均勻熱環(huán)境下四邊固支矩形PCB薄板的自由振動(dòng)

高 軍，黃再興

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

表面貼裝技術(shù)(SMT)以其成本低、集成度高、電子組件重量輕、易于自動(dòng)化等優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于微電子電路[1-2]。影響表面貼裝電子產(chǎn)品可靠性的主要環(huán)境因素是熱和振動(dòng)沖擊,特別是在環(huán)境振動(dòng)和熱載荷的復(fù)雜環(huán)境下，兩類載荷共同影響貼裝形式元器件的內(nèi)力情況，導(dǎo)致振動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)應(yīng)力和熱疲勞應(yīng)力相互疊加引起封裝的失效，從而影響整個(gè)封裝形式可靠性與壽命。同時(shí)，這兩種載荷相互間產(chǎn)生耦合，并非僅僅只表現(xiàn)為兩種載荷作用的簡(jiǎn)單疊加。目前，已發(fā)現(xiàn)大型的工作站隨工作溫度升高到一定程度會(huì)產(chǎn)生共振，從而會(huì)影響其正常工作。明顯地，這是由熱環(huán)境溫度的變化導(dǎo)致封裝結(jié)構(gòu)固有頻率改變帶來(lái)的問(wèn)題。該問(wèn)題涉及封裝結(jié)構(gòu)固有頻率與環(huán)境溫度的相互耦合，但目前還缺乏定量的研究。

已有學(xué)者分別對(duì)振動(dòng)和熱環(huán)境下表面貼裝形式電子元器件的結(jié)構(gòu)和可靠性進(jìn)行了一些研究[3-6]。但是，由于與熱循環(huán)載荷相比，振動(dòng)載荷具有高頻特性，兩者的周期相差較遠(yuǎn)，在處理這兩種載荷同時(shí)作用時(shí)具有較大的困難，所以綜合考慮環(huán)境振動(dòng)和熱載荷共同作用下電子封裝可靠性以及壽命預(yù)測(cè)的研究較少。如朱繼元[7]等利用ANSYS軟件,通過(guò)考慮材料參數(shù)隨溫度變化的因素對(duì)振動(dòng)的影響來(lái)分析熱和振動(dòng)耦合的問(wèn)題。Barker 等[8-9]提出線性疊加的方法考慮熱和振動(dòng)耦合載荷對(duì)可靠性的影響，分別計(jì)算振動(dòng)載荷和熱載荷引起的損傷，然后將兩者線性疊加。鄧定宇等[10]考慮溫度產(chǎn)生的平均應(yīng)力對(duì)振動(dòng)損傷計(jì)算的影響，采用遞增損傷累積方法計(jì)算疲勞壽命。從目前研究現(xiàn)狀來(lái)看，并未從根本物理機(jī)制上去確定熱和振動(dòng)耦合作用對(duì)電子封裝結(jié)構(gòu)的影響。

因表面貼裝的封裝結(jié)構(gòu)中PCB板為鑲嵌于上一級(jí)封裝結(jié)構(gòu)，或者沿邊界完全固定于其他裝置中[3-6]，其中PCB薄板可以認(rèn)為是四邊固支的矩形薄板。為此本文忽略表面貼裝形式中PCB板上其他元件，將PCB板簡(jiǎn)化為四邊固支矩形薄板，通過(guò)對(duì)熱載下薄板自由振動(dòng)的分析來(lái)確定表面貼裝結(jié)構(gòu)中PCB薄板的熱和振動(dòng)載荷的相互影響。文中基于剛性板的小撓度理論，推導(dǎo)了熱載下矩形PCB薄板的自由振動(dòng)微分方程，進(jìn)而利用虛位移理論得出了四邊固支矩形薄板基本頻率和自由振動(dòng)撓度值的計(jì)算方法。并討論了薄板的幾何尺寸、溫度等對(duì)PCB薄板自由振動(dòng)固有頻率的影響。

1 熱載下PCB薄板振動(dòng)微分方程

在目前的研究中，PCB板可考慮為連續(xù)、均勻的各向同性彈性薄板，同時(shí)PCB板的變形和內(nèi)力狀態(tài)均認(rèn)為不影響結(jié)構(gòu)的熱傳導(dǎo)過(guò)程和溫度場(chǎng)的變化?，F(xiàn)取一尺寸為a×b×h的PCB矩形薄板進(jìn)行分析，坐標(biāo)如圖1所示。

圖1 PCB薄板模型

根據(jù)剛性板和小撓度理論的基本假設(shè)[11-12]，有

u=-zw,xv=-zw,y

(1)

式中，u,v和w分別為沿x,y和z軸方向的位移。

所以薄板的幾何方程為：

(2)

因不計(jì)應(yīng)力分量σz引起的應(yīng)變，所以熱環(huán)境下薄板物理方程可寫為：

(3)

式中α為材料的線膨脹系數(shù)，E為材料的彈性模量，μ為材料的泊松比，T=T(x,y,z)是薄板中任意一點(diǎn)的變溫。由式(2)和式(3)求解應(yīng)力分量得：

(4)

薄板單位寬度上的內(nèi)力和內(nèi)力矩可以用應(yīng)力沿厚度方向積分得到：

(5)

將式(4)代入(5)得：

(6)

根據(jù)經(jīng)典薄板的小撓度理論，其動(dòng)力平衡方程為[13-14]：

(7)

式(7)中前兩式是獨(dú)立的，將式(6)代入式(7)的第三式得：

D4w+(φ,xx+φ,yy)-

N(w,xx+w,yy)+ρhw,tt=0

(8)

式中：

由于溫度在面內(nèi)均勻變化，則

φ,xx+φ,yy=0

(9)

將式(9)代入式(8)得：

D4w-N(w,xx+w,yy)+ρhw,tt=0

(10)

式(10)即為PCB薄板在熱載作用下基于小撓度理論的自由振動(dòng)微分方程。從微分方程中可以看出，熱載下的薄板振動(dòng)等效于面內(nèi)受均布張力N的薄板振動(dòng)。

2 PCB薄板熱載下溫度場(chǎng)分析

為了分析溫度作用下PCB薄板的振動(dòng)規(guī)律，必須確定薄板溫度場(chǎng)的分布。PCB板表面正常工作中的電子芯片產(chǎn)生熱量，使得薄板一側(cè)溫度升高。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)認(rèn)為電子芯片的熱量均勻傳到所在一側(cè)的表面，表面各處的溫度均相等。薄板熱量從高溫面?zhèn)飨虻蜏孛?，溫度僅沿厚度方向均勻線性變化。設(shè)薄板各點(diǎn)初始溫度均相同，則熱環(huán)境下薄板各點(diǎn)溫度可表示為：

(11)

式中，T1表示上表面的變溫值，T2表示下表面的變溫值。

將式(11)代入式(6)第一式得，

(12)

薄板內(nèi)力N表達(dá)式中負(fù)號(hào)表示當(dāng)薄板溫度增加時(shí)，薄板內(nèi)產(chǎn)生壓應(yīng)力；當(dāng)溫度降低時(shí)，薄板內(nèi)產(chǎn)生拉應(yīng)力。

將式(12)代入式(10)得熱載下PCB薄板自由振動(dòng)微分方程：

當(dāng)由于電子封裝結(jié)構(gòu)的工作環(huán)境整體溫度升高，引起PCB薄板溫度變化時(shí)，薄板上下表面變溫相等，即T1=T2，此時(shí)：

N=-EαhT1

(14)

此時(shí)自由振動(dòng)微分方程為：

D4w+EαhT1(w,xx+w,yy)+ρhw,tt=0

(15)

3 PCB薄板熱載下自由振動(dòng)

按照結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法，四邊固支的薄板等效于四邊為簡(jiǎn)支的基本系統(tǒng)，同時(shí)四條邊上作用著連續(xù)分布的彎矩[15]。熱載下四邊固支的PCB薄板如圖2(a)可等效為圖2(b)所示四邊簡(jiǎn)支基本系統(tǒng)，同時(shí)作用著均布張力和連續(xù)分布的彎矩。在y=0,y=b這兩條邊上作用著隨各點(diǎn)位置x而變化的彎矩M(x)，在x=0,x=a這兩條邊上作用著隨各點(diǎn)位置y而變化的彎矩M(y)。

圖2 四邊固支PCB薄板簡(jiǎn)化模型

設(shè)薄板等效基本系統(tǒng)在振動(dòng)時(shí)瞬時(shí)撓度[16]為：

(16)

式中，ω為薄板的自振頻率，系數(shù)amn可用虛位移原理來(lái)計(jì)算。當(dāng)板作對(duì)稱形式的振動(dòng)時(shí)，其固定邊上所作用的彎矩各為M(x)sin(ωt),M(y)sin(ωt)。根據(jù)虛位移原理，當(dāng)amn增為amn+δamn時(shí)，慣性力所做的功為：

(17)

沿板邊界上作用的彎矩所作的功為：

(18)

式中Em和Fn分別為將彎矩M(x)和M(y)展成正弦級(jí)數(shù)時(shí)的系數(shù)，即

(19)

于是當(dāng)虛位移進(jìn)行時(shí)，外力所作的功為：

(20)

薄板內(nèi)變形能的增量為：

sin2ωtamnδamn

(21)

由虛位移原理δU=δT得：

(22)

將式(22)代入式(16)得薄板的振動(dòng)撓度為：

(23)

當(dāng)薄板為正方形板時(shí)a=b，并且Nx=Ny=N，則彎矩沿四邊的分布相同，于是Fn=En，則式(23)變?yōu)椋?/p>

(24)

由于薄板的四邊固定，有：

(25)

將式(24)代入式(25)的第一式得：

(26)

于是：

(27)

利用文獻(xiàn)(15)附錄中式(28)，

(28)

方程(27)可寫作，

(29)

式中，

(30)

方程(29)為一組無(wú)窮聯(lián)立方程，且方程系數(shù)與薄板頻率ω有關(guān)，利用齊次方程組有非零解的條件，使它的系數(shù)矩陣等于零，就可得到無(wú)窮個(gè)根，其中最小的一個(gè)根就是振動(dòng)的基本頻率。其中方程的個(gè)數(shù)在實(shí)際的計(jì)算中根據(jù)精度要求取有限項(xiàng)。將計(jì)算得到的基本頻率代回方程(29)解聯(lián)立方程可得Em，從而可由式(19)得到分布在固定邊上的彎矩值。將Em以及基本頻率代入式(24)即可計(jì)算振動(dòng)中各點(diǎn)撓度值。

4 PCB薄板振動(dòng)的影響分析

為了具體分析溫度以及其他因素對(duì)熱載下PCB板自由振動(dòng)固有頻率的影響，取文獻(xiàn)[17]中PCB板材料以及尺寸數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，參數(shù)如表1所示。其中PCB板為高度1 mm邊長(zhǎng)10 mm的正方形板。

表1 PCB板材料參數(shù)

圖3 薄板頻率隨溫度變化曲線

假定電子封裝結(jié)構(gòu)的工作環(huán)境整體溫度從室溫25℃升高到125℃，即薄板變溫T從0℃到100℃。通過(guò)式(14)即可計(jì)算薄板在不同的變溫下引起的內(nèi)力N，內(nèi)力值此時(shí)為負(fù)值表示溫度升高薄板內(nèi)產(chǎn)生壓應(yīng)力。取方程組(29)的前四項(xiàng)，將內(nèi)力N的值代入方程，并取這四階系數(shù)矩陣等于零，即可得到四邊固支PCB薄板在不同溫度下自由振動(dòng)的基本頻率ω，如圖3所示。

從圖中可以看出，隨著溫度的上升，薄板基本頻率近似呈線性下降。薄板內(nèi)的壓應(yīng)力降低了薄板的抗彎能力，進(jìn)而降低了薄板的固有頻率。反之當(dāng)溫度降低時(shí)，薄板內(nèi)拉應(yīng)力可使得薄板的抗彎能力提高，進(jìn)而提高薄板的固有頻率。

通過(guò)計(jì)算薄板邊長(zhǎng)從10 mm到100 mm變化時(shí)的基本頻率值，分析PCB薄板的尺寸對(duì)熱載下薄板固有頻率的影響。假定PCB薄板的溫度從室溫25℃升高到45℃，即薄板的變溫T為20℃。圖5所示為薄板在不同邊長(zhǎng)情況下的基本頻率變化曲線。從圖中可以看出，薄板的邊長(zhǎng)對(duì)基頻影響很大，邊長(zhǎng)從10 mm到20 mm之間急劇下降，之后趨于平緩變化。

圖4 薄板頻率隨邊長(zhǎng)變化曲線

5 結(jié) 論

本文將PCB板簡(jiǎn)化為四邊固支的矩形薄板，推導(dǎo)了熱環(huán)境下四邊固支矩形薄板的自由振動(dòng)微分方程，將熱載下四邊固支薄板振動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為受面內(nèi)均布張力固支薄板振動(dòng)問(wèn)題。通過(guò)虛位移原理，得出了計(jì)算熱載下四邊固支PCB薄板自由振動(dòng)固有頻率和撓度值的方法。

利用固有頻率計(jì)算方法，討論了熱載下溫度、薄板的幾何尺寸對(duì)PCB矩形薄板自由振動(dòng)固有頻率的影響。隨薄板溫度升高基本頻率近似呈線性降低，溫度降低頻率則近似線性升高。正方形薄板固有頻率隨薄板的邊長(zhǎng)增大而下降，在邊長(zhǎng)到達(dá)某一值時(shí)，頻率變化趨于平緩。本文結(jié)果可為電子封裝結(jié)構(gòu)中矩形PCB板在熱載下的振動(dòng)分析以及固有頻率的計(jì)算提供參考。

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