基于雙樹復(fù)小波和奇異差分譜的齒輪故障診斷研究

胥永剛， 孟志鵬， 陸 明， 付 勝

(北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院 先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100124)

齒輪是機(jī)械設(shè)備中應(yīng)用十分廣泛的零部件之一，惡劣的工作環(huán)境使其非常容易出現(xiàn)故障。而齒輪故障直接影響設(shè)備運(yùn)行的可靠性以及產(chǎn)品質(zhì)量和生產(chǎn)效率，因此對(duì)齒輪故障診斷進(jìn)行研究具有十分重要的意義。由于其破壞形式極其復(fù)雜, 且通過(guò)傳感器提取出來(lái)的齒輪振動(dòng)加速度信號(hào)具有非平穩(wěn)特征，反映狀態(tài)信息的能量也很微弱，給故障診斷帶來(lái)了困難。如何從非平穩(wěn)的振動(dòng)信號(hào)中提取出故障特征信息是齒輪故障診斷的關(guān)鍵[1]。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者對(duì)齒輪的診斷研究做了大量的工作，主要集中在典型故障特征的提取研究上，并取得很多的成績(jī)。對(duì)于實(shí)際對(duì)象的齒輪故障診斷，如用單一的方法，有時(shí)難以準(zhǔn)確快速地完成對(duì)復(fù)雜對(duì)象的故障診斷。因此，往往將多種信號(hào)處理方法結(jié)合來(lái)提取故障特征信息，李輝等[2]將EMD和功率譜結(jié)合；程軍圣等[3]將LMD與譜峭度結(jié)合；袁海英等[4]將提升小波變換和Hilbert解調(diào)結(jié)合；孫偉等[5]將小波包與LMD 結(jié)合等用于齒輪故障診斷中都取得了較好的效果。

為構(gòu)建具有平移不變性的小波，有效消除信號(hào)分析中的頻率混疊，Kingsbury[6]首先提出雙樹復(fù)小波變換的概念，Selesnick等[7]進(jìn)一步提出了雙樹復(fù)小波變換的分解與重構(gòu)算法。雙樹復(fù)小波變換不僅保持了傳統(tǒng)小波變換的時(shí)頻局部化分析能力，還具有近似平移不變性、良好的方向選擇性、完全重構(gòu)性、有限的數(shù)據(jù)冗余性和高效的計(jì)算效率等優(yōu)良性質(zhì)。目前雙樹復(fù)小波變換已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于圖像處理[8]、信號(hào)降噪[9]和故障診斷等領(lǐng)域[10]。

奇異值分解具有理想的去相關(guān)特性[11], 基于奇異值分解的信號(hào)分析方法可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu), 較好的從背景噪聲中分離出有用信號(hào)的特征信息。在故障診斷領(lǐng)域中，奇異值分解技術(shù)主要用于降噪和提取信號(hào)中的周期成分[12-15]。奇異值差分譜用來(lái)描述信號(hào)中有用成分和噪聲的奇異值的本質(zhì)差異，根據(jù)差分譜的最大突變位置可以準(zhǔn)確地確定有效奇異值的個(gè)數(shù)。

本文提出了基于雙樹復(fù)小波和奇異差分譜的故障診斷方法，并將其成功應(yīng)用于機(jī)械故障診斷中。實(shí)驗(yàn)和工程案例均表明，該方法可以有效的提取齒輪的故障特征頻率。

1 雙樹復(fù)小波變換

雙樹復(fù)小波變換(Dual-Tree Complex Wavelet Transform, DT-CWT)是基于實(shí)數(shù)小波變換實(shí)現(xiàn)的復(fù)數(shù)小波變換, 它通過(guò)兩個(gè)并行的實(shí)數(shù)濾波器組來(lái)實(shí)現(xiàn), 分別稱為實(shí)部樹和虛部樹，DT-CWT的三層分解與重構(gòu)過(guò)程如圖1所示[6-7]。其中低通濾波器h0和高通濾波器h1構(gòu)成實(shí)部樹的分析濾波器組,低通濾波器g0和高通濾波器g1構(gòu)成虛部樹的分析濾波器組。為了實(shí)現(xiàn)實(shí)部樹和虛部樹的信息互補(bǔ)，在信號(hào)的分解與重構(gòu)過(guò)程中，始終保持虛部樹的采樣位置位于實(shí)部樹的中間，使雙樹復(fù)小波變換能有效綜合利用實(shí)部樹和虛部樹的小波分解系數(shù)。這種小波分解算法使雙樹復(fù)小波變換具有近似平移不變性，并減少了有用信息的丟失。雙樹復(fù)小波變換在各層的分解過(guò)程中，利用小波系數(shù)二分法減少了多余的計(jì)算，從而提高了計(jì)算速度。從雙樹復(fù)小波變換的分解和重構(gòu)圖中，可以看出實(shí)部樹和虛部樹之間沒(méi)有數(shù)據(jù)流動(dòng)，因此雙樹復(fù)小波算法的計(jì)算時(shí)間只是傳統(tǒng)小波變換的兩倍。

根據(jù)雙樹復(fù)小波的構(gòu)造方法，復(fù)小波可表示為：

φ(t)=φh(t)+iφg(t)

(1)

式中：φh(t)，φg(t)表示兩個(gè)實(shí)小波；i為復(fù)數(shù)單位。

由于雙樹復(fù)小波變換由兩個(gè)并行的小波變換組成，因此，根據(jù)小波理論，上面實(shí)部樹小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由式(2)和式(3)計(jì)算：

(2)

(3)

同理，下面虛部樹小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由式(4)和式(5)計(jì)算：

(4)

(5)

因此，雙樹復(fù)小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)：

(6)

圖1 雙樹復(fù)小波變換的分解和重構(gòu)過(guò)程

(7)

最后，雙樹復(fù)小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由式(8)和式(9)進(jìn)行重構(gòu)：

(8)

(9)

雙樹復(fù)小波變換后的重構(gòu)信號(hào)可表示為：

x(t)=dj(t)+cJ(t)

(10)

2 奇異值差分譜

設(shè)有Y=(y(1),y(2),…,y(N))為離散數(shù)字信號(hào)，應(yīng)用奇異值分解時(shí)，首先需將信號(hào)構(gòu)造為矩陣H，H多為Hankel矩陣，具體構(gòu)造方式如下：

(12)

式中,1

奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)的定義：一個(gè)實(shí)矩陣H∈Rm×n, 不管其行列是否相關(guān)，必定存在一對(duì)正交矩陣U=(u1,u2,…,um)∈Rm×m和V=(v1,v2,…,vn)∈Rn×n,使得：

H=USVT

(13)

Hankel矩陣的特點(diǎn)是:矩陣的后一行總是比前一行滯后一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，對(duì)于理想信號(hào)所構(gòu)造的Hankel矩陣是一種病態(tài)矩陣，相鄰的行都是高度相關(guān)的。這種病態(tài)矩陣的前幾個(gè)奇異值比較大，后面的奇異值非常小，都近似于零，奇異值在某一點(diǎn)(即矩陣的秩所對(duì)應(yīng)的點(diǎn))處發(fā)生突變。而對(duì)含噪聲的信號(hào)，盡管前后兩行也滯后一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，但卻互不相關(guān)，是一個(gè)良態(tài)滿秩的矩陣。

對(duì)于含噪信號(hào)構(gòu)造的Hankel 矩陣有后面的q-k個(gè)奇異值明顯小于前k個(gè)奇異值，也就是說(shuō)奇異值在第k個(gè)點(diǎn)發(fā)生突變，而前k個(gè)奇異值代表了要提取的理想信號(hào)。由于每一個(gè)奇異值對(duì)應(yīng)著一個(gè)分量信號(hào)，因此，只要選擇前面k個(gè)分量進(jìn)行簡(jiǎn)單的疊加，就可獲得降低了噪聲的信號(hào)。

SVD降噪的關(guān)鍵問(wèn)題就是需要合理地選擇出前面的若干個(gè)奇異值進(jìn)行SVD逆運(yùn)算，如果奇異值數(shù)目選擇過(guò)多，則會(huì)使處理結(jié)果混進(jìn)一部分噪聲，而選擇過(guò)少卻又會(huì)丟掉信號(hào)中的有用成分，有時(shí)甚至?xí)斐尚盘?hào)波形的畸變。

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)有效奇異值個(gè)數(shù)的自動(dòng)判斷，定義奇異值差分譜。設(shè)所有奇異值按照從大到小的順序形成的序列為S=σ1,σ2,…σq，則：

bi=σi-σi+1i=1,2,…,q-1

(14)

將所有bi組成的序列B=(b1,b2,…,bq-1)稱為奇異值的差分譜，它描述了兩兩相鄰奇異值的變化情況，當(dāng)兩相鄰奇異值差別較大時(shí)，在差分譜中必將產(chǎn)生一個(gè)峰值，而在整個(gè)差分譜中必然存在一個(gè)最大峰值bk，根據(jù)差分譜的定義，這意味著奇異值序列在位置k處發(fā)生了最大突變。

奇異值在最大突變點(diǎn)處產(chǎn)生的最大差異根本原因就在于有用信號(hào)和噪聲的相關(guān)性不同而在奇異值上表現(xiàn)出來(lái)的自然反應(yīng)。

3 DT-CWT和奇異差分譜診斷方法

基于DT-CWT和奇異差分譜診斷的方法首先將信號(hào)進(jìn)行DT-CWT分解, 得到幾個(gè)不同頻段的分量。然后選擇某個(gè)含有故障特征信息的分量，對(duì)其SVD分解，求差分譜選擇奇異值個(gè)數(shù), 進(jìn)行SVD重構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的降噪,并求其希爾伯特包絡(luò)譜，找到故障頻率,進(jìn)行更為準(zhǔn)確的故障識(shí)別[15-18]。該方法實(shí)現(xiàn)流程如圖2所示。

圖2 基于DT-CWT和奇異差分譜的診斷方法

Fig.2 The method based on DT-CWT and different spectrum of singular value

其診斷具體步驟如下:

(1)通過(guò)對(duì)原始振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行雙樹復(fù)小波分解, 得到幾個(gè)頻段不同的分量。

(2)對(duì)包含故障特征的分量, 構(gòu)建Hankel矩陣。

(3)對(duì)Hankel矩陣進(jìn)行奇異值分解。

(4)求奇異差分譜, 并畫出差分譜曲線圖。確定譜圖中最大突變點(diǎn), 即需要保留奇異值的個(gè)數(shù)，其余的奇異值置為零。

(5)根據(jù)步驟(4)中確定的奇異值個(gè)數(shù),進(jìn)行奇異值重構(gòu), 從而消除噪聲，并求希爾伯特包絡(luò)譜。

(6)從希爾伯特包絡(luò)譜中確定故障特征信息。

4 實(shí)驗(yàn)分析

實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖3所示，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由齒輪故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)、壓電式加速度傳感器、數(shù)據(jù)采集儀、筆記本電腦組成。將有故障的齒輪安裝在齒輪箱內(nèi)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集，數(shù)據(jù)采集儀將采集數(shù)據(jù)傳到電腦中，再進(jìn)行數(shù)據(jù)處理分析。

該實(shí)驗(yàn)中齒輪箱是一對(duì)齒輪，模數(shù)為2，材質(zhì)是S45C，小齒輪為主動(dòng)輪，齒數(shù)Z1為55；大齒輪為從動(dòng)輪,齒數(shù)Z2為75。該故障實(shí)驗(yàn)?zāi)M了大齒輪一個(gè)齒齒根微小裂紋故障，電機(jī)轉(zhuǎn)速N為1 000 r/min，采樣頻率為12 800 Hz。

根據(jù)以上參數(shù)，按照以下公式：

(15)

可得大齒輪的故障特征頻率為fZ2為12.22 Hz。

圖3 故障實(shí)驗(yàn)臺(tái)

圖4為齒輪裂紋故障的原始時(shí)域波形及幅值譜，從波形和幅值譜中基本看不出故障特征信息，同時(shí)有明顯的干擾成分。故利用DT-CWT對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行5層分解，然后進(jìn)行單支重構(gòu)，各層重構(gòu)信號(hào)為a5、d5、d4、d3、d2和d1，得到如圖5所示的不同頻段的分量，可以看出第三個(gè)分量d3出現(xiàn)了微弱的周期性沖擊成分。

圖4 齒輪裂紋故障波形及頻譜

圖5 雙樹復(fù)小波分解圖

將第三個(gè)分量d3作為研究對(duì)象，構(gòu)造Hankel矩陣,進(jìn)行奇異值分解并求得奇異值序列，進(jìn)而求得奇異值差分譜，奇異值差分譜峰突變?cè)谇岸尾糠?，后面的都趨于零。為了清楚的觀察差分譜的情況，將奇異值序列和差分譜前100個(gè)點(diǎn)繪在一個(gè)坐標(biāo)系下, 如圖6所示。從圖中可以看到最大突變?cè)诘?個(gè)點(diǎn),如果最大突變點(diǎn)發(fā)生在前兩個(gè)點(diǎn)，往往取第2個(gè)最大突變點(diǎn)，因?yàn)槠娈愔捣至刻贂?huì)丟失有效信息。第二最大突變點(diǎn)為第4點(diǎn)，故保留SVD分解的前4個(gè)奇異值，其余的奇異值為0，進(jìn)行奇異值重構(gòu)得到如圖7所示結(jié)果。信號(hào)呈現(xiàn)非常好的周期性沖擊，沖擊周期大約為0.080 3 s,對(duì)應(yīng)的頻率為12.45 Hz,與大齒輪故障特征頻率非常接近。

圖6 奇異值和差分譜前100個(gè)點(diǎn)

圖7 重構(gòu)SVD 前4個(gè)奇異值的信號(hào)波形

圖8 SVD重構(gòu)后信號(hào)的希爾伯特包絡(luò)譜

對(duì)圖7所示的重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行希爾伯特包絡(luò)解調(diào)，得到如圖8所示的包絡(luò)譜,可以很清楚的看到12.5 Hz和25 Hz的頻率，與大齒輪故障特征頻率的一倍和二倍頻非常接近，可以斷定該大齒輪已經(jīng)發(fā)生故障。

圖9所示為直接對(duì)雙樹復(fù)小波分解和重構(gòu)后得到的第3個(gè)分量d3作希爾伯特包絡(luò)譜，雖然也可以看到12.5 Hz和25 Hz的頻率，但同時(shí)還存在一系列明顯的干擾頻率成分,如9.3 Hz、17.19 Hz、20.31 Hz等，易造成誤診斷。上述結(jié)果表明，雙樹復(fù)小波和奇異值差分譜結(jié)合，可以有效的提取齒輪故障的特征頻率。

圖9 d3分量的希爾伯特包絡(luò)譜

5 工程案例

某鋼鐵公司一高線第25架精軋機(jī)于2007年8月1日出現(xiàn)齒輪箱Z5/Z6齒輪打齒故障，如圖10所示，其中故障特征頻率為76.172 Hz。圖11為早期故障數(shù)據(jù)(6月30日)波形圖和頻譜圖。從波形中基本看不出故障特征信息，在頻譜中可以看到一些邊頻的出現(xiàn)，但是特征不是很明顯，無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別故障齒輪對(duì)應(yīng)的特征頻率。

為了提取故障特征，本文首先利用雙樹復(fù)小波對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行5層分解并重構(gòu)，得到如圖12所示結(jié)果，可以看出第二個(gè)分量d2有較為明顯的沖擊成分。故對(duì)d2求奇異值差分譜如圖13所示。

圖10 齒輪箱損壞圖

圖11 6月30日故障齒輪波形及頻譜

圖12 雙樹復(fù)小波分解圖

圖13 奇異值和差分譜前100個(gè)點(diǎn)

根據(jù)圖13所示，在第2點(diǎn)和第4點(diǎn)都出現(xiàn)了較大突變，如果最大突變點(diǎn)發(fā)生在前兩個(gè)點(diǎn)，往往取第2個(gè)最大突變點(diǎn)，因?yàn)槠娈愔捣至刻贂?huì)丟失有效信息；對(duì)于同時(shí)存在多個(gè)較大突變點(diǎn)，只需選擇最大突變點(diǎn)即可。圖13中最大突變點(diǎn)在第4個(gè)點(diǎn)，將奇異值分解的前4個(gè)奇異值重構(gòu)，結(jié)果如圖14所示，信號(hào)呈現(xiàn)非常好的周期性沖擊，沖擊周期大約為0.013 s,對(duì)應(yīng)的頻率為76.9 Hz,與齒輪故障特征頻率非常接近。再對(duì)圖14所示的重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行希爾伯特包絡(luò)解調(diào)得到如圖15所示的包絡(luò)譜，可以很清楚的看到76.21 Hz，146.6 Hz和222.8倍頻，與齒輪故障特征頻率76.172 Hz的一倍、二倍和三倍頻非常接近。

圖14 重構(gòu)前4個(gè)奇異值的信號(hào)波形

圖15 SVD重構(gòu)后的希爾伯特包絡(luò)譜

圖16 d2的希爾伯特包絡(luò)譜

圖16所示為直接對(duì)雙樹復(fù)小波分解和重構(gòu)后得到的第2個(gè)分量d2的希爾伯特包絡(luò)譜，也可找到76.21 Hz和152.3 Hz的頻率，但存在93.75 Hz和169.9 Hz的頻率干擾成分，不利于對(duì)故障部位做出準(zhǔn)確判斷。

6 結(jié) 論

本文研究了將雙樹復(fù)小波分解與奇異值差分譜結(jié)合的方法，通過(guò)齒輪故障實(shí)驗(yàn)和工程案例驗(yàn)證了方法的有效性。

(1)利用雙樹復(fù)小波變換具有近似平移不變性、避免頻率混疊和有效降噪的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)齒輪故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行雙樹復(fù)小波分解和重構(gòu)，得到不同頻段的分量。

(2)根據(jù)奇異值差分譜理論，可以自動(dòng)的判定SVD分解奇異值重構(gòu)的個(gè)數(shù)，保留了信號(hào)中有用成分，同時(shí)又最大限度地消除了噪聲。

(3)將雙樹復(fù)小波分解與奇異值差分譜結(jié)合的方法應(yīng)用于故障診斷中，可以有效和準(zhǔn)確的找到故障特征信息。

參 考 文 獻(xiàn)

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