賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間的H點(diǎn)

王宏志, 段麗芬, 左明霞

(1.通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 通化 134002； 2.哈爾濱理工大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院, 哈爾濱 150080)

賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間的H點(diǎn)

王宏志1, 段麗芬1, 左明霞2

(1.通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 通化 134002； 2.哈爾濱理工大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院, 哈爾濱 150080)

利用賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz空間的結(jié)構(gòu)特點(diǎn), 借鑒經(jīng)典Orlicz空間中H點(diǎn)的論證, 給出賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間H點(diǎn)的判據(jù), 并得到了賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間具有H性質(zhì)的一個(gè)充要條件.

廣義Orlicz范數(shù)； Orlicz函數(shù)空間； H點(diǎn)； H性質(zhì)

H點(diǎn)和H性質(zhì)是Banach空間幾何學(xué)的重要概念, 在概率論、控制論和逼近論等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-3].目前, 關(guān)于Banach空間H點(diǎn)和H性質(zhì)的討論已有很多結(jié)果[4-7].本文研究賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間的H點(diǎn), 得到了賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間H點(diǎn)的判據(jù), 并獲得了賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間具有H性質(zhì)的條件.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是一個(gè)Banach空間,X′表示其共軛空間,S(X)表示X的單位球面.

及其閉子空間

關(guān)于Orlicz范數(shù):

Luxemburg范數(shù):

及廣義Orlicz范數(shù)：

均成為Banach空間, 簡(jiǎn)記為

2 主要結(jié)果

證明: 由文獻(xiàn)[8]中定理1.41和文獻(xiàn)[9]中定理1可得.

引理2設(shè)M是N-函數(shù), 1

且kn→∞, 則:

證明: 1) 任給σ>0, 取Gn={t∈G: |xn(t)|≥σ}, 則

再由ε的任意性, 可得v(xn)→0(n→∞).證畢.

引理3設(shè)M是N-函數(shù), 1

則:

證明: 1) 由引理2可知,k0=sup{kn:n=1,2,…}<∞.因?yàn)閷?duì)一切正整數(shù)n,m, 都有

其中Gn(m)={t∈G: |knxn(t)|≥m}, 所以結(jié)論1)成立.

2) 若不然, 則存在δ>0及En?G(n=1,2,…), 使得

ρM(knxnχEn)≥δ>0,μEn<2-n(n=1,2,…).

取正整數(shù)m, 使得

矛盾.

引理4設(shè)M是嚴(yán)格凸的N-函數(shù), 1

證明: 若不然, 不妨設(shè)對(duì)一切正整數(shù)n, 有

μ{t∈G: |knxn(t)-k0x0(t)|≥σ0}≥ε0,

Gn={t∈G: |knxn(t)|≤D; |k0x0(t)|≤D; |knxn(t)-k0x0(t)|≥σ0} (n=1,2,…),

M(αu+(1-α)v)≤(1-δ)[αM(u)+(1-α)M(v)].

利用Minkowsky不等式即得

這與‖xn+x0‖M,p→2(n→∞)矛盾.證畢.

定理1設(shè)M是N-函數(shù), 則對(duì)任何1

SM={u∈+: ?ε>0, 2M(u)

證明: 必要性.由文獻(xiàn)[10]中定理2.1、定理2.3及文獻(xiàn)[9]中定理4可直接得到.

充分性.設(shè)M∈Δ2,x0∈S(LM,p)且μ{t∈G:k0x0(t)∈SM}=0, 需證對(duì)任何都有‖xn-x0‖M,p→0(n→∞).由引理2, 只需證明且kn→k0(n→∞), 其中kn滿足

設(shè){[ai,bi]}i表示M的所有構(gòu)造仿射區(qū)間, 令

H={t∈G:k0x0(t)∈[ai,bi]}.

G(i)={t∈G:k0x0(t)=ai},G′(i)={t∈G:k0x0(t)=bi}.

利用Jensen不等式, 可得

不妨設(shè)對(duì)一切正整數(shù)i,j, 都有G(i)∩G′(j)=?, 于是

由文獻(xiàn)[9]中定理4、定理5和定理1可得:

定理2設(shè)M是N-函數(shù), 則對(duì)任何1

[1]Diestel J.Geometry of Functional Analysis-Selected Topics [M].Berlin: Springer-Verlag, 1975.

[2]Krasnoselskii M A, Rutickii Y B.Convex Function and Orlicz Spaces [M].Groningen: P Noordhoff Ltd, 1961.

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[10]叢瀅伊.廣義Orlicz空間的H性質(zhì) [D].哈爾濱： 哈爾濱理工大學(xué), 2012.(CONG Yingyi.H-Property of Generalized Orlicz Spaces [D].Harbin: Harbin University of Science and Technology, 2012.)

H-PointsinOrliczFunctionSpacesEndowedwiththeGeneralizedOrliczNorm

WANG Hongzhi1, DUAN Lifen1, ZUO Mingxia2
(1.CollegeofMathematics,TonghuaTeachersUniversity,Tonghua134002,JilinProvince,China;
2.CollegeofAppliedSciences,HarbinUniversityofScienceandTechnology,Harbin150080,China)

Based on the structural characteristics of the Orlicz function spaces endowed with the generalized Orlicz norm and the expositions of H-points in classical Orlicz spaces, the criteria of H-points in Orlicz function spaces endowed with the generalized Orlicz norm were presented.As its application, both sufficient and necessary conditions for H-property of these spaces were obtained.

generalized Orlicz norm; Orlicz function space; H-point; H-property

2014-02-20.

王宏志(1975—), 男, 漢族, 碩士, 副教授, 從事Banach空間幾何理論的研究, E-mail: whz-98@126.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)： 11226127)和吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)： 吉教科合字[2011]第456號(hào)； 吉教科合字[2014]第400號(hào)).

O177.3

A

1671-5489(2014)06-1181-05

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.14

趙立芹)