解決平面向量問題的“神器”

劉紫陽

平面向量部分在教材中特別介紹了相關(guān)的坐標(biāo)運算，這就給我們解決向量問題提供了一種思路——解析法.解析法是高中數(shù)學(xué)解析幾何中最基本的方法.其思路是：通過建立平面直角坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)知識使問題得以解決.我們在解決一些與向量有關(guān)的問題（尤其是處理有關(guān)的小題）時，若適當(dāng)考慮解析法，可使向量的運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，使得向量的方法解決幾何問題更加方便，從而極大提高解決問題的速度，降低問題的難度，達到事半功倍的目的.下面以近年來的高考試題中的向量小題為例，說明在具體問題中如何恰當(dāng)?shù)亟柚诮馕龇▉斫鉀Q相關(guān)問題.

一、利用解析法解決與向量有關(guān)的求值問題

例1（2005年全國卷Ⅰ理科）△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，OH=m(OA+OB+OC)，則實數(shù)m=.

解析以AC所在的直線為x軸，以線段AC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點A(-a,0)、C(a,0)、B(s,t)，則由題意得點O、H的橫坐標(biāo)分別是0、s；于是向量OH的橫坐標(biāo)是s，向量OA+OB+OC的橫坐標(biāo)是-a+a+s=s；又OH=m(OA+OB+OC)，因此有m=1.

評注此題通過在平面圖形中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系及借助于向量的坐標(biāo)運算，從而比較快速的得出結(jié)論，達到“小題小做”的目的.另外，在具體考試過程中本題也可考慮將題中的三角形特殊化為直角三角形，由此得出結(jié)論.

二、利用解析法解決與向量有關(guān)的最值問題

例2（2011年天津理）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則|PA+3PB|的最小值為 .

圖1解析建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)點P(0,y)、C(0,b)，其中0≤y≤b，則B(1,b)、A(2,0)，PA+3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y)，|PA+3PB|=52+(3b-4y)2的最小值是5，當(dāng)且僅當(dāng)3b-4y=0，即y=3b4∈［0,b］時取得，因此|PA+3PB|的最小值為5.

評注在考慮向量的有關(guān)問題時，如果考慮通過建立直角坐標(biāo)系的方式來解決問題，此時應(yīng)當(dāng)考慮如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系更有利于問題的解決，通常遵循的原則是：讓盡可能多的點的坐標(biāo)形式簡單，且相關(guān)的動點的坐標(biāo)便于表示.

三、利用解析法解決與平面圖形的形狀相關(guān)的問題

例3（2013年浙江理）設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=14AB，且對于邊AB上任一點P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，則（）.

A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°

C．AB=ACD． AC=BC

解析以AB的中點O為原點建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點A(-2,0)、B(2,0)、P0(1,0)、C(m,n)、P(x,0)，其中-2≤x≤2，則有PB=(2-x,0)，PC=(m-x,n),P0B=(1,0)，P0C=(m-1,n)；由PB·PC≥P0B·P0C得(2-x)(m-x)≥m-1，即(x-1)［x-(m+1)］≥0對任意x∈［-2,2］恒成立，于是有m+1=1,m=0,AC=BC，選D.

評注本題在處理時通過建立坐標(biāo)系，從而將難于處理的向量數(shù)量積不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的代數(shù)不等式恒成立問題，由此確定圖形的形狀.

四、利用解析法解決與取值范圍相關(guān)的問題

例4（2013年重慶理）在平面上，AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是（）.

A．(0,52］B．(52,72］

C．(52,2］D．(72 ,2］

解析依題意，以A為原點，直線AB1、AB2分別為x、y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點B1(x,0)、B2(0,y)、O(a,b)，P(x,y)，則(x-a)2+b2=1,a2+(y-b)2=1，［(x-a)2+(y-b)2］+(a2+b2)=2，即|OP|2+|OA|2=2；又0≤|OP|<12，因此74<|OA|2=2-|OP|2≤2，即72<|OA|≤2，即|OA|的取值范圍是(72,2］，選D.

評注從此題的條件來看，不難讓人聯(lián)想到通過建立直角坐標(biāo)系來解決，只是應(yīng)當(dāng)注意結(jié)合題目條件建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把哪個點作為坐標(biāo)原點更有利于問題的解決，同時在處理過程中還應(yīng)當(dāng)注意觀察相關(guān)量間的關(guān)系，否則處理起來會走彎路.

向量作為一種數(shù)學(xué)工具，它用代數(shù)的方法處理幾何問題，簡便快捷；尤其是引入坐標(biāo)系后，向量法與解析法聯(lián)袂演繹，相輔相成，相得益彰，如虎添翼，行若流水.向量法和解析法都是用代數(shù)方法處理幾何問題，兩者結(jié)合，強強聯(lián)手，將數(shù)學(xué)題玩弄于股掌之中.從以上幾個實例來看，要想通過借助于解析幾何知識來處理向量的小題，真正做到小題小做的話，結(jié)合題目建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是問題的關(guān)鍵，否則容易誤入歧途，導(dǎo)致小題大做.

(收稿日期：2013-11-15)

平面向量部分在教材中特別介紹了相關(guān)的坐標(biāo)運算，這就給我們解決向量問題提供了一種思路——解析法.解析法是高中數(shù)學(xué)解析幾何中最基本的方法.其思路是：通過建立平面直角坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)知識使問題得以解決.我們在解決一些與向量有關(guān)的問題（尤其是處理有關(guān)的小題）時，若適當(dāng)考慮解析法，可使向量的運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，使得向量的方法解決幾何問題更加方便，從而極大提高解決問題的速度，降低問題的難度，達到事半功倍的目的.下面以近年來的高考試題中的向量小題為例，說明在具體問題中如何恰當(dāng)?shù)亟柚诮馕龇▉斫鉀Q相關(guān)問題.

一、利用解析法解決與向量有關(guān)的求值問題

例1（2005年全國卷Ⅰ理科）△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，OH=m(OA+OB+OC)，則實數(shù)m=.

解析以AC所在的直線為x軸，以線段AC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點A(-a,0)、C(a,0)、B(s,t)，則由題意得點O、H的橫坐標(biāo)分別是0、s；于是向量OH的橫坐標(biāo)是s，向量OA+OB+OC的橫坐標(biāo)是-a+a+s=s；又OH=m(OA+OB+OC)，因此有m=1.

評注此題通過在平面圖形中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系及借助于向量的坐標(biāo)運算，從而比較快速的得出結(jié)論，達到“小題小做”的目的.另外，在具體考試過程中本題也可考慮將題中的三角形特殊化為直角三角形，由此得出結(jié)論.

二、利用解析法解決與向量有關(guān)的最值問題

例2（2011年天津理）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則|PA+3PB|的最小值為 .

圖1解析建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)點P(0,y)、C(0,b)，其中0≤y≤b，則B(1,b)、A(2,0)，PA+3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y)，|PA+3PB|=52+(3b-4y)2的最小值是5，當(dāng)且僅當(dāng)3b-4y=0，即y=3b4∈［0,b］時取得，因此|PA+3PB|的最小值為5.

評注在考慮向量的有關(guān)問題時，如果考慮通過建立直角坐標(biāo)系的方式來解決問題，此時應(yīng)當(dāng)考慮如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系更有利于問題的解決，通常遵循的原則是：讓盡可能多的點的坐標(biāo)形式簡單，且相關(guān)的動點的坐標(biāo)便于表示.

三、利用解析法解決與平面圖形的形狀相關(guān)的問題

例3（2013年浙江理）設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=14AB，且對于邊AB上任一點P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，則（）.

A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°

C．AB=ACD． AC=BC

解析以AB的中點O為原點建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點A(-2,0)、B(2,0)、P0(1,0)、C(m,n)、P(x,0)，其中-2≤x≤2，則有PB=(2-x,0)，PC=(m-x,n),P0B=(1,0)，P0C=(m-1,n)；由PB·PC≥P0B·P0C得(2-x)(m-x)≥m-1，即(x-1)［x-(m+1)］≥0對任意x∈［-2,2］恒成立，于是有m+1=1,m=0,AC=BC，選D.

評注本題在處理時通過建立坐標(biāo)系，從而將難于處理的向量數(shù)量積不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的代數(shù)不等式恒成立問題，由此確定圖形的形狀.

四、利用解析法解決與取值范圍相關(guān)的問題

例4（2013年重慶理）在平面上，AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是（）.

A．(0,52］B．(52,72］

C．(52,2］D．(72 ,2］

解析依題意，以A為原點，直線AB1、AB2分別為x、y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點B1(x,0)、B2(0,y)、O(a,b)，P(x,y)，則(x-a)2+b2=1,a2+(y-b)2=1，［(x-a)2+(y-b)2］+(a2+b2)=2，即|OP|2+|OA|2=2；又0≤|OP|<12，因此74<|OA|2=2-|OP|2≤2，即72<|OA|≤2，即|OA|的取值范圍是(72,2］，選D.

評注從此題的條件來看，不難讓人聯(lián)想到通過建立直角坐標(biāo)系來解決，只是應(yīng)當(dāng)注意結(jié)合題目條件建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把哪個點作為坐標(biāo)原點更有利于問題的解決，同時在處理過程中還應(yīng)當(dāng)注意觀察相關(guān)量間的關(guān)系，否則處理起來會走彎路.

向量作為一種數(shù)學(xué)工具，它用代數(shù)的方法處理幾何問題，簡便快捷；尤其是引入坐標(biāo)系后，向量法與解析法聯(lián)袂演繹，相輔相成，相得益彰，如虎添翼，行若流水.向量法和解析法都是用代數(shù)方法處理幾何問題，兩者結(jié)合，強強聯(lián)手，將數(shù)學(xué)題玩弄于股掌之中.從以上幾個實例來看，要想通過借助于解析幾何知識來處理向量的小題，真正做到小題小做的話，結(jié)合題目建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是問題的關(guān)鍵，否則容易誤入歧途，導(dǎo)致小題大做.

(收稿日期：2013-11-15)

平面向量部分在教材中特別介紹了相關(guān)的坐標(biāo)運算，這就給我們解決向量問題提供了一種思路——解析法.解析法是高中數(shù)學(xué)解析幾何中最基本的方法.其思路是：通過建立平面直角坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)知識使問題得以解決.我們在解決一些與向量有關(guān)的問題（尤其是處理有關(guān)的小題）時，若適當(dāng)考慮解析法，可使向量的運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，使得向量的方法解決幾何問題更加方便，從而極大提高解決問題的速度，降低問題的難度，達到事半功倍的目的.下面以近年來的高考試題中的向量小題為例，說明在具體問題中如何恰當(dāng)?shù)亟柚诮馕龇▉斫鉀Q相關(guān)問題.

一、利用解析法解決與向量有關(guān)的求值問題

例1（2005年全國卷Ⅰ理科）△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，OH=m(OA+OB+OC)，則實數(shù)m=.

解析以AC所在的直線為x軸，以線段AC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點A(-a,0)、C(a,0)、B(s,t)，則由題意得點O、H的橫坐標(biāo)分別是0、s；于是向量OH的橫坐標(biāo)是s，向量OA+OB+OC的橫坐標(biāo)是-a+a+s=s；又OH=m(OA+OB+OC)，因此有m=1.

評注此題通過在平面圖形中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系及借助于向量的坐標(biāo)運算，從而比較快速的得出結(jié)論，達到“小題小做”的目的.另外，在具體考試過程中本題也可考慮將題中的三角形特殊化為直角三角形，由此得出結(jié)論.

二、利用解析法解決與向量有關(guān)的最值問題

例2（2011年天津理）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則|PA+3PB|的最小值為 .

圖1解析建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)點P(0,y)、C(0,b)，其中0≤y≤b，則B(1,b)、A(2,0)，PA+3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y)，|PA+3PB|=52+(3b-4y)2的最小值是5，當(dāng)且僅當(dāng)3b-4y=0，即y=3b4∈［0,b］時取得，因此|PA+3PB|的最小值為5.

評注在考慮向量的有關(guān)問題時，如果考慮通過建立直角坐標(biāo)系的方式來解決問題，此時應(yīng)當(dāng)考慮如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系更有利于問題的解決，通常遵循的原則是：讓盡可能多的點的坐標(biāo)形式簡單，且相關(guān)的動點的坐標(biāo)便于表示.

三、利用解析法解決與平面圖形的形狀相關(guān)的問題

例3（2013年浙江理）設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=14AB，且對于邊AB上任一點P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，則（）.

A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°

C．AB=ACD． AC=BC

解析以AB的中點O為原點建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點A(-2,0)、B(2,0)、P0(1,0)、C(m,n)、P(x,0)，其中-2≤x≤2，則有PB=(2-x,0)，PC=(m-x,n),P0B=(1,0)，P0C=(m-1,n)；由PB·PC≥P0B·P0C得(2-x)(m-x)≥m-1，即(x-1)［x-(m+1)］≥0對任意x∈［-2,2］恒成立，于是有m+1=1,m=0,AC=BC，選D.

評注本題在處理時通過建立坐標(biāo)系，從而將難于處理的向量數(shù)量積不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的代數(shù)不等式恒成立問題，由此確定圖形的形狀.

四、利用解析法解決與取值范圍相關(guān)的問題

例4（2013年重慶理）在平面上，AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是（）.

A．(0,52］B．(52,72］

C．(52,2］D．(72 ,2］

解析依題意，以A為原點，直線AB1、AB2分別為x、y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點B1(x,0)、B2(0,y)、O(a,b)，P(x,y)，則(x-a)2+b2=1,a2+(y-b)2=1，［(x-a)2+(y-b)2］+(a2+b2)=2，即|OP|2+|OA|2=2；又0≤|OP|<12，因此74<|OA|2=2-|OP|2≤2，即72<|OA|≤2，即|OA|的取值范圍是(72,2］，選D.

評注從此題的條件來看，不難讓人聯(lián)想到通過建立直角坐標(biāo)系來解決，只是應(yīng)當(dāng)注意結(jié)合題目條件建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把哪個點作為坐標(biāo)原點更有利于問題的解決，同時在處理過程中還應(yīng)當(dāng)注意觀察相關(guān)量間的關(guān)系，否則處理起來會走彎路.

向量作為一種數(shù)學(xué)工具，它用代數(shù)的方法處理幾何問題，簡便快捷；尤其是引入坐標(biāo)系后，向量法與解析法聯(lián)袂演繹，相輔相成，相得益彰，如虎添翼，行若流水.向量法和解析法都是用代數(shù)方法處理幾何問題，兩者結(jié)合，強強聯(lián)手，將數(shù)學(xué)題玩弄于股掌之中.從以上幾個實例來看，要想通過借助于解析幾何知識來處理向量的小題，真正做到小題小做的話，結(jié)合題目建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是問題的關(guān)鍵，否則容易誤入歧途，導(dǎo)致小題大做.

(收稿日期：2013-11-15)