線性模型中總平方和分解公式的證明*

王劍紅,楊素芳

(山西藥科職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部,山西 太原 030031)

線性模型中總平方和分解公式的證明*

王劍紅,楊素芳

(山西藥科職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部,山西 太原 030031)

文中結(jié)合矩陣的知識,通過正交變換,給出了正交飽和設(shè)計對應(yīng)的線性統(tǒng)計模型中總平方和分解公式的另一種證明方法，優(yōu)化了文獻[1]中對其的證明.

矩陣;冪等陣;正交矩陣;投影矩陣

對于正交飽和設(shè)計問題，通?？捎萌缦碌木€性統(tǒng)計模型來描述

Y=β01n+β1x1+…+βmxm+ε=μ+ε

(1)

其中Y=(y1,y2,…,yn)T是觀察值向量；xj=(x1j,x2j,…,xnj)/，j=1,2,…,m由試驗設(shè)計來確定；矩陣X=(x1,x2,…,xm)為上述正交表H所對應(yīng)的設(shè)計陣；β=(β0,`β1,…,βm)T；ε=(ε1,ε2,…,εn)/是誤差向量，且εi(i=1,2,…,n)是相互獨立同分布的隨機變量，且有ε～N(0,σ2In).

由于模型(1)是基于正交飽和設(shè)計，故此時的誤差平方和等于零，從而使總平方和SSj與各列的效應(yīng)平方和之間有如下總平方和分解公式

SST=SS1+SS2+…+SSm,fT=f1+f2+…+fm成立.

這篇文章我們給出了總平方和SST與各列的效應(yīng)平方和SSj之間的矩陣證明方法,優(yōu)化了文獻[1]中對其的證明.

1 預(yù)備知識

在一個試驗設(shè)計中，當(dāng)被考慮因子(包括交互作用)個數(shù)多到使得需估計參數(shù)的個數(shù)達到可估計參數(shù)的最大個數(shù)時，這樣的試驗設(shè)計稱為飽和設(shè)計.當(dāng)一個飽和設(shè)計又為一個正交設(shè)計時，稱為正交飽和設(shè)計.

2 主要研究結(jié)果及證明

又注意到

Tj為對應(yīng)設(shè)計陣第j列的置換矩陣，即Tj中只有0和1兩個元素，而且每一行、每一列有且只有一個1，其余的元素全是0.由張應(yīng)山的博士論文知,Tj具有存在性.

取

故

這樣,對于模型(1)，各列的效應(yīng)平方和

YTAjY,j=1,2,…,m.

且Pn,A1,…,Am為相互正交的投影陣.

因為

diag(Pr1,Pr2,…,Prm)Tdiag(Pr1,Pr2,…,Prm)=

diag(Pr1,Pr2,…,Prm)且Pndiag(Pr1,Pr2,…,Prm)=

Pn,PnAj=0,AiAj=0(i≠j).

所以Pn,A1,…,Am為相互正交的投影陣.

容易驗證

τn=In-Pn=

所以SST=YTτnY=YT(A1+A2+…+Am)Y=

SS1+SS2+…+SSm.

總平方和自由度為fT=n-1,fj=pj-1為第j列平方和的自由度(j=1,2,…,m),而完全正交設(shè)計是指上述正交設(shè)計滿足如下的等式n-1=(p1-1)+(p2-1)+…+(pm-1).

故SST=SS1+SS2+…+SSm,fT=f1+f2+…+fm.對比文獻[1]和本文中證明的方法，顯然用矩陣知識證明更為簡潔.

[1]張曉琴.正交飽和設(shè)計的統(tǒng)計分析[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計,2007,23(1):91-102.

[2]張應(yīng)山.正交表的數(shù)據(jù)分析及其構(gòu)造[D].上海:華東師范大學(xué)博士論文,2006.

[3]茆詩松,周紀(jì)薌,陳穎.試驗設(shè)計[M].北京:中國統(tǒng)計出版社,2004.

[4]張金槐.線性模型參數(shù)估計及其改進[M].長沙:國防科技大學(xué)出版社,1992.

[5]張應(yīng)山.多邊矩陣?yán)碚揫M].北京:中國統(tǒng)計出版社,1993.

[6]程云鵬.矩陣論[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2002.

[7]余錦華,楊維權(quán).多元統(tǒng)計分析與應(yīng)用[M].中山大學(xué)出版社,2005..

(責(zé)任編輯:王宏志)

2014-01-05

王劍紅(1971-),山西汾陽人,碩士,講師.

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A

1008-7974(2014)01-00032-03