關(guān)注數(shù)學(xué)表征 促進(jìn)意義建構(gòu)

吳永生

“方程的意義”是小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，首次引領(lǐng)學(xué)生將未知當(dāng)作已知參與到等量關(guān)系的數(shù)學(xué)思維中來(lái)，這對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)重要的思維過(guò)渡階段。

教學(xué)片斷一：

師（出示下圖）：你發(fā)現(xiàn)了什么？

■

生１：我發(fā)現(xiàn)１個(gè)紅蘿卜等于２個(gè)胡蘿卜的質(zhì)量。

生２：我發(fā)現(xiàn)３個(gè)桃子與２個(gè)梨的質(zhì)量相等。

師：為什么相等？

生3：因?yàn)樘炱绞瞧胶獾摹?/p>

師：如果一個(gè)紅蘿卜的質(zhì)量是２００克，一個(gè)梨的質(zhì)量是１２０克，你能知道什么？

生4：我知道２個(gè)胡蘿卜的質(zhì)量是２００克，３個(gè)桃子的質(zhì)量是２４０克，即２ｘ＝２００、３ａ＝２４０。

師：你能解釋一下這兩個(gè)算式的意義嗎？

生4：我用ｘ表示胡蘿卜的質(zhì)量，ａ表示桃子的數(shù)量，２個(gè)胡蘿卜就是２ｘ，等于２００克；３個(gè)桃子就是３ａ，等于２４０克。

師：這就是我們今天學(xué)習(xí)的方程。你認(rèn)為方程有什么特征？

生5：方程就是含有未知數(shù)的等式。

師：怎么理解符合方程的條件？你能寫(xiě)出這樣的等式嗎？

……

教學(xué)片斷二：

師：在以下情境中，你能找到等量關(guān)系并列出方程嗎？

Ａ．買(mǎi)一套衣服要８６元，上衣是３８元。

Ｂ．圖書(shū)室借出了５６本書(shū)，還剩３８本書(shū)。

Ｃ．一臺(tái)電話１２２元，售貨員找給媽媽７８元。

生１：設(shè)褲子是ｘ元。列式為３８＋ｘ＝８６，這里有一個(gè)等量關(guān)系，即褲子與上衣的價(jià)格總和為８６元。

生２：設(shè)圖書(shū)館原有的圖書(shū)量為ｘ。因?yàn)椤霸械膱D書(shū)量＝借出去的圖書(shū)量＋剩下的圖書(shū)量”，所以列式為ｘ－５６＝３８。

生３：設(shè)付出的錢(qián)為ｘ元。因?yàn)椤案冻龅腻X(qián)＝電話的錢(qián)＋找回的錢(qián)”，所以列式為ｘ－１２２＝７８。

師：下面句子，哪個(gè)可以列出方程？

（1）買(mǎi)４個(gè)玩具小狗，每個(gè)ｙ元，１８０元不夠。

（2）買(mǎi)３個(gè)玩具小狗，每個(gè)ｙ元，１２０元不夠。

（3）買(mǎi)３個(gè)玩具小狗，每個(gè)ｙ元，１２９元?jiǎng)倓倝颉?/p>

（4）買(mǎi)４個(gè)玩具小狗，每個(gè)ｙ元，１２４元?jiǎng)偤脡颉?/p>

生４：剛好夠的，可以列出方程，因?yàn)橛械攘筷P(guān)系。

師（出示２ｘ＝１８０）：你能用線段圖表示嗎？說(shuō)說(shuō)你對(duì)這個(gè)方程的理解。

生５：每個(gè)小皮球２元，正好付了１８０元，能買(mǎi)多少個(gè)？

生６：每件衣服ｘ元，２件衣服１８０元。

師：為什么不同的表述，可以用同樣的方程表示？

……

思考：

此課教學(xué)的難點(diǎn)在于等量關(guān)系的把握，如何讓學(xué)生把握方程的本質(zhì)內(nèi)涵和建構(gòu)方程的意義，這是教師需要深入思考的問(wèn)題。從上述教學(xué)中可以看出，關(guān)注數(shù)學(xué)表征，帶領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)意義，是一條有效的途徑。

何謂數(shù)學(xué)表征？建構(gòu)主義理論認(rèn)為，表征是一種知識(shí)的呈現(xiàn)方式，能夠促進(jìn)抽象概念的建構(gòu)。為此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，針對(duì)概念的理解，教師要重視學(xué)生科學(xué)直觀的表征概括，促進(jìn)他們對(duì)概念意義的深刻理解和建構(gòu)。

１．提供表征替代意象

數(shù)學(xué)表征具有直觀和感性的特點(diǎn)。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要抓住概念的本質(zhì)，從概念要素尋找替代物，喚醒學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，以此促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解和把握。如教學(xué)片斷一中，教師借用天平的情境圖，試圖讓學(xué)生體會(huì)方程與天平的直接聯(lián)系，從而感悟方程的表征，進(jìn)行意義初探。學(xué)生抓住平衡、相等的直觀要素尋找突破點(diǎn)，列出２ｘ＝２００、３ａ＝２４０等式，為方程概念的引入搭建了“腳手架”。

２．遵循表征的順序性

數(shù)學(xué)概念的建立是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生探究的過(guò)程中，要從概念表征的內(nèi)在順序入手，一步步進(jìn)行思維的過(guò)渡，最終實(shí)現(xiàn)概念的建構(gòu)。如教學(xué)片斷一中，教師遵循“感悟——嘗試——運(yùn)用”的表征順序，進(jìn)行遞進(jìn)式的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，先讓學(xué)生從天平情境圖感悟方程，探討方程的特征，再根據(jù)情境列出方程，然后重點(diǎn)把握數(shù)量關(guān)系，理解方程。在這三個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生的思維被激活，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)方程意義的整體建構(gòu)。

３．關(guān)注表征的多元性

“方程的意義”的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生準(zhǔn)確把握數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程。如教學(xué)片斷二中，教師采用多元化的表征，讓不同的學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)理解方程的意義。如設(shè)置問(wèn)題“針對(duì)方程２ｘ＝１８０，說(shuō)說(shuō)你對(duì)這個(gè)方程的理解”，這樣就給學(xué)生提供了多元表征的機(jī)會(huì)，使他們?cè)谝饬x層面真正理解方程。

總之，對(duì)方程這一概念的教學(xué)，教師要從深層的本質(zhì)內(nèi)涵入手，關(guān)注數(shù)學(xué)表征，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)意義的建構(gòu)，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值所在。

（責(zé)編杜華）

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“方程的意義”是小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，首次引領(lǐng)學(xué)生將未知當(dāng)作已知參與到等量關(guān)系的數(shù)學(xué)思維中來(lái)，這對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)重要的思維過(guò)渡階段。

教學(xué)片斷一：

師（出示下圖）：你發(fā)現(xiàn)了什么？

■

生１：我發(fā)現(xiàn)１個(gè)紅蘿卜等于２個(gè)胡蘿卜的質(zhì)量。

生２：我發(fā)現(xiàn)３個(gè)桃子與２個(gè)梨的質(zhì)量相等。

師：為什么相等？

生3：因?yàn)樘炱绞瞧胶獾摹?/p>

師：如果一個(gè)紅蘿卜的質(zhì)量是２００克，一個(gè)梨的質(zhì)量是１２０克，你能知道什么？

生4：我知道２個(gè)胡蘿卜的質(zhì)量是２００克，３個(gè)桃子的質(zhì)量是２４０克，即２ｘ＝２００、３ａ＝２４０。

師：你能解釋一下這兩個(gè)算式的意義嗎？

生4：我用ｘ表示胡蘿卜的質(zhì)量，ａ表示桃子的數(shù)量，２個(gè)胡蘿卜就是２ｘ，等于２００克；３個(gè)桃子就是３ａ，等于２４０克。

師：這就是我們今天學(xué)習(xí)的方程。你認(rèn)為方程有什么特征？

生5：方程就是含有未知數(shù)的等式。

師：怎么理解符合方程的條件？你能寫(xiě)出這樣的等式嗎？

……

教學(xué)片斷二：

師：在以下情境中，你能找到等量關(guān)系并列出方程嗎？

Ａ．買(mǎi)一套衣服要８６元，上衣是３８元。

Ｂ．圖書(shū)室借出了５６本書(shū)，還剩３８本書(shū)。

Ｃ．一臺(tái)電話１２２元，售貨員找給媽媽７８元。

生１：設(shè)褲子是ｘ元。列式為３８＋ｘ＝８６，這里有一個(gè)等量關(guān)系，即褲子與上衣的價(jià)格總和為８６元。

生２：設(shè)圖書(shū)館原有的圖書(shū)量為ｘ。因?yàn)椤霸械膱D書(shū)量＝借出去的圖書(shū)量＋剩下的圖書(shū)量”，所以列式為ｘ－５６＝３８。

生３：設(shè)付出的錢(qián)為ｘ元。因?yàn)椤案冻龅腻X(qián)＝電話的錢(qián)＋找回的錢(qián)”，所以列式為ｘ－１２２＝７８。

師：下面句子，哪個(gè)可以列出方程？

（1）買(mǎi)４個(gè)玩具小狗，每個(gè)ｙ元，１８０元不夠。

（2）買(mǎi)３個(gè)玩具小狗，每個(gè)ｙ元，１２０元不夠。

（3）買(mǎi)３個(gè)玩具小狗，每個(gè)ｙ元，１２９元?jiǎng)倓倝颉?/p>

（4）買(mǎi)４個(gè)玩具小狗，每個(gè)ｙ元，１２４元?jiǎng)偤脡颉?/p>

生４：剛好夠的，可以列出方程，因?yàn)橛械攘筷P(guān)系。

師（出示２ｘ＝１８０）：你能用線段圖表示嗎？說(shuō)說(shuō)你對(duì)這個(gè)方程的理解。

生５：每個(gè)小皮球２元，正好付了１８０元，能買(mǎi)多少個(gè)？

生６：每件衣服ｘ元，２件衣服１８０元。

師：為什么不同的表述，可以用同樣的方程表示？

……

思考：

此課教學(xué)的難點(diǎn)在于等量關(guān)系的把握，如何讓學(xué)生把握方程的本質(zhì)內(nèi)涵和建構(gòu)方程的意義，這是教師需要深入思考的問(wèn)題。從上述教學(xué)中可以看出，關(guān)注數(shù)學(xué)表征，帶領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)意義，是一條有效的途徑。

何謂數(shù)學(xué)表征？建構(gòu)主義理論認(rèn)為，表征是一種知識(shí)的呈現(xiàn)方式，能夠促進(jìn)抽象概念的建構(gòu)。為此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，針對(duì)概念的理解，教師要重視學(xué)生科學(xué)直觀的表征概括，促進(jìn)他們對(duì)概念意義的深刻理解和建構(gòu)。

１．提供表征替代意象

數(shù)學(xué)表征具有直觀和感性的特點(diǎn)。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要抓住概念的本質(zhì)，從概念要素尋找替代物，喚醒學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，以此促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解和把握。如教學(xué)片斷一中，教師借用天平的情境圖，試圖讓學(xué)生體會(huì)方程與天平的直接聯(lián)系，從而感悟方程的表征，進(jìn)行意義初探。學(xué)生抓住平衡、相等的直觀要素尋找突破點(diǎn)，列出２ｘ＝２００、３ａ＝２４０等式，為方程概念的引入搭建了“腳手架”。

２．遵循表征的順序性

數(shù)學(xué)概念的建立是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生探究的過(guò)程中，要從概念表征的內(nèi)在順序入手，一步步進(jìn)行思維的過(guò)渡，最終實(shí)現(xiàn)概念的建構(gòu)。如教學(xué)片斷一中，教師遵循“感悟——嘗試——運(yùn)用”的表征順序，進(jìn)行遞進(jìn)式的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，先讓學(xué)生從天平情境圖感悟方程，探討方程的特征，再根據(jù)情境列出方程，然后重點(diǎn)把握數(shù)量關(guān)系，理解方程。在這三個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生的思維被激活，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)方程意義的整體建構(gòu)。

３．關(guān)注表征的多元性

“方程的意義”的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生準(zhǔn)確把握數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程。如教學(xué)片斷二中，教師采用多元化的表征，讓不同的學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)理解方程的意義。如設(shè)置問(wèn)題“針對(duì)方程２ｘ＝１８０，說(shuō)說(shuō)你對(duì)這個(gè)方程的理解”，這樣就給學(xué)生提供了多元表征的機(jī)會(huì)，使他們?cè)谝饬x層面真正理解方程。

總之，對(duì)方程這一概念的教學(xué)，教師要從深層的本質(zhì)內(nèi)涵入手，關(guān)注數(shù)學(xué)表征，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)意義的建構(gòu)，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值所在。

（責(zé)編杜華）

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“方程的意義”是小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，首次引領(lǐng)學(xué)生將未知當(dāng)作已知參與到等量關(guān)系的數(shù)學(xué)思維中來(lái)，這對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)重要的思維過(guò)渡階段。

教學(xué)片斷一：

師（出示下圖）：你發(fā)現(xiàn)了什么？

■

生１：我發(fā)現(xiàn)１個(gè)紅蘿卜等于２個(gè)胡蘿卜的質(zhì)量。

生２：我發(fā)現(xiàn)３個(gè)桃子與２個(gè)梨的質(zhì)量相等。

師：為什么相等？

生3：因?yàn)樘炱绞瞧胶獾摹?/p>

師：如果一個(gè)紅蘿卜的質(zhì)量是２００克，一個(gè)梨的質(zhì)量是１２０克，你能知道什么？

生4：我知道２個(gè)胡蘿卜的質(zhì)量是２００克，３個(gè)桃子的質(zhì)量是２４０克，即２ｘ＝２００、３ａ＝２４０。

師：你能解釋一下這兩個(gè)算式的意義嗎？

生4：我用ｘ表示胡蘿卜的質(zhì)量，ａ表示桃子的數(shù)量，２個(gè)胡蘿卜就是２ｘ，等于２００克；３個(gè)桃子就是３ａ，等于２４０克。

師：這就是我們今天學(xué)習(xí)的方程。你認(rèn)為方程有什么特征？

生5：方程就是含有未知數(shù)的等式。

師：怎么理解符合方程的條件？你能寫(xiě)出這樣的等式嗎？

……

教學(xué)片斷二：

師：在以下情境中，你能找到等量關(guān)系并列出方程嗎？

Ａ．買(mǎi)一套衣服要８６元，上衣是３８元。

Ｂ．圖書(shū)室借出了５６本書(shū)，還剩３８本書(shū)。

Ｃ．一臺(tái)電話１２２元，售貨員找給媽媽７８元。

生１：設(shè)褲子是ｘ元。列式為３８＋ｘ＝８６，這里有一個(gè)等量關(guān)系，即褲子與上衣的價(jià)格總和為８６元。

生２：設(shè)圖書(shū)館原有的圖書(shū)量為ｘ。因?yàn)椤霸械膱D書(shū)量＝借出去的圖書(shū)量＋剩下的圖書(shū)量”，所以列式為ｘ－５６＝３８。

生３：設(shè)付出的錢(qián)為ｘ元。因?yàn)椤案冻龅腻X(qián)＝電話的錢(qián)＋找回的錢(qián)”，所以列式為ｘ－１２２＝７８。

師：下面句子，哪個(gè)可以列出方程？

（1）買(mǎi)４個(gè)玩具小狗，每個(gè)ｙ元，１８０元不夠。

（2）買(mǎi)３個(gè)玩具小狗，每個(gè)ｙ元，１２０元不夠。

（3）買(mǎi)３個(gè)玩具小狗，每個(gè)ｙ元，１２９元?jiǎng)倓倝颉?/p>

（4）買(mǎi)４個(gè)玩具小狗，每個(gè)ｙ元，１２４元?jiǎng)偤脡颉?/p>

生４：剛好夠的，可以列出方程，因?yàn)橛械攘筷P(guān)系。

師（出示２ｘ＝１８０）：你能用線段圖表示嗎？說(shuō)說(shuō)你對(duì)這個(gè)方程的理解。

生５：每個(gè)小皮球２元，正好付了１８０元，能買(mǎi)多少個(gè)？

生６：每件衣服ｘ元，２件衣服１８０元。

師：為什么不同的表述，可以用同樣的方程表示？

……

思考：

此課教學(xué)的難點(diǎn)在于等量關(guān)系的把握，如何讓學(xué)生把握方程的本質(zhì)內(nèi)涵和建構(gòu)方程的意義，這是教師需要深入思考的問(wèn)題。從上述教學(xué)中可以看出，關(guān)注數(shù)學(xué)表征，帶領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)意義，是一條有效的途徑。

何謂數(shù)學(xué)表征？建構(gòu)主義理論認(rèn)為，表征是一種知識(shí)的呈現(xiàn)方式，能夠促進(jìn)抽象概念的建構(gòu)。為此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，針對(duì)概念的理解，教師要重視學(xué)生科學(xué)直觀的表征概括，促進(jìn)他們對(duì)概念意義的深刻理解和建構(gòu)。

１．提供表征替代意象

數(shù)學(xué)表征具有直觀和感性的特點(diǎn)。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要抓住概念的本質(zhì)，從概念要素尋找替代物，喚醒學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，以此促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解和把握。如教學(xué)片斷一中，教師借用天平的情境圖，試圖讓學(xué)生體會(huì)方程與天平的直接聯(lián)系，從而感悟方程的表征，進(jìn)行意義初探。學(xué)生抓住平衡、相等的直觀要素尋找突破點(diǎn)，列出２ｘ＝２００、３ａ＝２４０等式，為方程概念的引入搭建了“腳手架”。

２．遵循表征的順序性

數(shù)學(xué)概念的建立是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生探究的過(guò)程中，要從概念表征的內(nèi)在順序入手，一步步進(jìn)行思維的過(guò)渡，最終實(shí)現(xiàn)概念的建構(gòu)。如教學(xué)片斷一中，教師遵循“感悟——嘗試——運(yùn)用”的表征順序，進(jìn)行遞進(jìn)式的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，先讓學(xué)生從天平情境圖感悟方程，探討方程的特征，再根據(jù)情境列出方程，然后重點(diǎn)把握數(shù)量關(guān)系，理解方程。在這三個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生的思維被激活，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)方程意義的整體建構(gòu)。

３．關(guān)注表征的多元性

“方程的意義”的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生準(zhǔn)確把握數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程。如教學(xué)片斷二中，教師采用多元化的表征，讓不同的學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)理解方程的意義。如設(shè)置問(wèn)題“針對(duì)方程２ｘ＝１８０，說(shuō)說(shuō)你對(duì)這個(gè)方程的理解”，這樣就給學(xué)生提供了多元表征的機(jī)會(huì)，使他們?cè)谝饬x層面真正理解方程。

總之，對(duì)方程這一概念的教學(xué)，教師要從深層的本質(zhì)內(nèi)涵入手，關(guān)注數(shù)學(xué)表征，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)意義的建構(gòu)，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值所在。

（責(zé)編杜華）

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