一類非本原代換誘導(dǎo)的超空間系統(tǒng)

汪 威, 李 健, 朱曉剛, 廖夢蘭, 李俊杰

(1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院, 長春 130118； 2.長春工程技術(shù)學(xué)院, 長春 130117；3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所, 長春 130012)

研究簡報

一類非本原代換誘導(dǎo)的超空間系統(tǒng)

汪 威1, 李 健1, 朱曉剛2, 廖夢蘭3, 李俊杰1

(1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院, 長春 130118； 2.長春工程技術(shù)學(xué)院, 長春 130117；
3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所, 長春 130012)

考慮具有兩個符號等長的非本原代換誘導(dǎo)的超空間系統(tǒng)的Li-Yorke混沌性, 利用該代換系統(tǒng)存在Li-Yorke混沌集的條件, 進(jìn)一步得出了其誘導(dǎo)的超空間系統(tǒng)存在Li-Yorke混沌集和不存在Li-Yorke混沌集的條件.

非本原代換; 超空間系統(tǒng); Li-Yorke混沌

0 引 言

混沌性在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛, 如玉米產(chǎn)量的預(yù)測、小麥病蟲害預(yù)報及灌區(qū)水資源優(yōu)化等.關(guān)于代換系統(tǒng)的混沌性研究目前已有一些成果, 如文獻(xiàn)[1]討論了具有兩個符號本原代換誘導(dǎo)的子移位的Li-Yorke混沌性態(tài)及不存在分布混沌對的性質(zhì); 文獻(xiàn)[2]給出了一類非本原等長代換誘導(dǎo)的子移位的混沌性; 文獻(xiàn)[3]探討了非本原非等長代換的混沌性; 文獻(xiàn)[4]給出了一類代換系統(tǒng)是Li-Yorke混沌的充要條件及不是分布混沌的一個充分條件.本文研究由兩個符號非本原等長代換誘導(dǎo)的子移位的超空間系統(tǒng)的混沌性態(tài).

設(shè)(X,f)為緊致系統(tǒng),d是X的一個拓?fù)涠攘? 如果Y?X中任何不同兩點(diǎn)x,y都滿足:

則稱Y為f的Li-York混沌集.

文獻(xiàn)[5-6]給出了一些動力性質(zhì)在緊致系統(tǒng)及其誘導(dǎo)的超空間系統(tǒng)上的等價關(guān)系.本文涉及的有關(guān)超空間系統(tǒng)的定義及記號參見文獻(xiàn)[7].

設(shè)(X,J)是一個拓?fù)淇臻g,P(x)表示X的所有非空子集構(gòu)成的集合,G1,G2,…,Gn是X的n個非空開集, 令

則所有形如B(G1,G2,…,Gn)的集合構(gòu)成了空間P(x)某個拓?fù)涞幕? 該拓?fù)浞Q為Vietoris拓?fù)?該拓?fù)淇臻g記作(P(X),Jv), 也稱為(X,J)的超空間.本文主要考察空間(X,J)的閉集類, 即K(X)={K∈P(X);K是X的非空緊子集}.

設(shè)(X,d)為緊致度量空間.對任意的A,B∈K(X), 令ρ*(A,B)=inf{ε>0:A?N(B,ε)}, 稱為集合A,B的Hausdorff分離.其中N(B,ε)={x∈X;d(x,A)<ε}.H(A,B)=max{ρ*(A,B),ρ*(B,A)}稱為K(X)上的Hausdorff度量.

1 非本原代換

定義1設(shè)η為符號空間Σ2上的等長代換, 定義為η(0)=a=a0a1…an-1,η(1)=b=b0b1…bn-1, 且滿足條件: 1)a0=0; 2) 存在i>0, 使得ai=1.則η在Σ2中有一個以0開頭的不動點(diǎn), 記作u.

定義2如果0η(1), 即η(1)包含0, 則稱η是本原的; 否則稱η是非本原的.

下面假設(shè)f是由等長代換η誘導(dǎo)的代換子移位, 并且假設(shè)：

(H1) 存在不同的s1,s2,t∈{0,1,…,n-1}, 使得as1≠bs1,as2≠bs2, 并且at=bt.

引理1[8]設(shè)η是非本原代換, 則有如下結(jié)論:

1) 若η滿足條件(H1), 則其誘導(dǎo)映射f有c稠密的Li-Yorke混沌集；

2) 若η不滿足條件(H1), 則其誘導(dǎo)映射f沒有Li-Yorke混沌集.

2 存在Li-Yorke混沌集的條件

證明: 由引理1中1)可知,η滿足條件(H1), 則η存在Li-Yorke混沌集S?Xη, 使得對任意的x,y∈S, 都有

而{{x},{y}}?K(Xη), 則

ρ*({x},{y})=ρ(x,y),ρ*({y},{x})=ρ(y,x),

對應(yīng)的Hausdorff度量為

H({x},{y})=max{ρ*({x},{y}),ρ*({y},{x})}=ρ(x,y).

于是, 對上述{x},{y}, 有

3 不存在Li-Yorke混沌集的條件

證明: 根據(jù)定義1,η滿足條件a0=0.若η不滿足條件(H1), 則對任意的i>0, 都有ai=1,η存在一個以0開頭的不動點(diǎn), 記為u=011…, 并且按照Xη的定義, 在Xη中只有兩個點(diǎn), 即v=111…和不動點(diǎn)u=011….因而, 集合K(Xη)是有限集, 即K(Xη)={{u},{v},{u,v}}.

[1]廖公夫, 范欽杰, 王立冬.一類本原代換與混沌集 [J].中國科學(xué)A輯: 數(shù)學(xué), 2008, 38(4)： 469-476.(LIAO Gongfu, FAN Qinjie, WANG Lidong.A Class of Primitive Substitutions and Chaotic Sets [J].Science China Series A: Mathematics, 2008, 38(4)： 469-476.)

[2]廖公夫, 汪威, 范欽杰.一類非本原代換與混沌 [J].數(shù)學(xué)年刊, 2009, 30A(2)： 183-188.(LIAO Gongfu, WANG Wei, FAN Qinjie.A Class of Non-primitive Substitutions and Chaos [J].Chinese Annals of Mathematics, 2009, 30A(2): 183-188.)

[3]楚振艷, 廖麗.一類非本原代換系統(tǒng)的拓?fù)潇嘏c混沌 [J].吉林大學(xué)學(xué)報: 理學(xué)版, 2011, 49(6)： 1053-1054.(CHU Zhenyan, LIAO Li.Topological Entropy and Chaos for a Class of Non-primitive Substitution Systems [J].Journal of Jilin University: Science Edition, 2011, 49(6)： 1053-1054.)

[4]王宏仁, 廖麗, 范欽杰.一類非本原代換系統(tǒng)的混沌性態(tài) [J].吉林大學(xué)學(xué)報: 理學(xué)版, 2011, 49(2): 240-242.(WANG Hongren, LIAO Li, FAN Qinjie.Chaotic Behaviors for a Class of Non-primitive Substitution Systems [J].Journal of Jilin University: Science Edition, 2011, 49(2): 240-242.)

[5]馬先鋒.一類超空間上的離散動力系統(tǒng) [D].長春: 吉林大學(xué), 2006.(MA Xianfeng.Discrete Dynamical Systems for Some Hyperspaces [D].Changchun: Jilin University, 2006.)

[6]MA Xianfeng, HOU Bingzhe, LIAO Gongfu.Chaos in Hyperspace System [J].Chaos Solitons Fractals, 2009, 40(2): 653-660.

[7]Klein E, Thompson A.Theory of Correspondences [M].New York: Wiley-Inter-Science, 1984.

[8]廖公夫, 王立冬, 范欽杰.映射迭代與混沌動力系統(tǒng) [M].北京： 科學(xué)出版社, 2013.(LIAO Gongfu, WANG Lidong, FAN Qinjie.Mapping Iteration and Chaotic Dynamical System [M].Beijing: Science Press, 2013.)

HyperspaceSystemInducedbyaClassofNon-primitiveSubstitution

WANG Wei1, LI Jian1, ZHU Xiaogang2, LIAO Menglan3, LI Junjie1
(1.CollegeofInformationTechnology,JilinAgriculturalUniversity,Changchun130118,China;
2.InstituteofChangchunEngineeringTechnology,Changchun130117,China;
3.InstituteofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

We discussed Li-Yorke chaotic properties for hyperspace systems induced by non-primitive substitutions on two symbols.With the help of the conditions of containing Li-Yorke chaotic sets in the substitution system, we obtained the conditions for the hyperspace systems to contain Li-Yorke chaotic sets and not to contain Li-Yorke chaotic sets.

non-primitive substitution; hyperspace system; Li-Yorke chaos

2014-07-02.

汪 威(1981—), 女, 漢族, 博士, 講師, 從事拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的研究, E-mail: maggie0403@126.com.

吉林省科技發(fā)展計劃項目(批準(zhǔn)號： 20140204045NY; 20130522110JH)、吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項目(批準(zhǔn)號： 吉教科合字[2014]第468號)和吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)科研啟動基金(批準(zhǔn)號： 201310).

O189

A

1671-5489(2014)06-1219-03

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.22

趙立芹)