“不等式”中的思想方法

胡松

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)展的原動力，它不僅涉及數(shù)學(xué)本體的發(fā)展規(guī)律，也涉及思維過程的滲透和聯(lián)系，了解相關(guān)的思想方法有助于我們將數(shù)學(xué)知識“學(xué)活”、“學(xué)懂”、“學(xué)深”. 本章中就蘊(yùn)藏著一些數(shù)學(xué)思想方法，理解它們，你會透過一個全新的視角來看待你所學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 現(xiàn)通過以下幾個例子來說明.

一、 類比思想

類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想方法. 類比相關(guān)的舊知識學(xué)習(xí)新知識，會讓新知識學(xué)得更易、更深、更透. 在本章的學(xué)習(xí)中多次運(yùn)用類比的思想方法，如不等式的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)類比了等式的基本性質(zhì)；一元一次不等式的定義及解法類比了一元一次方程的定義及解法；列一元一次不等式解實際應(yīng)用問題類比了列一元一次方程解實際應(yīng)用問題等. 通過類比找出新、舊知識的共同點和不同點，在類比的過程中加以區(qū)別，這樣學(xué)起來既簡單又迅速，還能達(dá)到準(zhǔn)確掌握新知識的目的.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

求不等式的解集的過程是解數(shù)量不等關(guān)系的過程，用數(shù)軸表示不等式（組）的解集的過程是將數(shù)量不等關(guān)系圖形化的過程，在此“數(shù)”與“形”要巧妙結(jié)合. 能理解“形”對于“數(shù)”的方便，你可以達(dá)到事半功倍的效果.

【點評】本題中不等式組的解集借助數(shù)軸這一“形”的工具來表示，非常方便和直觀，數(shù)形結(jié)合能幫助我們準(zhǔn)確和快速地寫出不等式組的解集.

例3 解不等式：x+1≤2.

【分析】若能理解絕對值的幾何意義：數(shù)軸上表示該數(shù)的點到原點的距離，那么便可將此不等式轉(zhuǎn)化為-2≤x+1≤2，進(jìn)而解決問題.

【點評】看似一個沒有解決過的絕對值不等式，能利用數(shù)軸輕易地解決，可以看出數(shù)形結(jié)合的好處. 當(dāng)然，本題也可以利用分類討論解決.

三、 分類討論的思想

某些特殊的不等式，看似超出了我們所學(xué)的范圍，但稍加思考，就能發(fā)現(xiàn)可以采用分類討論的方法解決.

【點評】本題并沒有求x和y的值，而是用k表示了x+y的值，將x+y看做是一個整體解決了問題.

五、 模型思想

所有的實際問題離不開模型，不等式也是刻畫現(xiàn)實世界的模型之一，遇到含有不等關(guān)系的實際問題時，建立不等式（組）模型，可以順利地解決此類問題.

例7 畢業(yè)了，孔明同學(xué)準(zhǔn)備利用暑假賣報紙賺取140～200元錢，買一份禮物送給父母. 已知：在暑假期間，如果賣出的報紙不超過1 000份，則每賣出一份報紙可得0.1元；如果賣出的報紙超過1 000份，則超過部分每份可得0.2元.

（1） 請說明：孔明同學(xué)要達(dá)到目的，賣出報紙的份數(shù)必須超過1 000份.

（2） 孔明同學(xué)要通過賣報紙賺取140～200元，請計算他賣出報紙的份數(shù)在哪個范圍內(nèi).

【點評】本題在解決實際問題時，把問題轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決. 當(dāng)實際問題中存在不等關(guān)系時，可根據(jù)不等關(guān)系建立不等式（組）模型，通過解不等式（組）來解決實際問題.

（作者單位：江蘇省南京市二十九中教育集團(tuán)初級中學(xué)）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)展的原動力，它不僅涉及數(shù)學(xué)本體的發(fā)展規(guī)律，也涉及思維過程的滲透和聯(lián)系，了解相關(guān)的思想方法有助于我們將數(shù)學(xué)知識“學(xué)活”、“學(xué)懂”、“學(xué)深”. 本章中就蘊(yùn)藏著一些數(shù)學(xué)思想方法，理解它們，你會透過一個全新的視角來看待你所學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 現(xiàn)通過以下幾個例子來說明.

一、 類比思想

類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想方法. 類比相關(guān)的舊知識學(xué)習(xí)新知識，會讓新知識學(xué)得更易、更深、更透. 在本章的學(xué)習(xí)中多次運(yùn)用類比的思想方法，如不等式的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)類比了等式的基本性質(zhì)；一元一次不等式的定義及解法類比了一元一次方程的定義及解法；列一元一次不等式解實際應(yīng)用問題類比了列一元一次方程解實際應(yīng)用問題等. 通過類比找出新、舊知識的共同點和不同點，在類比的過程中加以區(qū)別，這樣學(xué)起來既簡單又迅速，還能達(dá)到準(zhǔn)確掌握新知識的目的.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

求不等式的解集的過程是解數(shù)量不等關(guān)系的過程，用數(shù)軸表示不等式（組）的解集的過程是將數(shù)量不等關(guān)系圖形化的過程，在此“數(shù)”與“形”要巧妙結(jié)合. 能理解“形”對于“數(shù)”的方便，你可以達(dá)到事半功倍的效果.

【點評】本題中不等式組的解集借助數(shù)軸這一“形”的工具來表示，非常方便和直觀，數(shù)形結(jié)合能幫助我們準(zhǔn)確和快速地寫出不等式組的解集.

例3 解不等式：x+1≤2.

【分析】若能理解絕對值的幾何意義：數(shù)軸上表示該數(shù)的點到原點的距離，那么便可將此不等式轉(zhuǎn)化為-2≤x+1≤2，進(jìn)而解決問題.

【點評】看似一個沒有解決過的絕對值不等式，能利用數(shù)軸輕易地解決，可以看出數(shù)形結(jié)合的好處. 當(dāng)然，本題也可以利用分類討論解決.

三、 分類討論的思想

某些特殊的不等式，看似超出了我們所學(xué)的范圍，但稍加思考，就能發(fā)現(xiàn)可以采用分類討論的方法解決.

【點評】本題并沒有求x和y的值，而是用k表示了x+y的值，將x+y看做是一個整體解決了問題.

五、 模型思想

所有的實際問題離不開模型，不等式也是刻畫現(xiàn)實世界的模型之一，遇到含有不等關(guān)系的實際問題時，建立不等式（組）模型，可以順利地解決此類問題.

例7 畢業(yè)了，孔明同學(xué)準(zhǔn)備利用暑假賣報紙賺取140～200元錢，買一份禮物送給父母. 已知：在暑假期間，如果賣出的報紙不超過1 000份，則每賣出一份報紙可得0.1元；如果賣出的報紙超過1 000份，則超過部分每份可得0.2元.

（1） 請說明：孔明同學(xué)要達(dá)到目的，賣出報紙的份數(shù)必須超過1 000份.

（2） 孔明同學(xué)要通過賣報紙賺取140～200元，請計算他賣出報紙的份數(shù)在哪個范圍內(nèi).

【點評】本題在解決實際問題時，把問題轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決. 當(dāng)實際問題中存在不等關(guān)系時，可根據(jù)不等關(guān)系建立不等式（組）模型，通過解不等式（組）來解決實際問題.

（作者單位：江蘇省南京市二十九中教育集團(tuán)初級中學(xué)）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)展的原動力，它不僅涉及數(shù)學(xué)本體的發(fā)展規(guī)律，也涉及思維過程的滲透和聯(lián)系，了解相關(guān)的思想方法有助于我們將數(shù)學(xué)知識“學(xué)活”、“學(xué)懂”、“學(xué)深”. 本章中就蘊(yùn)藏著一些數(shù)學(xué)思想方法，理解它們，你會透過一個全新的視角來看待你所學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 現(xiàn)通過以下幾個例子來說明.

一、 類比思想

類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想方法. 類比相關(guān)的舊知識學(xué)習(xí)新知識，會讓新知識學(xué)得更易、更深、更透. 在本章的學(xué)習(xí)中多次運(yùn)用類比的思想方法，如不等式的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)類比了等式的基本性質(zhì)；一元一次不等式的定義及解法類比了一元一次方程的定義及解法；列一元一次不等式解實際應(yīng)用問題類比了列一元一次方程解實際應(yīng)用問題等. 通過類比找出新、舊知識的共同點和不同點，在類比的過程中加以區(qū)別，這樣學(xué)起來既簡單又迅速，還能達(dá)到準(zhǔn)確掌握新知識的目的.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

求不等式的解集的過程是解數(shù)量不等關(guān)系的過程，用數(shù)軸表示不等式（組）的解集的過程是將數(shù)量不等關(guān)系圖形化的過程，在此“數(shù)”與“形”要巧妙結(jié)合. 能理解“形”對于“數(shù)”的方便，你可以達(dá)到事半功倍的效果.

【點評】本題中不等式組的解集借助數(shù)軸這一“形”的工具來表示，非常方便和直觀，數(shù)形結(jié)合能幫助我們準(zhǔn)確和快速地寫出不等式組的解集.

例3 解不等式：x+1≤2.

【分析】若能理解絕對值的幾何意義：數(shù)軸上表示該數(shù)的點到原點的距離，那么便可將此不等式轉(zhuǎn)化為-2≤x+1≤2，進(jìn)而解決問題.

【點評】看似一個沒有解決過的絕對值不等式，能利用數(shù)軸輕易地解決，可以看出數(shù)形結(jié)合的好處. 當(dāng)然，本題也可以利用分類討論解決.

三、 分類討論的思想

某些特殊的不等式，看似超出了我們所學(xué)的范圍，但稍加思考，就能發(fā)現(xiàn)可以采用分類討論的方法解決.

【點評】本題并沒有求x和y的值，而是用k表示了x+y的值，將x+y看做是一個整體解決了問題.

五、 模型思想

所有的實際問題離不開模型，不等式也是刻畫現(xiàn)實世界的模型之一，遇到含有不等關(guān)系的實際問題時，建立不等式（組）模型，可以順利地解決此類問題.

例7 畢業(yè)了，孔明同學(xué)準(zhǔn)備利用暑假賣報紙賺取140～200元錢，買一份禮物送給父母. 已知：在暑假期間，如果賣出的報紙不超過1 000份，則每賣出一份報紙可得0.1元；如果賣出的報紙超過1 000份，則超過部分每份可得0.2元.

（1） 請說明：孔明同學(xué)要達(dá)到目的，賣出報紙的份數(shù)必須超過1 000份.

（2） 孔明同學(xué)要通過賣報紙賺取140～200元，請計算他賣出報紙的份數(shù)在哪個范圍內(nèi).

【點評】本題在解決實際問題時，把問題轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決. 當(dāng)實際問題中存在不等關(guān)系時，可根據(jù)不等關(guān)系建立不等式（組）模型，通過解不等式（組）來解決實際問題.

（作者單位：江蘇省南京市二十九中教育集團(tuán)初級中學(xué)）