基于變尺度法的進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)方法研究

吳子英，劉宏昭，王 勝，劉麗蘭，姚美倩

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048)

進(jìn)給伺服系統(tǒng)是數(shù)控機(jī)床的核心組成部分，是一種精密的位置跟蹤與定位系統(tǒng)。一般由控制單元、伺服電機(jī)、機(jī)械傳動(dòng)部件、執(zhí)行元件和檢測(cè)反饋環(huán)節(jié)等組成。其中，機(jī)械傳動(dòng)部件是指將電機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)變?yōu)楣ぷ髋_(tái)的直線運(yùn)動(dòng)的整個(gè)機(jī)械傳動(dòng)鏈，包括絲杠螺母副、齒輪裝置等中間傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。在進(jìn)行進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究過(guò)程中，其結(jié)構(gòu)參數(shù)的準(zhǔn)確與否對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與動(dòng)態(tài)特性分析均有著重要的影響。因此，準(zhǔn)確合理地識(shí)別出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析與控制的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。

目前機(jī)械結(jié)構(gòu)的參數(shù)辨識(shí)多依靠系統(tǒng)的輸入輸出信息，而且往往需要系統(tǒng)輸入是斜坡或簡(jiǎn)諧等規(guī)則信號(hào)，然而對(duì)于大多數(shù)工況運(yùn)行機(jī)器而言，尤其是閉環(huán)控制下的進(jìn)給系統(tǒng)，其輸入信息的準(zhǔn)確獲得具有一定難度。

本文針對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)提出了一種簡(jiǎn)單有效的結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)方法。該方法將進(jìn)給系統(tǒng)簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)模型，建立了進(jìn)給系統(tǒng)臨界爬行速度與其結(jié)構(gòu)參數(shù)間的非線性函數(shù)關(guān)系，并結(jié)合優(yōu)化理論，提出了利用臨界爬行速度和BFGS變尺度法辨識(shí)進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的新思路。該方法不依賴于系統(tǒng)輸入信息，僅需要工作臺(tái)臨界爬行速度數(shù)據(jù)就可以辨識(shí)出相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，方法簡(jiǎn)單易于實(shí)施。

1 進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)描述

進(jìn)給系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由伺服電機(jī)、齒輪箱、滾珠絲杠、螺母副、支撐軸承、工作臺(tái)和導(dǎo)軌等組成。絲杠通過(guò)螺母帶動(dòng)工作臺(tái)，將伺服電機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換成工作臺(tái)的直線運(yùn)動(dòng)。目前，隨著伺服電機(jī)技術(shù)的發(fā)展，在負(fù)載不大的情況下通常取消了齒輪箱，采用電機(jī)和滾珠絲杠直連的方式，縮短了機(jī)械傳動(dòng)鏈，提高了控制精度。而對(duì)于重型數(shù)控車床來(lái)說(shuō)，該齒輪箱為減速箱，用于提高傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)矩。

2 進(jìn)給系統(tǒng)力學(xué)建模

對(duì)于圖1所示的進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行建模時(shí)作如下兩點(diǎn)假設(shè)：①螺母的質(zhì)量相對(duì)于工作臺(tái)的質(zhì)量忽略不計(jì)；②電機(jī)軸與軸1之間的聯(lián)軸器多采用撓性聯(lián)軸器，在錐套充分鎖緊情況下，忽略其變形影響，假設(shè)為剛性連接?；诒疚哪康暮退岢龅姆治龇椒ǎ鑼⒄麄€(gè)進(jìn)給系統(tǒng)等效為一個(gè)單自由度系統(tǒng)，如圖2所示。

在圖2中，Me為等效質(zhì)量，Ke為等效剛度，Ce為等效粘性阻尼，F(xiàn)f為導(dǎo)軌滑動(dòng)摩擦力，v為等效質(zhì)量的驅(qū)動(dòng)速度，x為等效質(zhì)量的位移。在假設(shè)驅(qū)動(dòng)速度為常數(shù)的情況下，根據(jù)文獻(xiàn)[4]可得到質(zhì)量塊Mc發(fā)生臨界爬行運(yùn)動(dòng)時(shí)的驅(qū)動(dòng)速度的表達(dá)式為

(1)

式中，μs為靜摩擦系數(shù)，μc為動(dòng)摩擦系數(shù)，ξ為阻尼比。

2.1 等效質(zhì)量計(jì)算

針對(duì)圖1所示進(jìn)給系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)能等效原則，將電機(jī)轉(zhuǎn)子、中間各軸及軸上齒輪、絲杠軸及絲杠軸上齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都向工作臺(tái)等效，得到系統(tǒng)的等效質(zhì)量為

(2)

式中，Jm為電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,J1為軸1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,J2為軸2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Jbs為絲杠軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Jgi為軸上各齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(i=1,2,3,4),M′為工作臺(tái)質(zhì)量,λ為絲杠的導(dǎo)程，r為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與線性運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換系數(shù)[7]r=λ/2πm/rad;i1,i2為各級(jí)嚙合齒輪的傳動(dòng)比。

2.2 等效剛度計(jì)算

在圖1所示的進(jìn)給系統(tǒng)中，主要存在傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)剛度、齒輪嚙合剛度、絲杠的扭轉(zhuǎn)剛度和軸向剛度、絲杠螺母副軸向接觸剛度及絲杠支承軸承的軸向支承剛度。通常情況下，絲杠支承軸承的軸向剛度都較其他剛度要大得多，可按剛性支承來(lái)處理。在圖2的等效單自由度力學(xué)模型中，為了獲得系統(tǒng)等效剛度Ke，首先需要計(jì)算出傳動(dòng)鏈中的各子環(huán)節(jié)剛度。

(1)軸的扭轉(zhuǎn)剛度

根據(jù)材料力學(xué)中軸的扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算公式，傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)剛度Kθ及絲杠軸的扭轉(zhuǎn)剛度Kθbs可按下式計(jì)算

(3)

(4)

式中，G為剪切彈性模量;d為齒輪軸軸徑;dbs為絲杠直徑;l為軸長(zhǎng)或者絲杠跨距。

(2)絲杠的軸向剛度

對(duì)于兩端止推支承的絲杠，其軸向剛度為[4]

(5)

式中，a為工作臺(tái)位置到絲杠左端支承點(diǎn)的距離;E為彈性模量。

(3)齒輪嚙合剛度

雖然齒輪在嚙合過(guò)程中存在雙齒嚙合區(qū)和單齒嚙合區(qū)，其嚙合剛度在運(yùn)行過(guò)程中有時(shí)變特征，但為了簡(jiǎn)化齒輪嚙合剛度計(jì)算，根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)[5]，每一對(duì)齒輪的嚙合剛度可按下式計(jì)算

Ki=(0.75εa+0.25)c′ (i=1,2,…,p)

(6)

且有

(7)

(4)綜合扭轉(zhuǎn)剛度

綜合扭轉(zhuǎn)剛度Kefθ主要由兩部分組成，一部分是由各軸的扭轉(zhuǎn)剛度等效后的扭轉(zhuǎn)剛度Kefθ1，另一部分是由各對(duì)嚙合齒輪的嚙合剛度等效后的扭轉(zhuǎn)剛度Kefθ2。即

(8)

各軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度Kefθ1的計(jì)算是將各個(gè)軸的扭轉(zhuǎn)剛度向絲杠軸等效，即

(9)

式中，Kθi為各軸的扭轉(zhuǎn)剛度(i=1,2)。

同理，各級(jí)齒輪嚙合剛度的等效扭轉(zhuǎn)剛度Kefθ2為

(10)

式中，mni(i=1,2)為各級(jí)嚙合斜齒輪的法面模數(shù)。

(5)絲桿螺母副軸向接觸剛度

根據(jù)Hertz理論，可推導(dǎo)出滾珠絲杠螺母副的軸向剛度Knut計(jì)算公式[6]

Knut=Nz/δB

(11)

式中，Nz為工作載荷;δB為工作載荷沿軸向位移;

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，絲杠螺母副的軸向剛度通常按照定常值處理，其值可由出廠廠家提供。

綜上，在上述各剛度計(jì)算的基礎(chǔ)上，等效剛度Ke由絲杠螺母副的軸向接觸剛度、絲杠扭轉(zhuǎn)剛度、絲杠軸向剛度和綜合扭轉(zhuǎn)剛度組成，即:

(12)

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)

3.1 誤差函數(shù)

將式(2)-式(12)代入式(1)可得到理論上臨界爬行速度vc是各齒輪的模數(shù)mn、螺旋角β、軸的等效直徑di、絲杠直徑dbs、絲杠跨度l以及絲杠導(dǎo)程λ等諸多系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的非線性函數(shù)，即

vc=vc(mn,β,di,dbs,l,λ,x)

(13)

通過(guò)對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)試實(shí)驗(yàn)，可以得到工作臺(tái)不同進(jìn)給位置下的臨界爬行速度的測(cè)試數(shù)據(jù)，即Vcs。這樣可以建立理論計(jì)算量vc和測(cè)試量Vcs的誤差函數(shù)e，即

(14)

從而根據(jù)誤差最小原理，利用公式(14)，再借助無(wú)約束優(yōu)化方法可將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)出來(lái)。在諸多優(yōu)化方法中，變尺度法是一種應(yīng)用較為廣泛且易于實(shí)現(xiàn)的方法，本文采用了BFGS變尺度法進(jìn)行最小尋優(yōu)。

3.2 變尺度法

變尺度法[8]是在克服了梯度法收斂速度慢和牛頓法計(jì)算量大的缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。其基本思想是：利用牛頓法的迭代形式，然而并不直接計(jì)算Hessian矩陣[H(x(k))]-1，而是用一個(gè)對(duì)稱正定矩陣A(k)近似的代替[H(x(k))]-1，在迭代過(guò)程中，不斷改進(jìn)，最后逼近[H(x(k))]-1。

變尺度法最初的幾步迭代與梯度法類似，函數(shù)值的下降是最快的，而在最后的幾步迭代，變尺度法與牛頓法相近，可較快地收斂到極小點(diǎn)。同時(shí)變尺度法避免了計(jì)算Hessian矩陣及其逆矩陣，從而克服了牛頓法計(jì)算量大的缺點(diǎn)，但保留了較快的收斂速度。因而在目標(biāo)函數(shù)的梯度容易計(jì)算的情況下，變尺度法是一種很有效的方法。

BFGS變尺度法迭代公式為

A(k+1)=A(k)+ΔA(k)

(15)

修正矩陣ΔA(k)的形式為

(16)

其中，Δg(k)=f(x(k+1))-f(x(k)),Δx(k)=x(k+1)-x(k)。

BFGS變尺度法具體迭代步驟如下：

步驟1：選定初始點(diǎn)x0，并給定控制精度；

步驟2：置k=0，A(k)=A(0)=I(單位矩陣)，從而得到搜索方向?yàn)椋簊(k)=-A(k)f(x(k))=-A(k)g(k)；

步驟4：計(jì)算g(k+1)=f(x(k+1))，如果，則x(k+1)為極小點(diǎn)，停止迭代，否則轉(zhuǎn)步驟5；

步驟5：檢查迭代次數(shù)，若k=n，則令x(0)?x(k+1)，轉(zhuǎn)步驟2，若k

步驟6：計(jì)算g(k+1)、Δg(k)=g(k+1)-g(k)，Δx(k)=x(k+1)-x(k)及A(k+1)=A(k)+ΔA(k)，

步驟7：構(gòu)造新的搜索方向：s(k+1)=-A(k+1)f(x(k))=-A(k+1)g(k)，然后令k?k+1，并轉(zhuǎn)向步驟3。

4 數(shù)值仿真

本節(jié)以圖3所示的直連式進(jìn)給系統(tǒng)為例進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證所提辨識(shí)方法的可行性。該系統(tǒng)無(wú)齒輪箱減速環(huán)節(jié)，工作臺(tái)兩支撐點(diǎn)間的跨距為1 m，理論結(jié)構(gòu)參數(shù)由表1給出。

圖3 直聯(lián)式進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

表1 進(jìn)給系統(tǒng)理論結(jié)構(gòu)參數(shù)

基于圖2所示的力學(xué)建模思想，將該系統(tǒng)簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為

(16)

采用四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，得到工作臺(tái)處在不同位置時(shí)的臨界爬行速度點(diǎn)，如圖4所示。為了增加優(yōu)化分析的數(shù)據(jù)量，采用曲線擬合方法對(duì)離散的速度點(diǎn)進(jìn)行擬合，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)四次多項(xiàng)式擬合的曲線與理論點(diǎn)吻合較好，因此將對(duì)四次多項(xiàng)式擬合出的曲線上的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

根據(jù)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)，采用變尺度法辨識(shí)出直連式進(jìn)給系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。

圖4 仿真的臨界爬行速度點(diǎn)及其擬合曲線

表2 辨識(shí)結(jié)果及相對(duì)誤差

從表2的相對(duì)誤差值可以看出，變尺度法能夠通過(guò)優(yōu)化辨識(shí)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)且具有較高的辨識(shí)精度。仿真中絲杠直徑的辨識(shí)精度最高，相對(duì)而言，絲杠的導(dǎo)程辨識(shí)精度略差，相對(duì)誤差達(dá)到3.5%。

5 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

5.1 測(cè)試系統(tǒng)

以圖5所示的某重型數(shù)控車床橫向進(jìn)給系統(tǒng)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。該系統(tǒng)為全閉環(huán)控制，含有二級(jí)斜齒輪減速機(jī)構(gòu)，工作臺(tái)裝有光柵尺，可直接測(cè)量工作臺(tái)的直線位移，將信號(hào)反饋給伺服電機(jī)。

圖5 重型數(shù)控車床橫向進(jìn)給系統(tǒng)及測(cè)量裝置

測(cè)試裝置如圖5所示，實(shí)驗(yàn)中所使用的儀器有：英國(guó)Renishaw XL激光干涉系統(tǒng)測(cè)試軟件一套；XL-80激光器；三腳架；XC-80環(huán)境補(bǔ)償裝置；線性測(cè)量鏡組；用于將鏡組安裝到待測(cè)平臺(tái)上的安裝組件；筆記本電腦一臺(tái)。

5.2 臨界爬行速度測(cè)試結(jié)果

測(cè)試過(guò)程中令機(jī)床主軸停止轉(zhuǎn)動(dòng)，橫向進(jìn)給系統(tǒng)空載運(yùn)行。由于所測(cè)試的橫向進(jìn)給系統(tǒng)的行程為1 000 mm，為了測(cè)量工作臺(tái)在不同位置處的臨界爬行速度，本次測(cè)試共取了8個(gè)測(cè)點(diǎn)，如圖6所示。

利用圖5中的實(shí)驗(yàn)測(cè)量裝置，通過(guò)反復(fù)多次測(cè)量取平均值，得到了在各個(gè)測(cè)點(diǎn)處工作臺(tái)發(fā)生臨界爬行運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度值，具體數(shù)據(jù)列于表3中。并且圖7給出了工作臺(tái)位置與臨界爬行速度的關(guān)系曲線。

圖6 測(cè)點(diǎn)布置圖

表3 臨界爬行速度測(cè)量數(shù)據(jù)

圖7 臨界爬行速度測(cè)點(diǎn)及其擬合曲線

5.3 辨識(shí)結(jié)果及誤差分析

根據(jù)圖7中的四次擬合曲線的數(shù)據(jù)，采用變尺度法辨識(shí)得到圖5中進(jìn)給系統(tǒng)的絲杠直徑、導(dǎo)程及斜齒輪法向模數(shù)等結(jié)構(gòu)參數(shù)如表4所示。表中理論值為廠家提供。

表4 辨識(shí)結(jié)果及相對(duì)誤差

從表4中可以看出，絲杠軸和絲杠長(zhǎng)度的辨識(shí)精度最低，誤差分別達(dá)到10%和9.5%。其原因可能在于：①圖5所示的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，力學(xué)模型建立過(guò)程中存在簡(jiǎn)化，導(dǎo)致辨識(shí)精度變低。②由于實(shí)驗(yàn)條件限制，該進(jìn)給系統(tǒng)臨界爬行速度點(diǎn)測(cè)量較少，經(jīng)四次曲線擬合后，一定程度上引入數(shù)據(jù)誤差；③多參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題在一定程度上也受到初值的影響，初值的合理選取待進(jìn)一步研究。

但總體來(lái)看，該方法對(duì)于其它結(jié)構(gòu)參數(shù)的辨識(shí)可以給出較為滿意的辨識(shí)結(jié)果，其中斜齒輪的螺旋角辨識(shí)精度最高。

6 結(jié) 論

本文針對(duì)伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠的進(jìn)給系統(tǒng)，將其簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)力學(xué)模型，借助臨界爬行速度計(jì)算公式，建立了進(jìn)給系統(tǒng)臨界爬行速度與其結(jié)構(gòu)參數(shù)間的非線性函數(shù)關(guān)系，結(jié)合無(wú)約束優(yōu)化理論中的變尺度法，提出了利用臨界爬行速度辨識(shí)進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)的理論及算法。通過(guò)對(duì)直聯(lián)式進(jìn)給系統(tǒng)的數(shù)值仿真及某重型數(shù)控車床的橫向進(jìn)給系統(tǒng)的工況試驗(yàn)，結(jié)果均驗(yàn)證了該方法的可行性和準(zhǔn)確性。本文工作為進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)及優(yōu)化的相關(guān)研究提供了理論和實(shí)驗(yàn)參考。

[1] Brian Armstrong-Hélouvry.Control of Machines with Friction [M].New York: Kluwer，1991.

[2] 吳子英，劉宏昭，劉麗蘭.考慮摩擦影響的重型車床橫向進(jìn)給伺服系統(tǒng)建模與分析[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2012，48(7): 86-93.

WU Zi-ying，LIU Hong-zhao，LIU Li-lan.Modeling and analysis of cross feed servo system of heavy duty lathe subjected to friction [J].Journal of Mechanical Engineerin，2012，48(7): 86-93.

[3] Naso D，Cupertino F，Turchiano B.NPID and adaptive approximation control of motion systems with friction [J].IEEE Transactions on Control Systems Technology，2012，20(1): 214-222.

[4] 戴曙.金屬切削機(jī)床[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2000.

[5] 《中國(guó)機(jī)械工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)匯編/齒輪與齒輪傳動(dòng)卷(上)》[M].中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2005，北京.

[6] 尹宜勇，祝莉平，賈志新，等.雙絲杠與直線導(dǎo)軌結(jié)合部靜剛度分析[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2012，43(6): 202-206.

YIN Yi-yong，ZHU Li-ping，JIA Zhi-xin，et al.Static stiffness analysis of joint of double screw and linear guides[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2012，43(6): 202-206.

[7] Varanasi K K，Nayfeh S A.The dynamics of lead-screw drives: low-order modeling and experiments[J].Transactions of ASME Journal of Dynamic Systems，Measurement，and control，2004，126(2): 388-395.

[8] 丹尼斯(美).等著.無(wú)約束最優(yōu)化與非線性方程的數(shù)值方法 [M].北京：科學(xué)出版社，2009.