基于前饋補償?shù)那蚰C系統(tǒng)多變量解耦PI控制

薛美盛，胡岸，薛生輝，任俊超

(中國科學技術大學 自動化系，合肥 230026)

PID控制器在工業(yè)控制領域取得了廣泛的應用，一方面它使用簡單、容易操作，另一方面是由于它對于絕大多數(shù)工業(yè)對象都能夠提供良好的控制性能。當控制要求較高時，可以組合額外的控制方案顯著地提高控制性能(設定點權重、前饋控制等)。然而，這些方案大多都是針對單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)[1]。對于鋼球磨煤機等一類多變量、大時滯的工業(yè)控制對象，要復現(xiàn)上述方案會比較困難。以往的控制系統(tǒng)常常以手動控制為主[2]。文獻[3]將魯棒整定的PID引入了球磨機控制中并取得了較好的控制效果，但由于未加入解耦環(huán)節(jié)，兩個回路間的耦合較嚴重，使得該方法仍有一定的局限性。

對于球磨機存在耦合的溫度和負壓回路，用熱風量控制球磨機出口溫度，再用循環(huán)風量控制其入口溫度可得到雙輸入雙輸出(TITO)控制系統(tǒng)。針對該特性，筆者首先設計解耦環(huán)節(jié)來實現(xiàn)完全解耦，再根據(jù)穩(wěn)態(tài)裕量模型簡化法將開環(huán)傳遞函數(shù)H(s)中元素降階為一階加純滯后(FOPFT)形式。然后，根據(jù)簡化模型設計出前饋補償環(huán)節(jié)并整定PI參數(shù)。最后將本文提出的方法與現(xiàn)有方法進行仿真對比驗證有效性。

1 解耦環(huán)節(jié)設計

解耦環(huán)節(jié)應該滿足如下的要求[4]： 開環(huán)傳遞函數(shù)PD應該為對角形；不具有高通濾波特性；應該盡可能少地含有動態(tài)特性和時滯環(huán)節(jié)；應該能夠滿足自動控制系統(tǒng)的一些特殊要求。

帶有純滯后的TITO系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣形式如下：

(1)

式中：pi j(s)=ki jpo i j(s)e-θi js，其中i，j=1， 2;po i j(s)——無滯后、正則且穩(wěn)定的傳遞函數(shù)；ki j——穩(wěn)態(tài)增益。解耦矩陣可以表示為如下形式：

(2)

那么解耦后的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為

(3)

如果令副對角線上元素為0，系統(tǒng)可以被等效地轉化為2個SISO系統(tǒng)，從而輸入到輸出可以實現(xiàn)完全解耦。由上面邏輯得到方程組：

(4)

(5)

為便于物理實現(xiàn)，解耦矩陣的所有元素不能含有超前項，可對矩陣元素配置如下：

(6)

(7)

為了獲得期望的解耦目標函數(shù)，也可以利用下面的配置方法：

(8)

根據(jù)式(8)，可以確定出相應的解耦矩陣形式：

(9)

2 基于穩(wěn)態(tài)裕度的模型簡化規(guī)則

由于加入解耦矩陣后開環(huán)傳遞函數(shù)的形式如式(3)，具有比較復雜的動態(tài)特性，傳統(tǒng)的PID整定原則無法使用，模型簡化技術就顯得比較重要。很多文獻都提到過將復雜模型用FOPDT模型來近似[5]。雖然FOPDT模型不能體現(xiàn)復雜模型的所有特點，但是它在穩(wěn)態(tài)增益、時間常數(shù)和過程等效時滯等方面對系統(tǒng)特性比較合理地進行描述。筆者將以上特點針對一些動態(tài)過程不是十分劇烈的被控對象，根據(jù)穩(wěn)定裕度等頻率特性，弱化過渡過程對系統(tǒng)的影響，提出一種近似的模型簡化技術。

設化簡前的傳遞函數(shù)為h(s)，化簡后的FOPDT模型如下：

(10)

化簡前系統(tǒng)的穿越頻率為ωx，滿足

∠h(jωx)=(2k+1)π

(11)

q(s)傳遞函數(shù)包含3個未知參數(shù)。利用簡化前后方程的幅值裕度與穿越頻率相同，在穿越頻率處兩者相角也相同，即得到3個方程：

(12)

對上述方程組進行計算，可以得到結論：

(13)

式中：h——穿越頻率處的幅值裕度。注意： 有時由于傳遞函數(shù)的特殊性，無法獲得穿越頻率，需要利用截止頻率ωc處的相角特性和幅值特性構建方程，其計算方法如下：

|h(jωc)|=1

(14)

q(s)傳遞函數(shù)同樣包含3個未知參數(shù)，需要構建3個方程。利用簡化前后的相角裕度相同，并且在截止頻率處相角也相同，即可得到如下方程組：

(15)

式中：γ——h(s)的相角裕度。

為了驗證上述化簡方法，將Wood-Berry[6]蒸餾塔模型解耦后獲得的廣義開環(huán)傳遞函數(shù)對角元素如下：

為了使用下文中的PI控制器，應該將h1(s)和h2(s)化簡成為FOPDT的形式，利用上述方法得到化簡后的對象表達式為

通過對簡化前后的h(s)和q(s)的階躍響應曲線進行對比，發(fā)現(xiàn)該簡化方法較好地復現(xiàn)了原函數(shù)的特性，如圖1所示。

a) h1(s)與q1(s)的階躍響應曲線

b) h2(s)與q2(s)的階躍響應曲線

3 前饋補償環(huán)節(jié)和PI控制器設計

3.1 前饋補償環(huán)節(jié)

前饋補償環(huán)節(jié)能夠提高系統(tǒng)的設定點跟蹤性能，針對SISO系統(tǒng)已有很多成功的應用，如設定點權重[7]、Bang-Bang控制[8]等。然而，如何應用到如球磨機等TITO對象還沒被太多的研究過，筆者將從這一點出發(fā)對其進行探索。SISO對象的前饋補償加PID環(huán)節(jié)的控制結構如圖2所示。

圖2 針對SISO對象的前饋補償加PID環(huán)節(jié)的控制結構示意

令M(s)為參考模型，用于確定系統(tǒng)對于設定點變化的期望響應，并且應該包含被控對象傳遞函數(shù)P(s)的非最小相位環(huán)節(jié)。由于M(s)與P(s)的階次相同，從而可以確定出G(s)的形式：

(16)

使用該種補償方法，前饋補償器包含了一個對象模型和超前滯后網(wǎng)絡[9]。如果M(s)的時滯小于P(s)時，該方法并不能夠直接應用到多輸入多輸出(MIMO)環(huán)節(jié)，甚至是TITO環(huán)節(jié)。因為前饋環(huán)節(jié)會出現(xiàn)純超前的形式，無法物理實現(xiàn)。

設經(jīng)過解耦并化簡后的模型為FOPDT形式，有以下模型簡化方法：

(17)

根據(jù)解耦后對象的輸出響應的特點，同時為了確保方案的可實現(xiàn)性，將參考模型的形式設定為如下形式：

(18)

在實際對系統(tǒng)快速性要求比較高而執(zhí)行器性能較好的控制場合，也可以根據(jù)需要將上式的純滯后環(huán)節(jié)去掉，進而使得響應過程更迅速。因此可以得到：

(19)

3.2 PI整定規(guī)則

為便于在DCS使用，對于球磨機采用PI控制器：

(20)

對于PI控制器參數(shù)的選擇，可以使用Hagglund[1]使用的IAE整定規(guī)則，即

(21)

式中：e(t)——系統(tǒng)的控制誤差。根據(jù)Visioli[10]提出的ITAE指標，使得下面目標函數(shù)(i=1， 2)：

(22)

最小的情況下選取相應的參數(shù)KC，TI。在計算準確的情況下，上述方法均可獲得良好控制效果。在工業(yè)條件下，為了在方便地整定參數(shù)的同時獲得良好的控制效果，筆者在查閱相關PID參數(shù)整定文獻后，做了大量仿真實驗，確定出專門針對球磨機的參數(shù)整定公式：

(23)

TI=Tm

(24)

4 仿 真

下面通過文獻[3]中提出的球磨機的模型來對上述控制效果進行分析和驗證。

通過分析，被控對象輸出之間存在較大的耦合作用和明顯時滯，采用傳統(tǒng)方法無法對其進行較好地控制。由前述的解耦規(guī)則得到解耦矩陣：

解耦后的開環(huán)傳遞函數(shù)：

從對角元素的表達式可以看出傳統(tǒng)的PID整定規(guī)則無法使用，應先使用模型降階技術將其簡化為FOPDT形式，再使用文中整定規(guī)則。穿越頻率ω11X=0.8935，ω22X=7.782K11=0.803，T11=5，τ11=2；K22=20.8，T22=5.17，τ22=1.2。

注意： 在實際應用中得到的近似參數(shù)可能不會很好地匹配原來的對象模型，從而可對其作出一些調整，以達到滿意的效果，這里將τ22的取值調整為2?；喓蟮哪Ｐ蛡鬟f函數(shù)為

化簡前后模型對階躍輸入的響應曲線如圖3所示。除了存在較小的穩(wěn)態(tài)誤差外，模型t11能夠很好地復現(xiàn)復雜傳遞函數(shù)H11的響應特性，而H22的階躍響應特性可以被t22近似完全復現(xiàn)。由此，模型化簡方法可以得到很好的效果。

a) H11簡化前后的階躍響應曲線對比

b) H22簡化前后的階躍響應曲線對比

由文中PI整定規(guī)則，控制器C11(s)，C22(s)的相關參數(shù)選?。篕P11=1.037，TI11=5，KP22=0.0414，TI22=5.17。

圖4 無前饋環(huán)節(jié)的控制效果與文獻[3]整定方法的對比曲線

圖5 加入前饋環(huán)節(jié)后與文獻[3]整定方法對比

從圖5中看到，加入前饋環(huán)節(jié)后系統(tǒng)仍無超調，響應速度迅速提高，并且階躍響應曲線十分光滑，設定點跟蹤性能獲得顯著提升。圖6為當發(fā)生意外，使得PID參數(shù)變化后(KP1=1.4，KP2=0.05)時對應的階躍響應曲線。其中a)圖中為加入前饋環(huán)節(jié)后的響應曲線，在PID參數(shù)失配時仍無超調，且響應速度比無前饋環(huán)節(jié)要快；b)圖中無前饋環(huán)節(jié)，曲線發(fā)生明顯的超調。

圖6 控制器失配情況下系統(tǒng)階躍輸出響應曲線

5 結束語

文中提出了針對球磨機的前饋補償環(huán)節(jié)，給出了一種有效的模型降階方法，且提出的PI控制器整定規(guī)則簡單。仿真結果表明，該方法具有良好的設定點跟蹤性能，能夠有效地消除輸出間的耦合作用。

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