考慮球面副間隙的并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型

王庚祥，劉宏昭, 鄧培生

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)因承載能力強(qiáng)、剛度大、精度高等優(yōu)點(diǎn)而成為研究熱點(diǎn)。早期并聯(lián)機(jī)構(gòu)為Stewart[1]平臺。隨并聯(lián)機(jī)構(gòu)與空間機(jī)構(gòu)在航空領(lǐng)域的發(fā)展[2-3]，對精確預(yù)測系統(tǒng)動力學(xué)行為要求愈加迫切，且相關(guān)理論研究不斷發(fā)展。如并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)研究、動力學(xué)研究、奇異位形分析、剛度分析及性能評價[5-9]。但對并聯(lián)機(jī)構(gòu)中關(guān)節(jié)間隙研究相對較少。

運(yùn)動副是構(gòu)成并聯(lián)機(jī)構(gòu)多剛體系統(tǒng)的重要組成部分。由于關(guān)節(jié)元素間的磨損，局部變形、瑕疵及制造誤差會導(dǎo)致運(yùn)動副中存在間隙；而間隙為保證關(guān)節(jié)元素相對運(yùn)動與裝配的必要條件。因此，若運(yùn)動副中不存在間隙將導(dǎo)致機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)鎖死，無法裝配。關(guān)節(jié)中間隙的存在不僅改變運(yùn)動副構(gòu)件間自由度及受力狀態(tài)，且當(dāng)關(guān)節(jié)處于分離狀態(tài)時產(chǎn)生的碰撞與沖擊力將造成磨損加劇，噪聲及振動會導(dǎo)致機(jī)構(gòu)喪失精度，降低使用效率及壽命[9]。

關(guān)節(jié)間隙對機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能影響研究主要集中于平面機(jī)構(gòu)分析[10-15]。但隨空間機(jī)構(gòu)的應(yīng)用廣泛及迅速發(fā)展，對關(guān)節(jié)間隙研究轉(zhuǎn)向空間[9,16-21]。本文考慮球面副間隙，基于連續(xù)接觸模型，將球面副間隙視為剛性無質(zhì)量桿[11,17-18,21]，利用牛頓-歐拉法建立4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)[22]含關(guān)節(jié)間隙的動力學(xué)模型。為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為重型作戰(zhàn)車輛上的導(dǎo)彈發(fā)射跟蹤裝置提供理論依據(jù)，考慮關(guān)節(jié)間隙可改善4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能，提高其控制精度。

1 4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

4-SPS/CU機(jī)構(gòu)模型[22]及坐標(biāo)系建立見圖1。設(shè)驅(qū)動支鏈A1B1與下平臺相連的球面副(鉸點(diǎn)B1)含有間隙。

圖1 4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖

2 含關(guān)節(jié)間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模

運(yùn)動副間隙描述方法有4種，即動量平衡法、接觸變形模型、有限元法及連續(xù)接觸模型[9,23]。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)自身動力學(xué)模型具有強(qiáng)非線性，可避開運(yùn)動副中剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、摩擦系數(shù)及恢復(fù)系數(shù)等物理參數(shù)簡化含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模；由于含間隙關(guān)節(jié)元素分離、碰撞時間較短，可設(shè)運(yùn)動副元素間始終處于連續(xù)接觸狀態(tài)。

2.1 球面副間隙模型

4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動支鏈中含球面副與移動副，而約束從動支鏈中含萬向鉸與圓柱副，而本文只對B1球面副間隙量進(jìn)行研究，由于① 球面副位于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動支鏈上，相比約束支鏈的運(yùn)動副，考慮球面副間隙更能體現(xiàn)關(guān)節(jié)間隙對該并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入、輸出參數(shù)影響；② 為簡化原動力學(xué)模型而未選擇驅(qū)動支鏈與上平臺相連的球面副。因此本文采用連續(xù)接觸模型視球面副間隙[24]為一剛性無質(zhì)量桿-間隙桿。

圖2 球關(guān)節(jié)間隙模型

(1)

(2)

2.2 考慮球面副間隙的并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置方程

由于4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)為無過約束機(jī)構(gòu)，且理想運(yùn)動副下SPS驅(qū)動支鏈[22]為不受約束的6自由度剛體。當(dāng)驅(qū)動支鏈B1鉸點(diǎn)處考慮球面副間隙時，原3個轉(zhuǎn)動自由度的球面副被引入3個移動自由度，即該支鏈在固定坐標(biāo)系OXYZ的螺旋表示為

(3)

式中：p1,q1為下球鉸(SPS支鏈與下平臺連接的球面副)相對坐標(biāo)系OXYZ位置；u1,v1,w1為移動副軸線方向余弦；l1,m1,n1為上球鉸(SPS支鏈與下平臺連接的球面副)相對于坐標(biāo)系OXYZ位置；$1,$2,$3為下球鉸轉(zhuǎn)動自由度螺旋表示；$4為移動副螺旋表示；$5,$6,$7為上球鉸轉(zhuǎn)動自由度螺旋表示；$11,$12,$13為下球鉸考慮間隙新引入3個移動自由度的螺旋表示。

設(shè)式(3)螺旋系反螺旋為

$r=(LrMrNr;PrQrRr)

(4)

基于互易積原理建立方程：

$ij°$r=0, (i=1,2,3,…,7,j=1,2,3)

(5)

對該線性方程求解后得方程無解，該螺旋系無反螺旋，即該含間隙的驅(qū)動支鏈與理想支鏈自由度保持一致。4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)[22]中無論考慮任何球面副含有間隙均不改變該機(jī)構(gòu)上平臺自由度。

(6)

式中：i=1,2,3,4。

考慮球面副間隙的4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比式(6)只有驅(qū)動支鏈l1的位置方程發(fā)生改變，其它支鏈位置方程保持不變。驅(qū)動支鏈l1位置方程為

(7)

2.3 4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)理想運(yùn)動學(xué)方程

(8)

(9)

式中：

2.4 理想4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)分析

為簡化4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型，將驅(qū)動支鏈作整體研究，求驅(qū)動支鏈質(zhì)心位置[25]：

(10)

式中：m1為驅(qū)動桿質(zhì)量；m2為缸體質(zhì)量；m為驅(qū)動支鏈質(zhì)量；lsi為驅(qū)動桿質(zhì)心至動鉸點(diǎn)Ai距離；lmi為缸體質(zhì)心至固定鉸點(diǎn)Bi距離；li為驅(qū)動支鏈總長(隨時間變化)；lci為驅(qū)動支鏈質(zhì)心距固定鉸點(diǎn)Bi距離；i=1,2,3,4。

2.4.1 驅(qū)動支鏈?zhǔn)芰Ψ治?/p>

由于SPS驅(qū)動支鏈含局部自由度，為避免其對該驅(qū)動支鏈動態(tài)靜力學(xué)平衡方程結(jié)構(gòu)影響[25]。需對驅(qū)動支鏈在固定坐標(biāo)系OXYZ與局部坐標(biāo)系Biuiviwi中方位進(jìn)行分析[25]。坐標(biāo)系OXYZ相對Biuiviwi的轉(zhuǎn)換矩陣為

R(αiZ,θiX)=[RZαi][RXθi]=

(11)

驅(qū)動支鏈在固定坐標(biāo)系OXYZ中具體受力分析見文獻(xiàn)[25]。驅(qū)動支鏈在固定坐標(biāo)系OXYZ中繞固定鉸點(diǎn)Bi作純轉(zhuǎn)動的角速度為

(12)

ηi=pilciSi

(13)

驅(qū)動支鏈處于動態(tài)平衡時，力平衡方程為

(14)

在局部坐標(biāo)系Biuiviwi對驅(qū)動支鏈固定鉸點(diǎn)Bi取矩，力矩平衡方程為

(15)

據(jù)研究結(jié)論[25]，驅(qū)動支鏈力矩平衡方程因局部自由度需去掉繞Z軸轉(zhuǎn)動力矩平衡方程，則式(15)去掉多余后，在固定坐標(biāo)系OXYZ下力矩平衡方程為

(16)

2.4.2 恰約束從動支鏈?zhǔn)芰Ψ治鯷25]

(17)

對下平臺質(zhì)心O取矩，力矩平衡方程為

(18)

2.4.3 上平臺受力分析[25]

上平臺質(zhì)心OXYZ在固定坐標(biāo)系角速度ω=[ωxωyωz]T，上平臺在動坐標(biāo)系Pxyz的各轉(zhuǎn)動慣量為I′，則上平臺相對固定坐標(biāo)系OXYZ的轉(zhuǎn)動慣量為

I=RI′RT

(19)

式中：

當(dāng)上平臺處于動態(tài)平衡時，力平衡方程為

(20)

對上平臺質(zhì)心O點(diǎn)取矩，力矩平衡方程為

(21)

聯(lián)立式(14)、(16)～(18)、(20)、(21)組成(6×6-4)維方程組Γ中含(6×4+8)個未知力/力矩。方程組Γ的矩陣表示記為AX=B，A為由4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)與旋轉(zhuǎn)角組成的系數(shù)矩陣；B為由該并聯(lián)機(jī)構(gòu)重力/力矩與外載荷及系統(tǒng)慣性組成的已知矩陣；X為由該機(jī)構(gòu)所有運(yùn)動副反力組成的未知量矩陣X=A-1B。

2.5 含球面副間隙的驅(qū)動支鏈動力學(xué)分析

(22)

圖3 4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)間隙桿動態(tài)靜力分析

固定坐標(biāo)系OXYZ下驅(qū)動支鏈l1力平衡方程為

(23)

在局部坐標(biāo)系Biuiviwi對驅(qū)動支鏈固定鉸點(diǎn)B1取矩，力矩平衡方程為

(24)

同理，據(jù)式(16)寫出式(24)去掉多余后在固定坐標(biāo)系OXYZ下力矩平衡方程為：

(25)

考慮該并聯(lián)機(jī)構(gòu)球面副關(guān)節(jié)間隙后，該機(jī)構(gòu)驅(qū)動力為

(26)

2.5.1 含關(guān)節(jié)間隙動力學(xué)方程求解

(1) 不考慮球面副間隙時，方程組Γ記為AX=B。通過該方程求出4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)約束反力/力矩X=A-1B，記關(guān)節(jié)約束反力為X1。

(27)

(28)

(3) 將(2)中結(jié)論代入式(7)、(6)中并對該并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)進(jìn)行分析，導(dǎo)出所有含關(guān)節(jié)間隙的運(yùn)動學(xué)參數(shù)，獲得關(guān)節(jié)間隙對該并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)影響，為動力學(xué)分析奠定基礎(chǔ)。

2.6 數(shù)值計(jì)算

4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)、間隙參數(shù)見表1。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

設(shè)上平臺不受外力情況下，質(zhì)心P點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為

(29)

圖4 B1處球面副受力分析

4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)B1點(diǎn)處球面副考慮關(guān)節(jié)間隙與不考慮關(guān)節(jié)間隙時對比分析曲線見圖4。由圖4看出，時間處于0.1 s，0.95 s附近時，含間隙球面副關(guān)節(jié)反力小于等于0，說明含間隙球面副元素發(fā)生分離；時間處于0.2 s，0.9 s附近時，含間隙球面副關(guān)節(jié)反力為理想關(guān)節(jié)副反力的2～3倍，說明含間隙球面副元素發(fā)生碰撞；時間處在0.3～0.8 s時，考慮間隙與不考慮間隙對球面副關(guān)節(jié)反力影響不大，說明該機(jī)構(gòu)球面副元素處于接觸狀態(tài)。因此，可利用該方法判定B1點(diǎn)處球面副元素接觸分離狀態(tài)。

關(guān)節(jié)間隙對4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動支鏈長度與驅(qū)動速度影響曲線見圖5。由圖5知，關(guān)節(jié)間隙對驅(qū)動支鏈長度與驅(qū)動速度均有影響，且對驅(qū)動速度影響較明顯。由于關(guān)節(jié)間隙位置角為該機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)參數(shù)函數(shù)，當(dāng)上平臺速度增加時，關(guān)節(jié)間隙對驅(qū)動支鏈長度、驅(qū)動速度影響越顯著，圖中數(shù)值分析與理論研究相吻合。

圖5 驅(qū)動支鏈運(yùn)動學(xué)分析

4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)考慮間隙與不考慮間隙時驅(qū)動力對比分析曲線見圖6。由圖6看出，以無質(zhì)量桿代替B1處球面副關(guān)節(jié)間隙，對該機(jī)構(gòu)驅(qū)動力無明顯影響。原因?yàn)楸疚囊暻蛎娓遍g隙為無質(zhì)量桿避免因間隙導(dǎo)致的接觸碰撞力，忽略間隙接觸體剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、摩擦系數(shù)及碰撞過程中能量損失。因此，球面副間隙對該并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動力影響較弱。

3 結(jié) 論

(1) 以無質(zhì)量桿代替4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)中球面副間隙。建立球面副間隙模型及該機(jī)構(gòu)含間隙鉸時的位置方程。令間隙量為零研究理想機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)，并基于達(dá)朗貝爾原理建立該機(jī)構(gòu)動態(tài)靜力學(xué)方程，求出該機(jī)構(gòu)所有關(guān)節(jié)副反力。設(shè)含間隙運(yùn)動副反力位置角與無間隙運(yùn)動副反力位置角近似相等，對4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)中無質(zhì)量桿進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析。

(2) 通過對含關(guān)節(jié)間隙驅(qū)動支鏈重新受力分析，寫出該支鏈含球面副間隙動態(tài)平衡方程，結(jié)合理想機(jī)構(gòu)動態(tài)平衡方程組裝考慮關(guān)節(jié)間隙時的動力學(xué)方程HX′=K。給出該方程的求解過程。通過數(shù)值方法對比分析該機(jī)構(gòu)在考慮間隙與不考慮間隙時驅(qū)動力與關(guān)節(jié)反力及利用該機(jī)構(gòu)含間隙位置方程研究其運(yùn)動學(xué)反解，獲得連續(xù)接觸模型中關(guān)節(jié)間隙對該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動力影響不明顯，而對該機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)特性影響顯著。

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