φ-混合序列部分和乘積的精確漸近性

鄒 廣 玉

(長(zhǎng)春工程學(xué)院 理學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

φ-混合序列部分和乘積的精確漸近性

鄒 廣 玉

(長(zhǎng)春工程學(xué)院 理學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

利用關(guān)于φ-混合序列部分和乘積漸近分布的結(jié)果,對(duì)一般的邊界函數(shù)和擬權(quán)函數(shù)獲得了φ-混合序列部分和乘積的精確漸近性的一般形式.

φ-混合序列; 部分和乘積; 精確漸近性

0 引言及主要結(jié)果

目前,對(duì)部分和乘積極限性質(zhì)的研究已取得了許多結(jié)果,如獨(dú)立及相依隨機(jī)變量列部分和乘積的漸近分布、 幾乎處處中心極限定理和重對(duì)數(shù)律等[1-6].但關(guān)于部分和乘積精確漸近性的研究結(jié)果報(bào)道較少,張勇等[7]給出了線性負(fù)(正)象限相依(LNQD(LPQD))序列部分和乘積的精確漸近性,本文討論φ-混合序列部分和乘積的精確漸近性質(zhì).

文獻(xiàn)[8]證明了φ-混合序列部分和乘積的中心極限定理,本文在此基礎(chǔ)上得到了φ-混合序列部分和乘積精確漸近性的一般形式.

假設(shè)下列條件成立:

(H1)g(x)為[n0,∞)上具有非負(fù)導(dǎo)數(shù)g′(x)可導(dǎo)的正函數(shù),且滿足g(x)↑∞,x→∞;

本文主要結(jié)果如下:

其中N為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量.

注2滿足假設(shè)條件(H1)～(H3)的g(x)有很多,如g(x)=xα,(logx)β,(log logx)γ,其中α>0,β>0,γ>0為某些適當(dāng)?shù)膮?shù).

1 定理的證明

1.1定理1的證明

令b(ε)=[g-1(ε-r)],其中:g-1(x)為g(x)的反函數(shù);r>1/s.定理1的證明可以由以下幾個(gè)命題推得.

命題1在定理1的條件下,有:

證明: 只證明式(4)成立,式(5)的證明與式(4)完全類似.由積分和級(jí)數(shù)之間的關(guān)系,如果φ(y)單調(diào)非增,則φ(y)P{N ≥εgs(y)}也單調(diào)非增,從而有

進(jìn)一步有

因此

又由式(6)知

最后令δ↓0可得

為簡(jiǎn)便,下面省略了φ(x)的討論過(guò)程(討論過(guò)程與命題1類似).

命題2在定理1的條件下,有:

證明: 只證式(8),式(7)可由式(8)推得.由引理1知

命題3在定理1的條件下,有:

證明: 只需證明式(10)成立,由式(10)可直接推得式(9)成立.由于當(dāng)n>b(ε)時(shí)有εgs(n)>ε1-rs.利用L’Hospital法則,并注意到r>1/s,類似命題1的證明,有

命題4在定理1的條件下,有:

證明: 由式(12)可直接推得式(11)成立,因此只需證明式(12)成立即可.由于當(dāng)n>b(ε)時(shí)有εgs(n)>ε1-rs.因此,要證明式(12)成立,只需證明下式成立即可:

由于對(duì)任意的x>-1,都有l(wèi)og(1+x)≤x.因此要證明式(13),只需證明下式成立即可:

從而命題4成立.

由命題1～命題4及三角不等式可證得定理1成立.

1.2定理2的證明

令d(ε)=[g-1(Mε-1/s)],其中:g-1(x)為g(x)的反函數(shù);M≥1.定理2的證明可由以下幾個(gè)命題推得.

命題5在定理2的條件下,有

證明: 先考慮積分和級(jí)數(shù)之間的關(guān)系.如果ρ(y)單調(diào)非增,則ρ(y)P{N ≥εgs(y)}也單調(diào)非增,從而有

進(jìn)一步有

為簡(jiǎn)便,下面省略了ρ(y)的討論過(guò)程(討論過(guò)程與命題5類似).

命題6在定理2的條件下,有

證明: 由引理1及假設(shè)條件(H1)和(H2),與命題2的證明類似可得.

命題7在定理2的條件下,有

證明: 由命題5的證明過(guò)程知

從而

命題8在定理2的條件下,有

證明: 要證明式(14),只需證明下式成立即可:

注意到對(duì)任意的x>-1,都有l(wèi)og(1+x)≤x.因此要證明式(15),只需證明下式成立即可:

從而命題8成立.

由命題5～命題8及三角不等式可證得定理2成立.

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(責(zé)任編輯： 趙立芹)

PreciseAsymptoticsforProductofPartialSumsofφ-MixingSequences

ZOU Guangyu
(CollegeofSicence,ChangchunInstituteofTechnology,Changchun130012,China)

Using the asymptotic distribution of the product of partial sums ofφ-mixing,the author obtained a more general boundary function and weighted function on precise asymptotics for the product of partial sums ofφ-mixing sequences.

φ-mixing sequence; products of partial sums; precise asymptotics

2013-11-12.

鄒廣玉(1982—),男,漢族,博士,講師,從事概率極限理論的研究,E-mail: jingyang999@126.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào): 11101180)、 吉林省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)： 120120113)和長(zhǎng)春工程學(xué)院青年基金(批準(zhǔn)號(hào)： 320130019).

O211.4

A

1671-5489(2014)05-0921-06