測度鏈上次線性二階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性*

張申貴

(西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院,甘肅 蘭州 730030)

測度鏈上次線性二階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性*

張申貴

(西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院,甘肅 蘭州 730030)

研究測度鏈上非自治二階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性問題.在非線性項次線性增長時,將這類系統(tǒng)的周期解轉化為定義在一個適當空間上泛函的臨界點,然后利用臨界點理論建立了此類系統(tǒng)周期解的存在性結果.

測度鏈上系統(tǒng)；周期解；次線性；臨界點理論

1 問題的提出

德國學者Hilger在其博士論文中提出了測度鏈分析理論，這種理論將連續(xù)分析和離散分析結合在一起,實現(xiàn)了數(shù)學理論方面的大突破.所謂測度鏈是指實數(shù)集R的任意非空子集，通常用“T”來表示，“T”可以是R、Z、R+、Cantor集、閉區(qū)間的并集等.

測度鏈上動力方程廣泛地應用于生物系統(tǒng)、金融分析、疾病控制等領域中出現(xiàn)的數(shù)學模型.例如，美國學者Peterson和Thomas利用測度鏈上的動力方程彌合了西尼羅河病毒傳播的差分方程模型和微分方程模型之間的空隙，并建立了更為全面和實用的數(shù)學模型.

測度鏈上動力方程的基礎理論可參見文獻[1-2].近年來，許多學者研究了測度鏈上邊值問題解的存在性[3-8]，所用的工具為錐上的不動點定理.從2009年開始,臨界點理論被用來研究測度鏈上邊值問題解的存在性.文獻[9]研究了變號位勢下測度鏈上二階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性；當具有次二次或超二次位勢時，文獻[10-12]得到了測度鏈上二階Hamilton系統(tǒng)周期解存在的充分條件.

考慮測度鏈上二階Hamilton系統(tǒng)

(1)

周期解的存在性.其中：T>0；ρ(t)為后跳躍算子；H(t,u)=DuH(t,u)；[0，T]T表示[0,T]∩T;H:[0,T]T×RN→R滿足對每個x∈RN,H(t,x)關于t可測，對Δ-a.e.t∈[0,T]T,H(t,x)關于x連續(xù)可微，且存在a∈C(R+,R+)，b∈L1([0,T]T;R+)，使得|H(t,x)|≤a(|x|)b(t),|H(t,x)|≤a(|x|)b(t)對所有x∈RN和Δ-a.e.t∈[0,T]T成立.

若T=R,則系統(tǒng)(1)為二階Hamilton系統(tǒng)：

若T=Z,T≥2,則系統(tǒng)(1)為二階離散Hamilton系統(tǒng)：

其中Δu(t)=u(t-1)-u(t),Δ2u(t)=Δ(Δu(t)).

筆者將研究次線性條件下測度鏈上二階Hamilton系統(tǒng)(1)的周期解，利用臨界點理論中的鞍點定理建立系統(tǒng)(1)周期解存在性的新結果.

2 預備知識

定義1 稱實數(shù)集R的任意非空子集為測度鏈(或時間標架)，通常用“T”來表示.

定義2 對于t∈T,定義向前跳躍算子σ:T→T為σ(t)=inf{τ∈T:τ>t},定義向后跳躍算子ρ:T→T為ρ(t)=sup{τ∈T:τt,則稱t是右稀的；若ρ(t)infT且ρ(t)=t,則稱t是左稠的；將既是右稠的,又是左稠的點稱為稠密點.函數(shù)μ:T→[0,+∞)定義為μ(t)=σ(t)-t.

此外,若T有右稀的最小值m,則定義Tκ=T-{m}，否則,Tκ=T.若T有左稀的最大值M,則定義Tκ=T-{M}，否則,Tκ=T.

定義3 假設f:T→R,t∈Tκ.若存在一個實數(shù)θ,使得對于?>0,存在t的一個開領域U,對于所有的s∈U,都有|f(o(t))-f(s)-θ(σ(t)-s)|≤|σ(t)-s|成立,則稱f在t點是Δ-可微的,稱θ為f在t點的Δ-導數(shù),記為θ=fΔ(t).若對于所有的t∈Tκ,f在t點都是Δ-可微的,則稱f在Tκ上是Δ-可微的.

若T=R,則fΔ(t)=f′(t)；若T=Z,則fΔ(t)=Δf(t).

此外,設

‖u‖∞≤C0‖u‖.

(2)

(3)

φ′(u),v=(uΔ(t),vΔ(t))Δt-(H(t,u(t)),v(t))Δt?u,v∈(T).

定義5 設X為Banach空間,若泛函φ∈C1(X,R)滿足對任何點列{un}?X,由{φ(un)}有界,φ′(un)→0蘊含{un}有收斂子列,則稱泛函φ滿足(PS)條件.

3 主要結果及其證明

定理1 設存在f,g∈L1([0,T]T;R+),0<α<1,使得

|H(t,x)|≤f(t)|x|α+g(t),

(4)

對所有x∈RN和Δ-a.e.t∈[0,T]T成立,且滿足

(5)

注1 (4)式表明非線性項H(t,x)關于變量x是次線性增長的.當極限值為+∞時,(5)式為著名的Ahmad-Lazer-Paul型強制性條件.

|φ(un)|≤cφ′(un)→0，n→∞

(6)

由(2),(4)式,有

(7)

由(3),(6),(7)式,有

(8)

由(8)式可得

(9)

由(9)式,并注意到0<α<1,當n→∞時,有

(10)

由(7),(9)式,有

(11)

由(2),(4),(9)式,有

(12)

(13)

由(11),(12),(13)式,有

由0<α<1知,當‖u‖→+∞時,φ(u)→+∞.顯然存在常數(shù)ω,使得φ(u)≥ω.令e=0,則引理1中(ⅰ)成立.

另一方面,對y∈E1=RN,由(5)式,對?ε>0,當‖y‖充分大時,有

令ε充分小,當‖y‖→+∞時,φ(y)→-∞.因此存在正常數(shù)ρ,使得φ|?Bρ∩E1≤ω-1=σ,則引理1中(ⅱ)成立.

[1] MARTIN BOHNER,ALLAN C PETERSON.Dynamic Equations on Time Scales:An Introduction with Applications[M].Boston：Birkh?user,2001.

[2] MARTIN BOHNER,PETERSON A.Advances in Dynamic Equations on Time Scales[M].Boston:Birkh?user,2003.

[3] LI Wantong,SUN Hongrui.Multiple Positive Solutions for Nonlinear Dynamic Systems on a Measure Chain[J].J. Comput. Appl. Math.,2004,162:421-430.

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[5] SUN Jianping,LI Wantong.Existence of Positive Solutions to Semipositone Dirichlet BVPs on Time Scales[J].Dynammics Systems Applications,2007,16:571-578.

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[7] RYNNE B P.L2Spaces and Boundary Value Problems on Time-Scales[J].J. Math. Anal. Appl.,2007,328:1 217-1 236.[8] ZHANG Hongtao,LI Yongkun.Existence of Positive Periodic Solutions for Functional Differential Equations with Impulse Effects on Time Scales[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2009,14(1):19-26.

[9] SU Youhui,LI Wantong.Periodic Solution of Second-Order Hamiltonian Systems with a Change Sign Potential on Time Scales[J].Discrete Dynamics in Nature and Society,2009,13:1-17.

[10] SU Youhui,LI Wantong.Periodic Solution for Non-Autonomous Second Order Hamiltonian Systems on Time Scales[J].Dynamic Systems and Applications,2009,18:621-636.

[11] SU Youhui,FENG Zhaosheng.A Nonautonomous Hamiltonian System on Time Scales[J].Nonlinear Anal.,2012,75(10):4 126-4 136.

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[13] MAWHIN J,WILLEM M.Critical Point Theory and Hamiltonian Systems[M].New York:Springer-Verlag,1989.

[14] LI Yongkun,ZHOU Jianwen.Existence of Solutions for a Class of Damped Vibration Problems on Time Scales[J].Advances in Difference Equations,2010,27：1-27.

(責任編輯 向陽潔)

PeriodicSolutionforSublinearNon-AutonomousSecondOrderHamiltonianSystemsonTimeScales

ZHANG Shengui

(College of Mathematics and Computer Science,Northwest University for Nationalities,Lanzhou 730030,China)

The existence of periodic solutions for non-automous second order Hamiltonian systems on time scales with sublinear nonlinearity is investigated.The periodic solutions of the system are converted into the critical points of a functional defined on a proper space,and the existence of periodic solutions is proved by critical point theory.

Hamiltonian systems on time scales;periodic solution;sublinear;critical point theory

1007-2985(2014)05-0001-05

2014-03-18

國家自然科學基金資助項目(31260098)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資助項目(31920130004)

張申貴(1980—),男,甘肅蘭州人，西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院副教授,主要從事非線性泛函分析研究.

O175.12

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.05.001