ρ-混合隨機變量序列加權(quán)和的完全收斂性質(zhì)

譚希麗,王 淼

(北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,吉林 吉林 132013)

ρ-混合隨機變量序列加權(quán)和的完全收斂性質(zhì)

譚希麗,王 淼

(北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,吉林 吉林 132013)

應(yīng)用ρ-混合隨機變量序列截斷法、 H?lder不等式、 Markov不等式、 Jensen不等式、 Cr不等式及ρ-混合隨機變量的Rosenthal型矩不等式,考察在沒有同分布假設(shè)條件下,ρ-混合隨機變量序列加權(quán)和的完全收斂性質(zhì),并利用Borel-Cantelli引理,給出ρ-混合隨機變量序列加權(quán)和的Marcinkiewicz-Zygmund型強大數(shù)定律.

ρ-混合隨機變量序列; 完全收斂性質(zhì); Marcinkiewicz-Zygmund型強大數(shù)定律

0 引 言

許多基于隨機樣本的線性統(tǒng)計量都是獨立同分布隨機變量的加權(quán)和,如最小二乘估計和非參數(shù)回歸函數(shù)估計等.目前,對這些加權(quán)和的強極限定理研究在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中已取得了很大進展.本文進一步研究ρ-混合隨機變量序列加權(quán)和的完全收斂性質(zhì).

設(shè){Xn,n≥1}是定義在概率空間(Ω,F,P)的一個隨機變量序列,記FS=σ(Xi,i∈S?).在F中給定σ域B,R.令

定義1[1]如果存在k∈,使得則稱隨機變量序列{Xn,n≥1}是混合隨機變量序列.

定義2[2]如果

ρ-(s)=sup{ρ-(S,T):S,T?,dist(S,T)≥s}→0 (s→∞),

其中

C為單調(diào)不減函數(shù)類.則稱{Xn,n≥1}是ρ-混合隨機變量序列.

1 主要結(jié)果

定義3若存在一個正常數(shù)C,使得對任意x≥0,且n≥1,有

P(|Xn|>x)≤CP(|X|>x),

則稱隨機變量序列{Xn,n≥1}被隨機變量X隨機控制,記作{Xn}X.

定理1設(shè){Xn,n≥1}是一個ρ-混合隨機變量序列,X是一個隨機變量,滿足{Xn}X,且{ani,i≥1,n≥1}是一個常數(shù)陣列.若滿足如下兩個條件:

則對任意ε>0,有

其中bn=n1/αlog1/γn,γ>0.

定理2設(shè){Xn,n≥1}是一個ρ-混合隨機變量序列,X是一個隨機變量,滿足{Xn}X,且{ani,i≥1,n≥1}是一個常數(shù)陣列.假設(shè)存在0<α≤2,使得并進一步假設(shè)當(dāng)1<α≤2時,EXn=0.若存在某個β>1+2α,使得E<∞.則對任意ε>0,有

其中bn=n1/αlog1/γn,γ>0.

定理3設(shè){Xn,n≥1}是一個ρ-混合隨機變量序列,X是一個隨機變量,滿足{Xn}X,且{an,n≥1}是一個常數(shù)序列.假設(shè)存在0<α≤2,使得并進一步假設(shè)當(dāng)1<α≤2時,EXn=0.若存在某個β>1+2α,使得E<∞.則對任意ε>0,有

及

引理1[10]設(shè){Xn,n≥1}是一個隨機變量序列,X是一個隨機變量,{Xn}X,對任意的α>0,b>0,下列兩式成立:

引理3[11]設(shè){Xn,n≥1}是ρ-混合隨機變量序列,f(x)為定義在不相交子集上單調(diào)遞增的函數(shù),則{f(Xn),n≥1}仍為ρ-混合隨機變量序列,且混合系數(shù)不大于原來的混合系數(shù).

下面證明定理1.設(shè)

易證對任意ε>0,有

?

從而可得

先證明

（6）

（7）

因此,當(dāng)1<α≤2時,由EXn=0,得

EXnI(|Xn|≤bn)=-EXnI(|Xn|>bn).

由引理1、 式(7)中令k=1、 Markov不等式和定理1中條件(2),可得

因此當(dāng)1<α≤2時,式(6)成立.當(dāng)0<α≤1時,由引理1、 引理2、 Markov不等式以及定理1中條件(2)且0<δ<1,有

由此得當(dāng)0<α≤1時,式(6)成立,進而結(jié)合式(8)和式(9)知當(dāng)0<α≤2時,式(6)成立.從而當(dāng)n無窮大時,

為了證明式(1),只需證

及

由隨機控制定義、 Markov不等式和定理1中條件(2),有

再由Cr不等式、 引理1、 引理2和Jensen不等式,類似于式(13)的證明,有

由式(12)～(14)可證明定理1成立.

定理2的證明類似于證明定理1的方法,故略.定理3的證明與文獻[13]中定理2.3的證明類似,故略.

[1]Moore C C.The Degree of Randomness in a Stationary Time Series [J].Ann Math Statist,1963,34(4): 1253-1258.

[2]ZHANG Lixin,WANG Xiuyun.Convergence Rates in the Strong Laws of Asymptotically Negatively Associated Random Fields [J].Appl Math J Chinese Univ: Ser B,1999,14(4): 404-416.

[3]Bradley R C.On the Spectral Density and Asymptotic Normality of Weakly Dependent Random Fields [J].J Theoret Probab,1992,5(2): 355-373.

[4]ZHANG Lixin.A Functional Central Limit Theorem for Asymptotically Negatively Dependent Random Fields [J].Acta Math Hungar,2000,86(3): 237-259.

[5]ZHANG Lixin.Central Limit Theorems for Asymptotically Negatively Associated Random Fields [J].Acta Math Sin: Engl Ser,2000,16(4): 691-710.

[6]胡志才,賈秀利,王振華.行ρ-混合陣列加權(quán)和最大值的完全收斂性 [J].吉林大學(xué)學(xué)報: 理學(xué)版,2014,52(1): 51-55.(HU Zhicai,JIA Xiuli,WANG Zhenhua.Complete Convergence for Weighted Sums of Arrays of Rowwiseρ--Mixing Random Variables [J].Journal of Jilin University: Science Edition,2014,52(1): 51-55.)

[7]Sung S H.On the Strong Convergence for Weighted Sums of Random Variables [J].Statist Papers,2011,52(2): 447-454.

[8]ZHOU Xingcai,TAN Changchun,LIN Jinguan.On the Strong Laws for Weighted Sums ofρ*-Mixing Random Variables [J/OL].J Inequal Appl,2011,doi: 10.1155/157816.

[9]Sung S H.On the Strong Convergence for Weighted Sums ofρ*-Mixing Random Variables [J].Statist Papers,2013,54(3): 773-781.

[10]吳群英.混合序列的概率極限理論 [M].北京: 科學(xué)出版社,2006.(WU Qunying.Probability Limit Theory of Mixing Sequences [M].Beijing: Science Press,2006.)

[11]Esary J D,Proschan F,Walkup D W.Association of Random Variables with Applications [J].Ann Math Statist,1967,38: 1466-1474.

[12]WANG Jiangfeng,LU Fengbin.Inequalities of Maximum of Partial Sums and Weak Convergence for a Class of Weak Dependent Random Variable [J].Acta Math Sin: Engl Ser,2006,22(3): 693-700.

(責(zé)任編輯： 趙立芹)

StrongConvergenceResultsforWeightedSumsofρ--MixingRandomVariablesSequence

TAN Xili,WANG Miao
(CollegeofMathematicsandStatistics,BeihuaUniversity,Jilin132013,JilinProvince,China)

The authors studied the complete convergence for weighted sums ofρ--mixing random variables sequence without assumption of identical distribution via truncation method forρ--mixing random variables sequence,H?lder inequality,Markov inequality,Jensen inequality,Cr inequality,moment inequality and Rosenthal inequality.As an example of application,we further extended the Marcinkiewicz-Zygmund type strong law of large numbers for weighted sums ofρ--mixing random variables sequence with the aid of Borel-Cantelli lemma.

ρ--mixing random variables sequence; complete convergence; Marcinkiewicz-Zygmund type strong law of large numbers

2014-01-15.

譚希麗(1974—),女,漢族,博士,副教授,從事概率極限理論的研究,E-mail: tanxl0832@sina.com.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號: 11171003).

O211.4

A

1671-5489(2014)05-0927-06