模態(tài)數(shù)量對薄壁短圓柱殼振動響應分析的影響

王宇，翟敬宇，李暉，羅忠

（1.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽110819；2.遼寧科技大學機械工程學院，遼寧鞍山114051; 3.大連理工大學機械工程學院，遼寧大連116024）

模態(tài)數(shù)量對薄壁短圓柱殼振動響應分析的影響

王宇1,2，翟敬宇3，李暉1，羅忠1

（1.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽110819；2.遼寧科技大學機械工程學院，遼寧鞍山114051; 3.大連理工大學機械工程學院，遼寧大連116024）

采用振型疊加法研究薄壁短圓柱殼受諧波激勵的振動響應分析時模態(tài)截斷數(shù)量的影響，且考慮簡支—簡支、固支—固支和固支—自由三種約束條件。首先基于Love殼體理論建立薄壁短圓柱殼的動力學模型。然后，給出采用振型疊加法進行薄壁短圓柱殼受徑向諧波激勵時的振動響應求解方法。在三種不同約束條件下，計算采用不同模態(tài)截斷數(shù)量時的穩(wěn)態(tài)響應的振動幅值，對比其一致性，并與實測結果進行比較。結果表明，在這三種約束條件下計算受諧波激勵薄壁短圓柱殼的振動響應，需要截取前8階模態(tài)函數(shù)用于表征位移模式；模態(tài)數(shù)據超過8階對響應計算的精度沒有明顯改善，實測振動響應結果與解析結果基本吻合。

振動與波；薄壁短圓柱殼；諧波激勵；振動響應；模態(tài)數(shù)量

薄壁短圓柱殼通常是指壁厚與其它最小特征尺寸（直徑、長度）之比在1/80和1/5之間的圓柱筒體[1]，這類結構廣泛應用于航空和造船等領域，常常由于處于復雜的工作環(huán)境中而容易產生共振和失穩(wěn)等現(xiàn)象。掌握薄壁短圓柱殼結構在外激勵條件下的振動響應分析方法，對于這類結構的動力學設計與分析具有重要意義。

目前，薄壁圓柱殼的固有特性研究已經非常充分[2]，針對薄壁短圓柱殼的振動響應特征，也已經做了大量工作。Huang等人研究了兩端簡支旋轉圓柱殼的自由振動和諧波激勵響應[3]。Christoforou等人利用解析法分析了兩端簡支圓柱殼在徑向沖擊載荷的振動響應[4]。Young-Shin等人利用振型疊加法分析了兩端簡支層合圓柱殼的響應特性[5]。戴向勝根據能量守恒和角度增量疊縮法研究了圓柱殼采用不同材料和幾何參數(shù)時的沖擊塊的速度位移、載荷以及瞬時載荷位移歷程[6]。李學斌使用Flügge殼體理論和振型疊加法，分析了兩端簡支圓柱殼的瞬態(tài)響應[7]。姚熊亮利用Donnell殼體理論和微分求積單元法研究了圓柱殼的諧響應問題[8]。葉文榮等人對圓柱殼總振動最小時的激勵力位置和相位進行了最優(yōu)設計[9]。對于薄壁圓柱殼構件，在受到諧波激勵時振動響應的計算精度，也受到模態(tài)截斷數(shù)量的影響。

本文針對簡支—簡支、固支—固支和固支—自由三種邊界條件下的薄壁短圓柱殼，基于Love殼體理論建立動力學方程，利用振型疊加法進行求解，分析受到徑向諧波激勵下薄壁短圓柱殼的振動響應，重點討論了模態(tài)截斷數(shù)量對受迫振動響應幅值的影響，并通過實驗測試對分析結果進行驗證。

1 薄壁短圓柱殼響應分析的解析法

1.1 力學模型

如圖1所示的薄壁短圓柱殼，在Q(x*,θ*,z*)點受到徑向激勵作用。建立柱坐標系Oxθz，u(x,θ,t)，v(x,θ,t)和w(x,θ,t)分別表示薄壁圓柱殼的中面上任意一點在軸向x、切向θ和徑向z的位移，L，H和R分別為圓柱殼的長度、壁厚和中面半徑。

圖1 受徑向激勵的薄壁短圓柱殼

本文基于Love殼體理論，考慮結構阻尼的影響，薄壁短圓柱殼的振動微分方程為[10]

式中‘·’表示位移對時間的求導，c為等效粘性阻尼系數(shù)，ρ為材料密度，P為外部激振力，L的表達式為

其中P激勵力項的元素為px,pθ,pz,Lij(i,j=1, 2,3)為微分算子。

1.2 基于振型疊加法的固有特性求解方法

在求解圓柱殼的無阻尼固有頻率時，不需考慮結構阻尼的影響，設式（1）的位移解為

式中λm，σm和ai(i=1,2,3,4)與邊界條件有關。

求解固有頻率時，把式(3)代入式(1)，進行Galerkin離散，可得常微分方程為

對式(6)進行積分，可以得到頻率特征方程為

其中cij為系數(shù)。

由式(7)的非平凡解條件得到頻率方程為其中βi為系數(shù)。

由式（8）求出基頻后，即可求得振型比。

1.3 徑向諧波激勵下的振動響應分析方法

當薄壁短圓柱殼在Q點僅受到徑向諧波激勵時，激勵力的表達式為

式中f0為激勵力幅值，ω為激勵力頻率，δ為Dirac函數(shù)。

將式(3)代入式(1)，并利用空間和時間變量分離法，得到主共振模態(tài)下模態(tài)坐標的微分方程為

根據式(10)和式（11），得到穩(wěn)態(tài)響應解為

將式(12)代入式(3)中，即可得到薄壁短圓柱殼的徑向位移。同時，由穩(wěn)態(tài)響應的時域和幅頻特性曲線，研究模態(tài)截斷數(shù)量對響應位移幅值的影響。

2 算例分析

考慮兩端簡支、兩端固支和固支—自由三種約束條件下，圓柱殼的材料和尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 薄壁圓柱殼的材料參數(shù)和尺寸參數(shù)

2.1 兩端簡支約束條件

設徑向諧波激勵作用在兩端簡支薄壁圓柱殼的（L/2,0°,R）位置，拾振位置為點（L/2,0°,R）處，激勵幅值為2 N，模態(tài)阻尼比設為0.3%。

在響應求解時，取m=1,n=1～10個模態(tài)振型進行疊加，(1,7)階的穩(wěn)態(tài)時域響應曲線如圖2所示；當激振頻率在2 000 Hz～3 500 Hz之間變化時，振動響應的幅頻特性曲線如圖3所示。由圖2可知，穩(wěn)態(tài)響應曲線為正弦曲線，呈周期性變化。由圖3發(fā)現(xiàn)，在(1,8)階固有頻率處，徑向位移出現(xiàn)最大峰值，并且與(1,6)和(1,7)兩階的位移幅值相接近，而(1,9)、(1,5)、(1,10)和(1,4)的位移響應幅值逐漸減小；根據響應峰值所對應的模態(tài)階數(shù)，出現(xiàn)的先后順序依次為(1,7)、(1,8)、(1,6)、(1,9)、(1,5)、(1,10)和(1,4)，(1,1)、(1,2)和(1,3)階的固有頻率較高，未出現(xiàn)在上述頻率范圍內。

圖2 (1,7)階的穩(wěn)態(tài)時域響應曲線

圖3 穩(wěn)態(tài)響應的幅頻特性曲線

激勵頻率取第(1,7)階固有頻率2 404 Hz，當模態(tài)截斷數(shù)量分別?。?,1～6）、（1,1～7）、（1,1～8）、（1,1～9）和（1,1～10）共五組振型分別進行疊加，不考慮相位差角的影響，對周向模態(tài)截斷數(shù)量進行分析；當模態(tài)截斷數(shù)量分別取（1,1～10）和（1～2,1～10）兩組振型進行疊加時，對軸向模態(tài)截斷數(shù)量進行分析。由誤差分析可知，當軸向半波數(shù)為1時，周向波數(shù)為6的徑向位移誤差曲線最大，并且位移誤差隨著周向波數(shù)的增加而逐漸減小，當周向波數(shù)超過8時位移誤差變化很小，例如當周向波數(shù)為9時的徑向位移誤差為0.82%；當周向半波數(shù)為10時，軸向半波數(shù)大于1時，位移響應誤差變化很小，例如軸向半波數(shù)為3時誤差為-0.58%。因此，對于諧波激勵下兩端簡支的圓柱殼的響應分析，模態(tài)截斷數(shù)量取m=1,n≥8時即可達到所需求解精度要求。

2.2 兩端固支約束條件

設徑向諧波激勵作用在兩端固支薄壁圓柱殼中部相位為0°的點（L/2，0°，R）處，拾振位置為點（L/2，0°，R）處，激勵幅值為2 N，模態(tài)阻尼比設為0.3%。

在響應求解時，取m=1，n=1～10個模態(tài)振型進行疊加，(1,6)階的穩(wěn)態(tài)時域響應曲線如圖4所示；當激振頻率在3 000 Hz～4 000 Hz之間變化時，響應的幅頻特性曲線如圖5所示。

圖4 (1,7)階的穩(wěn)態(tài)時域響應曲線

圖5 穩(wěn)態(tài)響應的幅頻特性曲線

由圖4可知，穩(wěn)態(tài)響應曲線為周期性變化的正弦曲線。由圖5可以看出，在低階固有頻率的(1,8)階位置，徑向位移響應出現(xiàn)最大峰值，其次為(1,7)階，從(1,6)開始徑向位移幅值逐漸減小。按照固有頻率所對應的模態(tài)階數(shù)，出現(xiàn)的先后順序依次為(1,7)、(1,8)、(1,6)、(1,9)、(1,5)、(1,10)和(1,4)，(1,1)，(1,2)和(1,3)階的固有頻率較高，未出現(xiàn)在圖5所示的頻率范圍內。

激勵頻率取第(1,7)階的固有頻率3 146 Hz，模態(tài)數(shù)量分別?。?,1～6）、（1,1～7）、（1,1～8）、（1,1～9）和（1,1～10）五組振型進行疊加，對周向模態(tài)截斷數(shù)量進行分析；當模態(tài)數(shù)量分別?。?,1～10）和（1～2,1～10）兩組振型進行疊加時，對軸向模態(tài)截斷數(shù)量進行分析。由誤差分析可知，當軸向半波數(shù)為1，周向波數(shù)大于8時的響應幅值誤差逐漸減小，例如周向波數(shù)為9時的位移響應誤差為1.4%；當周向半波數(shù)為10時，軸向半波數(shù)對響應的位移幅值很小，例如軸向半波數(shù)為3時誤差為-0.47%。此時，模態(tài)截斷數(shù)量取m=1，n≥8即可達到一般求解精度要求。

2.3 固支—自由約束條件

設徑向諧波激勵作用在固支—自由邊界約束薄壁圓柱殼的自由端相位為0°的點（L,0°,R）處，拾振位置為點（L,0°,R）處，激勵幅值為2 N，模態(tài)阻尼比設為0.3%。

在響應求解時，取m=1,n=1～10個模態(tài)振型進行疊加，(1,6)階的穩(wěn)態(tài)時域響應曲線如圖6所示；當激振頻率在1 000 Hz～3 000 Hz之間變化時，響應的幅頻特性曲線如圖7所示。

由圖6可知，穩(wěn)態(tài)響應曲線為正弦曲線，呈現(xiàn)周期性變化。由圖7可以看出，在(1,6)與(1,7)、(1,5)與(1,8)階處有位移響應峰值集中出現(xiàn)的現(xiàn)象，并且(1,4)和(1,9)兩階的峰值重合在一起，這與固有頻率的分布關系相一致；在(1,6)和(1,7)兩階出現(xiàn)最大徑向位移，并且位移響應幅值相接近。按照峰值所對應的固有頻率出現(xiàn)的先后順序，依次為(1,6)、(1,7)、(1,5)、(1,8)、(1,4)和(1,9)、(1,10)和(1,3)，(1,1)和(1,2)階的固有頻率較高，未出現(xiàn)在圖7的激勵頻率范圍內。

圖6 (1,6)階的穩(wěn)態(tài)時域響應曲線

圖7 穩(wěn)態(tài)響應的幅頻特性曲線

激勵頻率取第(1,6)階固有頻率1 668 Hz，模態(tài)截斷數(shù)量分別?。?,1～6）、（1,1～7）、（1,1～8）、（1,1～9）和（1,1～10）五組振型分別進行疊加，對周向模態(tài)截斷數(shù)量進行分析；當?。?,1～10）和（1～2,1～10）兩組振型進行疊加時，對軸向模態(tài)截斷數(shù)量進行分析。由誤差分析可知，當軸向半波數(shù)為1時，周向波數(shù)大于6的徑向位移響應幅值變化逐漸減小，例如當周向波數(shù)為9時的徑向位移誤差為0.38%。當周向半波數(shù)為10時，軸向半波數(shù)對響應幅值影響較小，軸向半波數(shù)等于1和2時的位移響應幅值誤差為-0.079%，軸向半波數(shù)等于1和3時位移響應幅值誤差為-1.06%。此時，對于固支—自由邊界約束的薄壁圓柱殼響應分析中，模態(tài)截斷數(shù)量一般取m=1，n≥8可以達到所需精度要求。

3 薄壁短圓柱殼振動響應的實驗驗證

以固支—自由約束邊界的薄壁短圓柱殼為研究對象，樣件如圖8所示，進行諧波激勵的響應測試，并對解析法計算得到的結果進行驗證，步驟如下。

圖8 固支—自由約束的薄壁短圓柱殼實物圖

3.1 測試系統(tǒng)

薄壁短圓柱殼的樣件底部設置固定安裝邊，安裝邊上均布24個螺孔，通過力矩扳手確定統(tǒng)一的預緊力擰緊螺栓，作為固支邊界約束條件，采用單點激勵單點采集的試驗方案對其振動響應進行試驗研究，主要儀器包括BK4824型電磁激振器、2732型功率放大器、LMS 16通道便攜式數(shù)據儀、PCB壓電力傳感器和加速度傳感器等。

3.2 測試方法

將圓柱殼的沿周向等分成48等份，傳感器布置在圓柱殼外表面，垂直于柱面。數(shù)據采集前端參數(shù)設置后，先通過錘擊法測試得到樣件的固有頻率和分布特點，再選擇低階固有頻率作為激勵頻率，采用電磁激振器配合功率放大器作為諧波激勵源，LMS控制軟件將信號源的激勵電壓經功率放大器放大后，通過激振器前端配有PCB壓電力傳感器的頂桿對試件激勵，并對諧波激勵進行控制，采集激振力回饋的穩(wěn)態(tài)振動響應信號。

3.3 測試結果

通過搭建的測試系統(tǒng)，采用測試樣件得到的振頻率1 065 Hz作為諧波激勵頻率，按照本測試流程對固支—自由約束邊界的圓柱殼振動響應進行測試，設自由端激勵點相位為0°，激勵點位置取(L，0°，R)，激振力幅值設定為2 N。

通過對實驗數(shù)據進行處理，得到的6階固有頻率值和理論計算得到的固有頻率值如表2所示，模態(tài)振型圖如表3所示。

表2 固有頻率的實驗測試結果

由表2可知，由實驗得到的固有頻率值在第(1, 6)階誤差較大，隨著周向波數(shù)的增加，誤差逐漸減小，例如，周向波數(shù)為11時，誤差僅為0.27%，這主要是由于本文的分析對象為薄壁短圓柱殼，而上述梁函數(shù)法為一種近似解析法，固有頻率在低階的求解精度受到一定限制；同時，由于試驗件的加工誤差和測量方法等，對實驗結果也有一定影響。由表3可知，模態(tài)振型在周向表現(xiàn)為花瓣形狀，并且自由端的振動位移最大，例如，第(1,6)階的模態(tài)振型表現(xiàn)為周向波數(shù)為6的花瓣形狀。

表3 薄壁圓柱殼的模態(tài)振型

由實驗得到的穩(wěn)態(tài)徑向位移響應信號，不同測點的徑向位移幅值如表4所示。

表4 節(jié)點的徑向響應位移幅值單位：μm

由表四可知，解析法和實驗方法得到的位移響應結果數(shù)量級一致，當模態(tài)阻尼比為0.15%時，解析解在90°、180°和270°點徑向位移幅值與試驗結果吻合較好。在試驗測試中，由于拾振點與激勵點重合，受到激振器的磁頭附加質量影響較大，故該點的徑向位移與解析解有較大偏差。同時，由于安裝邊影響和固支端聯(lián)接條件等因素均對其測試結果有一定影響，可以考慮采用非接觸式激光測振儀等方面進行改進。

4 結語

針對兩端簡支、兩端固支和固支—自由三種邊界條件的薄壁短圓柱殼，采用振型疊加法進行徑向諧波激勵時的振動響應分析，可以得到與模態(tài)截斷數(shù)量的關聯(lián)，具有如下結論：

(1)對薄壁短圓柱殼進行諧波激勵響應分析時，穩(wěn)態(tài)時域響應曲線均為正弦曲線，通過對三種邊界條件下的模態(tài)截斷數(shù)量進行誤差分析，當軸向半波數(shù)取1，周向波數(shù)大于等于8時，即可滿足一般精度求解的要求。

(2)從薄壁短圓柱殼的頻譜圖可以看出，對于兩端簡支和兩端固支時，響應的最大響應峰值出現(xiàn)在(1,8)階，最低階固有頻率都出現(xiàn)在(1,7)階；固支—自由邊界約束時，最大響應峰值出現(xiàn)在峰值比較接近的(1,6)和(1,7)兩階，最低階固有頻率都出現(xiàn)在(1,6)階，同時在(1,6)與(1,7)、(1,5)與(1,8)階處有位移響應峰值集中出現(xiàn)的現(xiàn)象，同時(1,4)和(1,9)兩階的響應峰值重合在一起，這與固有頻率的分布關系和阻尼大小有關。

(3)對固支—自由邊界約束的薄壁短圓柱殼進行振動特性測試時，由實驗和理論兩種方法得到的固有頻率值在第(1,6)階誤差較大，隨著周向波數(shù)的增加，誤差逐漸減小，并且由實驗得到了相應的模態(tài)振型；由實驗測試所得徑向振動響應位移幅值結果與理論模型解析結果基本吻合。

[1]吳家龍.彈性力學[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]韓清凱，王宇，李學軍.旋轉薄壁圓柱殼的高節(jié)徑振動特性以及篦齒結構的影響[J].中國科學：物理學力學天文學，2013，04：436-458.

[3]Huang S C,Soedel W.On the forced vibration of simply supported rotating cylindrical shells[J].The Journal of the Acoustical Society ofAmerica,1988,84(1):275-285.

[4]Christoforou A P,Swanson S R.Analysis of simplysupported orthotropic cylindrical shells subject to lateral impact loads[J].Journal of Applied Mechanics,1990,57 (2):376-382.

[5]Young-Shin Lee and Ki-Du Lee.On the dynamic response of laminated circular cylindrical shells under impulse loads[J].Computers and Structures,1997,63(1):149-157.

[6]戴向勝,馬建敏.金屬圓柱殼參數(shù)變化對緩沖吸能的影響[J].噪聲與振動控制，2013，2：27-31.

[7]李學斌.圓柱殼穩(wěn)態(tài)動力響應分析[J].艦船科學技術，2000，6：1-5.

[8]姚熊亮，葉曦.求解圓柱殼穩(wěn)態(tài)諧響應的微分求積單元法[J].振動與沖擊，2013，32(16)：158-163；175.

[9]葉文榮,張恒,繆旭弘,孫斌.多點激勵力下圓柱殼振動響應優(yōu)化設計[J].噪聲與振動控制，2013，2：36-39.

[10]Werner.Soedel.Vibrations of shells and plates[M].New York:Marcel Dekker,2004.

Influence of Modal Numbers of Short Thin Cylindrical Shell on Its Forced Vibration Response

WANG Yu1,2,ZHAI Jing-yu3,LIHui1,LUOZhong1

(1.School of Mechanical Engineering andAutomation,Northeast University,Shenyang 110819,China; 2.School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051,Liaoning China; 3.School of Mechanical Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,Liaoning China)

An analysis was made to study on forced vibration response characteristics of a short thin cylindrical shell under a radial harmonic excitation force,and the modal numbers were considered for simply supported-simply supported, clamped-clamped and clamp-free boundary conditions.A dynamic model of a short thin cylindrical shell was constructed according to Love’s shell theory.Then,the dynamic equations were solved based on modal superposition method when the cylindrical shell was subject to a radial harmonic excitation force.Under three boundary conditions the vibration response results were calculated.The results show that the response amplitudes need the first eight modes to represent the displacement mode.If the modal numbers are more than eight,the precision are no more obvious improvement,and analytic results and experimental results are fundamental agreement.

vibration and vawe;short thin cylindrical shell;harmonic excitation;vibration responses;modal numbers

O326；O347.1

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2014.02.011

1006-1355(2014)02-0050-06

2013-12-27

國家自然科學基金資助項目(51105064)；遼寧省自然科學基金資助項目(201202056)

王宇（1979-），男，遼寧鐵嶺人，東北大學博士生，遼寧科技大學講師，主要研究方向：機械系統(tǒng)動力學研究。

羅忠（1978-），男，東北大學副教授。

E-mail:zhluo@mail.neu.edu.cn