具有有界控制輸入的不確定時滯系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性*

陳衍峰

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 通化 134002)

在控制系統(tǒng)的分析與綜合中，一般假定控制輸入不受任何約束.即控制輸入可以取任何有限值.然而，對于眾多的實際工程控制系統(tǒng)來說，所有的執(zhí)行機構(gòu)都或多或少的存在某種程度的物理約束.而且在對實際工程系統(tǒng)進行控制時，還必須將有界的控制輸入對閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響,尤其是對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響考慮進去.目前實際控制系統(tǒng)的控制約束一般分為兩類.一類是研究當(dāng)控制輸入有界時，其閉環(huán)系統(tǒng)的控制特性下降較大，應(yīng)該如何設(shè)計控制系統(tǒng)的控制器以使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；另一類是設(shè)計控制系統(tǒng)保證在有界控制輸入下控制系統(tǒng)為全局漸近穩(wěn)定的.前者需要開環(huán)系統(tǒng)滿足在有界輸入下為漸近零可控制的性質(zhì),而后者需要采用適當(dāng)?shù)姆椒?估計閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域.

本文利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理和蘇爾補引理，同時結(jié)合飽和函數(shù)的上確界，給出閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的方法.

1 問題描述

考慮時滯不確定系統(tǒng)

(1)

其中:x(t)為狀態(tài)向量；d是時滯；A0和B為已知適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣；A1是已知的可逆矩陣；u(t)為輸入向量，且滿足下面的約束條件.

u(t)∈Ω=[-Δ,+Δ],Δ>0

(2)

ΔA是不確定矩陣，且滿足下面的范數(shù)有界形式

ΔA=DFE1

(3)

其中，D和E1是已知適當(dāng)維數(shù)的確定矩陣，F(xiàn)是未知矩陣，且滿足FTF≤I.

本文的目的是，對不確定時滯系統(tǒng)(1)設(shè)計無記憶飽和控制器

u(k)=satΔ(Kx(t))=
sign(Kx(t))min{Δ,|Kx(t)|}

(4)

使其閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

根據(jù)上面所述，則對給定的矩陣D、E1和對稱正定矩陣P1，存在對稱正定矩陣P0，使得下式成立

(5)

定義一個開橢球體

Ω(P0,r)={x∈Rn|xTP0x

(6)

和飽和函數(shù)μ，則對一切x∈Rn有u(t)=satΔ(Kx(t))=(1-μ)Kx(t).因此，系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)為

(7)

2 控制器設(shè)計

定理1 如果系統(tǒng)(1)滿足條件4，則

(1)當(dāng)λmin(E)≥-1，系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)(7)全局漸近穩(wěn)定；

(2)當(dāng)λmin(E)<-1，系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)(7)局部漸近穩(wěn)定.

證明 取lyapunov函數(shù)

于是，V(x(t))沿閉環(huán)系統(tǒng)式(7)有

其中，N=A0+(1-μ)BK+ΔA.將(5)代入上式有

3 數(shù)值算例

考慮不確定時滯系統(tǒng)

從而又可以求得

因此，根據(jù)定理1知系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)是局部漸近穩(wěn)定的.