z)=

(ρW(X)∩ρW(Y))∪(ρW(X)∩ρW(Z))。

4)ρW(X)∪ρW(X)=ρW(X∪X)=ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(X)=ρW(X∩X)=ρW(X)。

5)ρW(X)∪ρW(?)=ρW(X∪?)=ρW(X)；

ρW(X)∩ρW(V)=ρW(X∩V)=ρW(X)。

6)ρW(X)∪ρW(X⊥)=ρW(X∪X⊥)=ρW(V)；

ρW(X)∩ρW(X⊥)=ρW(X∩X⊥)=ρW(?)。 7) 要證(ρW(X)∪ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥)，只需證(ρW(X)∪ρW(Y))∩(ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥))=ρW(?)。

(ρW(X)∪ρW(Y))∪(ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥))=ρW(V)，

(ρW(X)∪ρW(Y))∩(ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥))=

[(ρW(X)∪ρW(Y))∩ρW(X⊥)]∩ρW(Y⊥)=

[(ρW(X)∩ρW(X⊥))∪(ρW(Y)∩ρW(X⊥))]∩

ρW(Y⊥)=[?∪(ρW(Y)∩ρW(X⊥))]∩

ρW(Y⊥)=ρW(Y)∩ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥)=

ρW(?)∩R(X⊥)=R(?)，

(ρW(X)∪ρW(Y))∪(ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥))=

(ρW(X)∪ρW(Y)∪ρW(X⊥))∩

(ρW(X)∪ρW(Y)∪ρW(Y⊥))=

(ρW(V)∪ρW(Y))∩(ρW(V)∪ρW(X))=

ρW(V)∩ρW(V)=ρW(V)。

所以(ρW(X)∪ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∩ρW(Y⊥)。

同理可證(ρW(X)∩ρW(Y))⊥=ρW(X⊥)∪ρW(Y⊥)。

(X,ρW(X))∪(Y,ρW(Y))=(X∪Y,ρW(X∪Y))

(X,ρW(X))∩(Y,ρW(Y))=(X∩Y,ρW(X∩Y))

(X,ρW(X))⊥=(X⊥,ρW(X⊥))

0=(ρW(?),ρW(?))，1=(ρW(V),ρW(V))。 由以上分析可得出如下定理：

定理4 代數(shù)系統(tǒng)〈F,∪,∩,⊥,0,1〉為布爾代數(shù)。

4 結(jié)束語

粗糙集與代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)合研究是粗糙集理論研究熱點之一，把粗糙集與線性空間結(jié)合研究具有重要的理論意義。在本文中，根據(jù)線性空間中集合關(guān)于同余關(guān)系的上下近似的性質(zhì)，提出了2個集合以解決線性空間中信息丟失的問題，通過對上近似的交和下近似的并的等式的刻畫，同時研究了粗糙線性近似空間中上下近似的代數(shù)結(jié)構(gòu)并證明了其構(gòu)成了布爾代數(shù)。接下來將對此代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步的研究。但本文缺乏實際應(yīng)用，未來將對上下近似的代數(shù)結(jié)構(gòu)和實際應(yīng)用做進(jìn)一步的研究。

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