α-穩(wěn)定噪聲驅(qū)動隨機(jī)Cahn-Hilliard方程解的存在唯一性

賈秀利, 關(guān)麗紅, 閆 龍

(1.吉林工商學(xué)院 基礎(chǔ)部, 長春 130062; 2.長春大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022,3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所, 長春 130012)

α-穩(wěn)定噪聲驅(qū)動隨機(jī)Cahn-Hilliard方程解的存在唯一性

賈秀利1, 關(guān)麗紅2, 閆 龍3

(1.吉林工商學(xué)院 基礎(chǔ)部, 長春 130062; 2.長春大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022,
3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所, 長春 130012)

利用壓縮映射原理研究α-穩(wěn)定噪聲驅(qū)動的隨機(jī)Cahn-Hilliard方程, 得到了該方程解的存在唯一性.

α-穩(wěn)定噪聲; 隨機(jī)Cahn-Hilliard方程; 存在唯一性

0 引 言

Cahn-Hilliard方程[1]可模擬材料科學(xué)中二元合金相位分離的過程, 又稱調(diào)幅分解.即二元合金的溫度從T0淬火到臨界溫度Tc以下后, 二元合金分離成單質(zhì)的過程.當(dāng)該過程受到熱干擾時(shí), Prato等[2]研究了布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)Cahn-Hilliard方程, 給出了該方程解的性質(zhì); 文獻(xiàn)[3-4]給出了該類方程解分布密度函數(shù)的性質(zhì).

近年來, Lévy噪聲驅(qū)動的隨機(jī)微分方程受到研究者的廣泛關(guān)注[5-9].α-穩(wěn)定噪聲是一種特殊的Lévy噪聲, 它能夠展現(xiàn)重尾現(xiàn)象, 使得研究α-穩(wěn)定噪聲驅(qū)動的隨機(jī)微分方程很有意義[10-12].考慮下述α-穩(wěn)定噪聲驅(qū)動的隨機(jī)Cahn-Hilliard方程:

方程(1)滿足初值條件u(0,·)=u0和齊次Neumann邊值條件:

其中:T>0;D=[0,π]d;Lt是α-穩(wěn)定噪聲.α-穩(wěn)定噪聲驅(qū)動的隨機(jī)Cahn-Hilliard方程描述材料科學(xué)中二元合金相位分離的過程, 其中:u表示二元合金相位分離率; 隨機(jī)項(xiàng)Lt表示熱擾動; Δu+f(u)表示化學(xué)勢;f是首項(xiàng)系數(shù)為正的3次多項(xiàng)式,f的標(biāo)準(zhǔn)形式是3次多項(xiàng)式f(u)=u-u3; Neumann邊值條件表示質(zhì)量守恒和相位分離過程中與外部環(huán)境沒有熱交換.

方程(1)可用下列積分方程的形式表示[13]:

本文給出方程(1)解的存在唯一性.

1 預(yù)備知識

令H為實(shí)可分的Hilbert空間, 其內(nèi)積為〈·,·〉0, H內(nèi)的范數(shù)為‖·‖0.對于α∈(0,2), 令St是α/2-穩(wěn)定的隸屬子, 即遞增的一維Lévy過程, 其Laplace變換為

引理1[3]存在C>0和c>0, 1≤a≤3, 對于t∈(0,T],x,y∈D, 如下估計(jì)成立:

2 主要結(jié)果

假設(shè):

(H1)f是一個(gè)主項(xiàng)系數(shù)為正的3次多項(xiàng)式;

(H2) 對于p≥2,

首先截?cái)嗪瘮?shù)f, 使其在空間C([0,T];Lp(D))內(nèi), 當(dāng)p≥3時(shí)是全局Lipschitz連續(xù)的; 其次證明截?cái)喾匠痰慕馊跏諗康皆匠痰慕?

令n>0, 并且定義Ψn: [0,∞)→[0,1]是一個(gè)C1函數(shù), 使得

其中(t,x)∈[0,T]×D.

當(dāng)p>3時(shí), 令H為所有Lp(D)-值Ft適應(yīng)的隨機(jī)過程u(t,·)的空間, 其范數(shù)為‖·‖H,

在空間H上定義非線性算子:

證明: 對于t∈[0,T], 利用引理1、H?lder不等式和文獻(xiàn)[14]中定理3.2, 有

下面證明L(t,x)是H?lder連續(xù)的.對于任意的s,t∈[0,T],x,y∈D,

類似于式(12)的計(jì)算, 可得E‖L1‖p≤C(h)(t-s)(-d/4+d/(4α))p.再注意到

利用式(4),(5), 可得

證明: 先證明當(dāng)T足夠小時(shí), 算子Hn和L是壓縮的.顯然,

（13）

利用Cardon-Weber[3]中第785頁的結(jié)果, 可知

‖Hn(u)(t,·)‖p≤C(n+1)3T1+d/(4r1)-(d+2)/4,

其中1≤r1<∞, 所以

‖Hn(u)(t,·)‖H≤∞.

（14）

另一方面, 由引理2, 對于任意的γ>1, 有

（15）

由式(13)～(15)可知,Hn和L是從H映到自身的映射.

利用Cardon-Weber[3]中第785頁的結(jié)果, 可知

如果CnTβ((2-d)/4+d/(4r1))<1, 則Hn是H上的壓縮映射.因此可得到方程在每個(gè)區(qū)間[0,T]內(nèi)方程(9)解的存在唯一性.再利用Cardon-Weber[3]中第786～794頁的結(jié)果可得方程全局解的存在唯一性.

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ExistenceandUniquenessofSolutionsforStochasticCahn-HilliardEquationsDrivenbyα-StableNoise

JIA Xiuli1, GUAN Lihong2, YAN Long3
(1.DepartmentofBasicCourse,JilinBusinessandTechnologyCollege,Changchun130062,China;
2.CollegeofScience,ChangchunUniversity,Changchun130022,China;
3.InstituteofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

Applying contracting mapping, we studied a class of stochastic Cahn-Hilliard equations driven byα-stable noise, and obtained the existence and uniqueness of solutions for the equations.

α-stable noise; stochastic Cahn-Hilliard equations; existence and uniqueness

2014-04-15.

賈秀利(1973—), 女, 漢族, 碩士, 副教授, 從事微分方程的研究, E-mail: jiaxiaoyi888@126.com.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號: 11171130).

O211.63

A

1671-5489(2014)06-1151-04

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.08

趙立芹)