帶有補償器的結(jié)構(gòu)弱抖振滑移模態(tài)控制研究

羅瑜，王社良，李志軍,2，樊禹江

(1.西安建筑科技大學土木工程學院，西安710055；2.西安工業(yè)大學建筑工程學院，西安710032)

帶有補償器的結(jié)構(gòu)弱抖振滑移模態(tài)控制研究

羅瑜1，王社良1，李志軍1,2，樊禹江1

(1.西安建筑科技大學土木工程學院，西安710055；2.西安工業(yè)大學建筑工程學院，西安710032)

基于地震激勵下固定階次補償器對線性結(jié)構(gòu)的控制研究，提出一種利用復合趨近律的新型變結(jié)構(gòu)主動控制算法。相對于傳統(tǒng)變結(jié)構(gòu)控制算法，該方法能夠通過使用二次線性最優(yōu)控制理論，均衡控制力和控制效果；并為有限輸出反饋控制器在控制系統(tǒng)中的實際應(yīng)用提供系統(tǒng)的設(shè)計方法。該方法能確保系統(tǒng)的穩(wěn)定，保證抖振效應(yīng)足夠小。最后，對一個主動支撐系統(tǒng)的多自由度剪切型建筑模型進行數(shù)值模擬，驗證先前的假設(shè)并證明這種新型控制方法的有效性。

振動與波；復合趨近律；變結(jié)構(gòu)控制；抖振效應(yīng)；補償器；建筑結(jié)構(gòu)

在土木工程領(lǐng)域，YAO于1972年首次提出結(jié)構(gòu)振動控制這一概念，一個最常用的魯棒控制計算方法是滑移模態(tài)法[1]。美國學者Yang率先將該方法引入結(jié)構(gòu)控制中[2]。該方法反應(yīng)迅速、對參數(shù)變化不敏感、抗干擾能力強等優(yōu)點[3―6]。然而，由于傳統(tǒng)滑?？刂频亩墩駟栴}，實際的控制器應(yīng)該得到能實現(xiàn)控制力的時程曲線[7]。因此，基于復合趨近律，本文提出一種新型的帶有補償器的滑移模態(tài)控制，它能減小地震響應(yīng)。先前對滑模控制的研究中，控制力和控制效果的調(diào)制是通過改變切換面或者指定最大控制力（飽和控制器）。本文使用線性二次最優(yōu)控制理論（LQR），引入固定階次補償器，提出了設(shè)計滑移模態(tài)控制器的方法[8]。

為減小建筑結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)，現(xiàn)有的例如CAI et al[5]和ZHAO et al[6]的滑?？刂品椒?，能避免過度的抖振效應(yīng)[7]。本文用一個三層建筑模型的數(shù)值例子，證明這種控制方法的可行性。

1 結(jié)構(gòu)體系的動力方程

對于一個自由度數(shù)為n的層間剪切型受控建筑結(jié)構(gòu)，設(shè)地面運動的加速度分量為，其運動方程可表示為

其中X=[x1，x2，…，xn]T為n維位移列向量（xi為第i層相對于地面的位移）；Ms=diag[m1，m2，…,mn]和η=[m1，m2，?，mn]T分別為（n×n）維結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和n維的質(zhì)量列向量（mi為第i層的集中質(zhì)量）；u（t）為r維控制力列向量；Hs為（n×r）維控制力位置矩陣和分別為（n×n）維結(jié)構(gòu)阻尼和剛度矩陣。

將式（1）化為狀態(tài)方程

式中

y維輸出反饋向量可以表示為

2 帶補償器的滑移模態(tài)控制

滑模控制的設(shè)計應(yīng)包含兩步：切換面的設(shè)計和控制器的設(shè)計。

2.1 補償器和切換面的設(shè)計

在滑模面的設(shè)計中引入一個固定階次的補償器，控制系統(tǒng)如圖1所示。由于控制器的數(shù)量為r個，為簡單起見，補償器的階數(shù)取為r+1，忽略外部激勵的影響，則補償器的狀態(tài)方程如下

圖1 結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)框圖

用補償器的狀態(tài)變量來構(gòu)造理想切換面S=0[9]，即

式中S=[S1,S2,…,Sr]T為r維滑模面向量；P=[P1,P2]為r×（r+1）維矩陣為r列向量為r×r維矩陣。

由式（8）可得

這里假定P2是可逆的。在滑模面上，由[9],可得

式中

Ueq為使系統(tǒng)保持在滑模面上所需的控制力。

將式（10）代入式（2），可得在切換面上的閉環(huán)系統(tǒng)為

在切換面的設(shè)計中，忽略了外部激勵的影響，而在控制律的設(shè)計中將考慮其影響。

將式（9）代入式（6），則可得由q1表達的補償器在切換面上的運動方程

一旦q1確定后，則由式（9）可將q2確定，這樣補償器的狀態(tài)向量就可確定。則由式（12）和式（13）可建立如下增廣形式的結(jié)構(gòu)—補償器系統(tǒng)

式中

根據(jù)Levine和Athans[10]最優(yōu)輸出反饋控制理論，控制增益矩陣可通過解下列非線性矩陣方程得到

（1）G、H、N1和可由式（18）得到；

（2）G已知，選擇非奇異矩陣P2、D2和任意的P1，則由式（11）可得N2；

（3）已知H，根據(jù)式（12），選擇適當?shù)腖22可確定L21；

注意L12和L22選擇的原則是要保證穩(wěn)定，即要求的特征值均具有負實部。

2.2 控制器的設(shè)計

首先用高為炳[9]在90年代早期提出的指數(shù)趨近律

分析了上述指數(shù)趨近律的不利影響，考慮一個新型的復合趨近函數(shù)

其中

補償器所受的（r+1）維外部激勵向量Ec(t)表示為

其中E12(t)是和控制力位置相對應(yīng)的r維外部激勵子向量。則式(7)可以重新表示為

式中

將式（30）代入式（26），可得控制力為

3 數(shù)值仿真研究

采用圖2所示的結(jié)構(gòu)模型進行數(shù)值分析，結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：結(jié)構(gòu)各層集中質(zhì)量為mi=1 000 kg；水平剛度為ki=980 Kn/m；阻尼系數(shù)為ci=1.407 kN·s/m (i=1-3)。輸入采用EI Centro地震波，持續(xù)時間為8 s，最大地面運動加速度為[x¨g（t）]max=0.12 g；在結(jié)構(gòu)第一層安裝有主動支撐（ABS）作為作動器，式（26）中系數(shù)k取為10，Δ取0.05。

控制數(shù)確定如下：取

圖2 結(jié)構(gòu)模型

3.1 全狀態(tài)反饋控制

當采用指數(shù)趨近律時，隨著εi的不同取值，控制力的變化如圖3所示。

從圖3可以看出，隨著ε值的增大，控制系統(tǒng)的抖振變得越明顯，當εi的值較大時（εi=5.0），抖振已經(jīng)很大，此時系統(tǒng)變得很不穩(wěn)定。

然而，使用復合趨近律就可以避免過度的抖振。

表1中展示了結(jié)構(gòu)未控和全狀態(tài)反饋以及有限狀態(tài)反饋時結(jié)構(gòu)各層的最大位移、最大加速度，另外，用RD表示全狀態(tài)反饋和有限狀態(tài)反饋時結(jié)構(gòu)位移和加速度相對于未控時的減少量。從表1觀察發(fā)現(xiàn)，使用復合趨近律時最大控制力為5.10 kN。底層的最大層間位移和最大加速度（相對與地面）分別減少將近78%和34%；第二層相應(yīng)減少了85%和35%；第三層相應(yīng)減少了37%和44%。

帶有補償器的滑?？刂埔约拔纯貢r，底層全狀態(tài)反饋的位移和絕對加速度時程曲線見圖4所示。

從圖中可以直觀地看出，采用本章所提出的滑模控制方法能有效地減小結(jié)構(gòu)的地震峰值響應(yīng)。

圖5是采用復合趨近律時結(jié)構(gòu)控制力時程?？梢钥闯?，此時控制系統(tǒng)的抖振很小。

只在結(jié)構(gòu)第一層安裝有位移傳感器和速度傳感器。結(jié)構(gòu)各層最大層間位移、最大加速度（相對于地面）和所對應(yīng)的最大控制力如表1第8、10列所示。從表1可以看出，當采用復合趨近律的滑模控制方法時，控制效果也非常明顯，但是與全狀態(tài)反饋控制相比而言，其所需要的控制力較大，且控制效果稍差一些。

圖3 采用指數(shù)趨近律時控制力的時程

圖4 底層地震反應(yīng)時程（全狀態(tài)反饋）

表1 結(jié)構(gòu)地震最大反應(yīng)和控制力

圖5 基于全狀態(tài)反饋的控制力時程（復合趨近律）

3.2 有限輸出反饋控制

考慮有限輸出反饋，假定除地面運動加速度外，結(jié)構(gòu)底層加速度和位移反應(yīng)時程如圖6所示，從圖中可以看出，控制效果也是比較明顯的。

結(jié)構(gòu)控制力時程如圖7所示，從圖中可以看出，控制系統(tǒng)的抖振很小。

圖6 底層地震反應(yīng)時程（有限狀態(tài)反饋）

4 結(jié)語

基于飽和控制的優(yōu)點，本文提出了帶固定階次補償器的滑?？刂破饔糜诮Y(jié)構(gòu)抵抗地震。相對于傳統(tǒng)的滑?？刂疲渥畲蟮膬?yōu)點如下：

圖7 基于有限狀態(tài)反饋的控制力時程（復合趨近律）

（1）為均衡控制力和控制效果提供了簡單的設(shè)計方法；

（2）能夠利用有限的傳感器，為靜力輸出反饋提供系統(tǒng)的設(shè)計方法；

（3）避免過度抖振。結(jié)果表明帶有補償器的滑?？刂破髂軌驊?yīng)用于地震激勵的結(jié)構(gòu)中。

[1]盛嚴，王超，陳建斌，劉玉華.結(jié)構(gòu)滑模控制的一種指數(shù)趨近律方法[J].噪聲與振動控制，2004.04.

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[6]ZHAO B,LU X L and WU M Z.Sliding mode control of buildings with base-isolation hybrid protective system[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,Vol.29, pp:3157-326,2000.

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Sliding Mode Control for Weak Chattering of Building Structures with Compensators Based on Hybrid Reaching Law

LUOYu1,WANG She-liang1,LI Zhi-jun1,2,FAN Yu-jiang1

(1.College of Civil Engineering,Xi’an University ofArchitecture and Technology, Xi’an 710055,China)
(2.School of Civil＆Architecture Engineering,Xi’an Technological University, Xi’an 710032,China)

A new active control algorithm based on the hybrid reaching law is proposed for the vibration control of linear structures with fixed-order compensators under seismic excitation.The main advantages of this method in comparison with the traditional variable structure control are as follows:(i)it can make a balance between control efforts and some special response quantities of the structure through the use of linear quadratic optimal control theory;(ii)it can provide a systematic approach for design of finite output feedback controllers to facilitate practical implementations of control systems;and(iii)the excessive chattering effect can be avoided by introducing the new method.Finally,numerical simulation for a multi-DOF shear-type building model containing an active brace system is given.The simulation results show that the new control algorithm is quite effective.

vibration and wave;hybrid reaching law;variable structure control;chattering effect;compensator; building structure

TU352.1

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2014.02.009

1006-1355(2014)02-0041-05

2013-07-19

陜西省工業(yè)攻關(guān)項目(2013K0707)；陜西省教育廳自然專項(2013JK0612)；西安工業(yè)大學校長基金重點項目(XAGDXJJ0919)；國家自然科學基金（51178388、51008245）；陜西省教育廳重點重點實驗室科研計劃項目（11JS059、12JS055）；陜西省重點實驗室訪問學者項目（12JS055）。

羅瑜（1989-），女，陜西西安人，在讀碩士研究生，目前從事振動控制在土木工程中的應(yīng)用方面的研究；

王社良（1957-），男，陜西西安人，博士生導師，目前從事結(jié)構(gòu)智能控制及防災減災方面的研究。

E-mail:annal-y@hotmail.com