飽和橫觀各向同性分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性土中半封閉襯砌振動響應(yīng)

陳學(xué)麗, 聞敏杰， 高華喜

(1. 嘉興職業(yè)技術(shù)學(xué)院 生物與環(huán)境分院，浙江 嘉興 314036；2. 浙江海洋學(xué)院 船舶與建筑工程學(xué)院，浙江 舟山 316004)

以往對于飽和土中隧道動力響應(yīng)研究主要存在以下兩方面不足：一方面，將飽和土體視為各向均勻同性體。但土體在長期沉積和固結(jié)過程中存在各向異性，故橫觀各向同性地基模型較符合實際工程；另一方面，將土體等價為飽和多孔彈性介質(zhì)或利用經(jīng)典黏彈性模型來描述土骨架的黏性。孫海忠和張衛(wèi)[1]已證明該模型在描述黏彈性行為時不能與實驗數(shù)據(jù)很好吻合，而分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型更精確地反映土體蠕變的全過程。分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型自Gernent[2]提出來后，Bagley等[3-4]進行了完善，之后不少學(xué)者將其用于研究黏彈性材料[5-7]，最近在地基、樁基等工程中得到應(yīng)用[8,9]。然而，在描述橫觀各向同性土體的動力學(xué)行為方面，筆者未見報道。

近年來，Lu等[10-12]將土體視為飽和均勻彈性介質(zhì)，分別研究了簡諧荷載、沖擊荷載和單級荷載作用下圓形隧道的穩(wěn)態(tài)或瞬態(tài)響應(yīng)；將土體視為均勻黏彈性介質(zhì)，Xie等[13-15]根據(jù)Voigt[16]提出并被其它學(xué)者[17-19]所用的經(jīng)典黏彈性模型描述土骨架的黏性，研究了飽和黏彈性土—隧道殼體襯砌耦合振動特性；將土體視為飽和橫觀各向彈性體，劉干斌等[20]對圓形隧道開挖引起的應(yīng)力和位移進行了分析，而忽略了土體慣性和襯砌厚度的影響。將土體視為單相橫觀各向黏彈性體，阿查亞等[21]討論了高階黏彈性、黏彈性參數(shù)的非均質(zhì)性對徑向位移和應(yīng)力的影響。

在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，本文首先假設(shè)橫觀各向同性面和垂直于該面的土體黏性相同，將土骨架視為具有分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)關(guān)系的橫觀各向同性粘彈性體，采用飽和多孔介質(zhì)理論，得到了簡諧荷載作用下飽和橫觀各向同性黏彈性土的位移、應(yīng)力和孔隙水壓力解析表達式；再次，將襯砌視為均勻彈性體，求得了彈性襯砌的應(yīng)力和位移表達式；然后，利用襯砌內(nèi)邊界應(yīng)力協(xié)調(diào)以及土體和襯砌界面處應(yīng)力和位移連續(xù)，得到了相關(guān)待定系數(shù)的具體表達式。最后，考察了飽和經(jīng)典彈性土、飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)性黏彈性土和飽和經(jīng)典黏彈性土三種條件下飽和黏彈性土和襯砌各物性和幾何參數(shù)對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

圖1 橫觀各向同性土—隧洞襯砌動力相互作用

如圖1所示，無限飽和橫觀各向同性黏彈性土中一深埋圓形襯砌隧道。襯砌內(nèi)外半徑分別為R1和R2，其厚度為d=R2-R1；橫觀各向同性面內(nèi)的彈性模量和泊松比分別表示為E1和μ1；垂直于橫觀各向同性面內(nèi)的彈性模量和泊松比分別為E2和μ2；若土顆粒和孔隙流體的體積分?jǐn)?shù)分別為nS和nF，記土顆粒和孔隙流體的真實密度為ρSR和ρFR，則表觀密度為ρS=nSρSR和ρF=nFρFR；襯砌密度和泊松比分別為ρL和vL，而其彈性模量為EL?，F(xiàn)襯砌內(nèi)邊界作用徑向均布簡諧荷載q0eiωt(i2=-1)，ω為角頻率。另外，假設(shè)襯砌中水頭為P1=0；土體中水頭為P2=p。設(shè)襯砌和土體完全接觸且襯砌不產(chǎn)生變形，又忽略襯砌中孔隙水的影響。根據(jù)Li[22]結(jié)合實際工程模型，建立的隧道部分透水邊界條件，可令襯砌和土體界面處無積水，即襯砌中流體速度與土體中流體速度在界面處相等。

2 土體控制方程

忽略土骨架和孔隙流體的壓縮性，根據(jù)飽和多孔介質(zhì)理論[23-24]，得到土體的固相動量方程、孔隙流體動量方程及體積分?jǐn)?shù)守恒引起的質(zhì)量平衡方程分別為[25,26]

(1)

σS=-nSpI+σSE

σF=-nFpI

pF=-pS=pgradnF+pFE

}

(2)

式中，p和σSE為孔隙水壓力和有效應(yīng)力張量；pFE表示有效孔壓。根據(jù)體積分?jǐn)?shù)概念和不可壓縮條件，體積分?jǐn)?shù)滿足如下平衡方程

nS+nF=1

(3)

因此，總應(yīng)力張量可表示為

σT=σF+σS=-pI+σSE

(4)

有效孔隙水壓力pEF滿足下列式

(5)

式中，Sv=(nF)2γFR/kF為表征流固兩相的相互作用系數(shù)，而γFR=ρFRg為流相重度，kF為Darcy滲流系數(shù)。

假設(shè)橫觀各向同性面內(nèi)土骨架的黏性和垂直于橫觀各向同性面內(nèi)土骨架黏性相同，利用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性模型描述土骨架的應(yīng)力—位移本構(gòu)關(guān)系[9]:

(6)

(7)

對于穩(wěn)態(tài)振動，記

(8)

(9)

(10)

利用式(8)-(10)，可易解得徑向位移為:

(11)

式中，

(12)

其中，C1,C2為待定系數(shù)，K1(·)為1階第二變形Bessel函數(shù)。

又利用式(10)和式(11)，解得:

(13)

于是，由式(9)、式(11)和式(13)，解得孔隙水壓力為:

(14)

由式(14)可見，lnr是發(fā)散函數(shù)。為滿足r→∞,p→0，引入大數(shù)K，使p=0(K=0)

(15)

由此可得，

(16)

楊驍和聞敏杰[27]已證明當(dāng)大數(shù)K=60時該發(fā)散函數(shù)對響應(yīng)幅值無任何影響。

式中，

(17)

利用本構(gòu)關(guān)系式(6)，可得土骨架有效應(yīng)力為:

(18)

再由式(18)和有效應(yīng)力原理式(4)，可得土體總應(yīng)力為:

(19)

3 襯砌控制方程

(20)

式中，

(21)

由式(20)易解得

(22)

式中，C5,C6為待定系數(shù)。

于是，襯砌徑向應(yīng)力為:

(23)

式中，

(24)

4 連續(xù)性邊界條件

假設(shè)襯砌和土體完全緊密接觸，無相對滑移，則在界面處(r=R2)滿足

(25)

襯砌內(nèi)邊界(r=R1)作用均布軸對稱簡諧荷載，則滿足:

(26)

根據(jù)Li[22]采用Darcy滲透定律，解決的實際隧道工程中邊界滲透性問題，則襯砌中的流體流量為:

(27)

式中，kL為襯砌的Darcy滲透系數(shù)。

而土體中流體流量為:

(28)

顯然，上述兩者流體流量在襯砌和土體界面處(r=R2)相等，則:

(29)

式中，κ=kL/kFR2(lnR2-lnR1)為襯砌和土體相對滲透系數(shù)，由襯砌的幾何尺寸決定。當(dāng)kL?kF時，κ→0，邊界不滲透，襯砌處于封閉狀態(tài)；當(dāng)kL?kF時，κ→∞，邊界為自由滲透，襯砌為不封閉狀態(tài)。

至此，利用邊界條件式(25)-(29)，即得到待定系數(shù)C1,C2,C5,C6的具體表達式，從而得到飽和橫觀各向同性分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性土中深埋圓形半封閉襯砌隧道穩(wěn)態(tài)動力響應(yīng)解析解。

5 計算結(jié)果分析

考察土體和襯砌各參數(shù)對徑向位移幅值的影響。圖2～圖4分別表示橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)、橫觀各向同性飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型黏彈性土(α=0.5)和橫觀各向同性飽和經(jīng)典黏彈性土(α=1)條件下彈性模量E1對襯砌和土體界面處(r=3.25)徑向位移幅值的影響。圖2～圖4綜合可見，系統(tǒng)產(chǎn)生明顯的共振效應(yīng)且隨著彈性模量E1的增加，共振效應(yīng)逐漸減弱，徑向位移幅值的峰值減小，而基頻卻逐漸增大。這是由于橫觀各向同性面的彈性模量E1增大，土體的阻抗越大所引起的。另外，從該三圖我們發(fā)現(xiàn)，橫觀各向同性飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型黏彈性土(α=0.5)時位移幅值的峰值小于橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)時位移幅值的峰值，卻大于橫觀各向同性飽和經(jīng)典黏彈性土(α=1)時位移幅值的峰值。而橫觀各向同性飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型黏彈性土(α=0.5)時系統(tǒng)產(chǎn)生共振的基頻大于橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)時的基頻，卻小于橫觀各向同性飽和經(jīng)典黏彈性土(α=1)時的基頻。這充分說明將土體視為彈性土(α=0)時高估了彈性模量E1對位移幅值的影響，將土體視為經(jīng)典黏彈性土(α=1)時卻低估了彈性模量E1對位移幅值的影響。而且，可以通過改變階數(shù)取值來改變彈性模型E1對位移幅值的影響。圖5～圖7分別表示在r=4處橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)、橫觀各向同性飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型黏彈性土(α=0.5)和橫觀各向同性飽和經(jīng)典黏彈性土(α=1)條件下襯砌厚度d對徑向位移幅值的影響。圖5～圖7可見，襯砌厚度對位移幅值的影響與土骨架的黏性有明顯關(guān)系。隨著分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)的增加，襯砌厚度變化對位移幅值的峰值影響逐漸減小，這是由于階數(shù)增加時，土體的阻抗逐漸增大所造成的。另外，隨著襯砌厚度的增加，共振效應(yīng)減小，而相應(yīng)的基頻逐漸增大，是因為襯砌厚度增加時，襯砌的剛度增大所引起的。圖8表示在r=4處襯砌和土體的相對滲透系數(shù)對徑向位移幅值的影響?？梢姡瑵B透系數(shù)更好地反映了隧道邊界的滲透特性。滲透系數(shù)越小，界面處越接近不透水狀態(tài)，則在穩(wěn)態(tài)振動時，共振效應(yīng)越明顯。而當(dāng)滲透系數(shù)分別為κ=100和κ=1 000時，位移幅值幾乎無任何變化，此時說明邊界已經(jīng)達到自由滲透狀態(tài)。圖9～圖11分別表示橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)、橫觀各向同性飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型黏彈性土(α=0.5)和橫觀各向同性飽和經(jīng)典黏彈性土(α=1)條件下彈性模量E1對襯砌和土體界面處(r=3.25)的孔隙水壓力幅值影響。由圖9～圖11比較看出，橫觀各向同性面的彈性模量E1對孔隙水壓力幅值的影響與土骨架黏性也有密切關(guān)系，當(dāng)橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)時，隨著彈性模量E1的增加，孔壓幅值的峰值呈增大趨勢，橫觀各向同性飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性土(α=0.5)時，當(dāng)彈性模量E1增加時，孔壓幅值峰值明顯減小，而橫觀各向同性飽和經(jīng)典黏彈性土(α=1)時，當(dāng)彈性模量E1增加時，孔壓幅值峰值呈減小趨勢，但影響不大。這也充分說明彈性模量E1對孔壓幅值的影響與分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)有明顯關(guān)系。圖12～圖14分別為在r=4處橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)、橫觀各向同性飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型黏彈性土(α=0.5)和橫觀各向同性飽和經(jīng)典黏彈性土(α=1)條件下襯砌厚度d對孔壓幅值的影響。圖12～圖14比較分析得襯砌厚度在橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)時對孔壓幅值的峰值影響明顯，而在橫觀各向同性飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型黏彈性土(α=0.5)和橫觀各向同性飽和經(jīng)典黏彈性土(α=1)條件下對孔壓幅值峰值影響較小。圖15為相對滲透系數(shù)對孔壓幅值的影響?？梢?，滲透系數(shù)對孔壓幅值的影響與對位移幅值的影響有類似之處，隨著滲透系數(shù)的增加，共振效應(yīng)越不明顯。

圖2 橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)時彈性模量E1對徑向位移幅值影響

圖6 橫觀各向同性飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性土(α=0.5)時襯砌厚度d對徑向位移幅值影響

圖10 橫觀各向同性飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性土(α=0.5)時彈性模量E1對孔壓幅值影響

圖14 橫觀各向同性飽和經(jīng)典黏彈彈性土(α=1)時襯砌厚度d對孔壓幅值影響

圖15 相對滲透系數(shù)κ對孔壓幅值影響

6 討 論

土體是典型的黏彈性材料，其黏性在高溫或加載時間影響下表現(xiàn)極為突出。與以往的經(jīng)典Maxwall、Kelvin和廣義Maxwall等黏彈性模型[29-30]相比，分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)關(guān)系可更好地反映土體在整個加載和卸載過程中的變形特性。但由于利用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)關(guān)系建立的動力方程為具有奇異性的積分—偏微分方程，它們的定性分析和數(shù)值計算較困難[31]。目前，國內(nèi)外還處于起步階段，特別是在參數(shù)取值方面，雖然何利軍等[32]通過固結(jié)試驗給出了不同圍壓下分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型相關(guān)參數(shù)取值，但只推導(dǎo)了軟黏土的蠕變模型，未考慮土體的動力學(xué)行為，故在模型參數(shù)確定上仍需做大量工作。

7 結(jié) 論

本文將土骨架視為橫觀各向同性黏彈性體，利用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型描述飽和橫觀各向同性黏彈性土的力學(xué)行為，研究了飽和橫觀各向同性分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性土體中深埋圓形隧道半封閉襯砌穩(wěn)態(tài)振動響應(yīng)，得到如下結(jié)論：

(1) 穩(wěn)態(tài)振動時，橫觀各向同性面的彈性模量E1對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響與土體的黏性有密切關(guān)系。當(dāng)橫觀各向同性飽和經(jīng)典黏彈性土(α=1)時，彈性模量E1對系統(tǒng)共振的基頻最大，而對橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)、橫觀各向同性飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型黏彈性土(α=0.5)時基頻影響相對較小。

(2) 襯砌厚度對系統(tǒng)動力響應(yīng)影響也與土體的黏性有關(guān)。在橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)時，隨著襯砌厚度增加系統(tǒng)動力響應(yīng)明顯減小，而橫觀各向同性飽和經(jīng)典黏彈性土(α=1)和橫觀各向同性飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型黏彈性土(α=0.5)時襯砌對系統(tǒng)動力響應(yīng)影響較小。

(3) 滲透系數(shù)更好地描述界面的滲透特性，邊界不透水時系統(tǒng)產(chǎn)生明顯的共振現(xiàn)象，而隨著滲透系數(shù)的增加，共振效應(yīng)減弱。

參 考 文 獻

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