淺談小波分析及其應(yīng)用

庸國(guó)祥　崔新

摘 要：本文介紹了小波分析的產(chǎn)生與發(fā)展，并就其原理和數(shù)學(xué)描述給給出了說(shuō)明，進(jìn)一步說(shuō)明了小波分析在消除噪聲方面的應(yīng)用原理與方法，著重進(jìn)行了非平穩(wěn)信號(hào)小區(qū)噪聲的研究，進(jìn)行了算法研究和仿真實(shí)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：小波分析；小波去噪；非平穩(wěn)信號(hào)；matlab仿真 小波分析是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過(guò)近10年的探索研究，重要的數(shù)學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實(shí)。傳統(tǒng)的信號(hào)分析是建立在Fourier變換的基礎(chǔ)之上的。雖然Fourier變換能夠分別從信號(hào)的時(shí)域和頻域進(jìn)行觀察分析，但卻不能把二者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，其Fourier譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒(méi)有局部化分析信號(hào)的能力，不具備時(shí)域信息。因此，F(xiàn)ourier分析使用的是一種全局的變換，要么完全在時(shí)域，要么完全在頻域，因此無(wú)法表述信號(hào)的時(shí)頻局域性質(zhì)，而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號(hào)最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。

小波分析屬于時(shí)頻分析的一種，是一種信號(hào)的時(shí)間——尺度、時(shí)間——頻率的分析方法，它繼承和發(fā)展了Fourier分析理論。它具有多分辨率分析的特點(diǎn)，而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但形狀可改變，且時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。

小波分析在時(shí)域、頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，能較好地解決突變信號(hào)與非平穩(wěn)信號(hào)的問(wèn)題。它在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽(yù)為分析信號(hào)的“顯微鏡”。

一、小波分析原理及其數(shù)學(xué)描述

小波分析是一種窗口大?。创翱诿娣e）固定但其形狀可改變，時(shí)問(wèn)和率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率較低的時(shí)間分辨率，即在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨使小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。

二、小波去噪原理

小波消噪（濾波）方法有模極大值方法，尺度空間濾波、閾值法等。利用信號(hào)和噪聲在小波變換尺度空間表現(xiàn)出的不同特征：信號(hào)小波變換的系數(shù)隨尺度的增大而增大，而白噪聲、尖脈沖的幅值、方差、模極大值的稠密度隨尺度的增大而減小，因此對(duì)于含噪聲的信號(hào)進(jìn)行小波分解，重構(gòu)可以對(duì)信號(hào)濾波。

這里主要介紹閾值濾波的方法。

首先，對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度一維小波分解，如圖1用信號(hào)S的三尺度分解進(jìn)一步說(shuō)明多分辨分析。從圖中可以明顯看出，多分辨分析只是對(duì)低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而高頻部分則不予以考慮，分解具有關(guān)系：S=A3+D3+D2+D1，A為信號(hào)低頻部分，D為信號(hào)高頻部分。然后，可以以門(mén)限閾值等形式對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理。最后，對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)即可以達(dá)到消噪的目的。

三 、小波去噪的研究

噪聲通常被認(rèn)為是有害信號(hào)，一般情況下應(yīng)被抑制，然而，噪聲中也可能包含許多有用信息，如機(jī)電一體化設(shè)備運(yùn)行中所產(chǎn)生的噪聲，就在一定程度上包含了反映其工作情況，狀態(tài)信息或參數(shù)等內(nèi)容，因?yàn)檫@些設(shè)備在運(yùn)行時(shí)，其中力、速度、加速度的變化以及振動(dòng)的振幅、頻率等信息都會(huì)以噪聲的形式表現(xiàn)出來(lái)。如果能采集、記錄到這樣的噪聲信號(hào)并對(duì)其進(jìn)行必要的處理，就能從中提取到機(jī)電設(shè)備的工作情況、狀態(tài)參數(shù)等重要信息，還能以此作為我們對(duì)其進(jìn)行監(jiān)控的手段之一。利用噪聲信號(hào)中的有用信息進(jìn)行機(jī)電設(shè)備的故障診斷或狀態(tài)監(jiān)控，關(guān)鍵之處就是要對(duì)它進(jìn)行合適的處理，因?yàn)樵谏a(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)所采集到的噪聲信號(hào)非常繁雜且數(shù)據(jù)量很大，這其中有不少是無(wú)用數(shù)據(jù)，若不進(jìn)行處理的話，很難獲得我們想要的信息。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，所分析的信號(hào)可能包含許多尖峰或突變部分，并且噪聲也不是平衡的白噪聲，對(duì)這種信號(hào)進(jìn)行分析，首先需要作信號(hào)的預(yù)處理，將信號(hào)的噪聲部分去除，提取有用信號(hào)。對(duì)這種信號(hào)的消噪小波分析由于能同時(shí)在時(shí)、頻域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，所以它能有效地區(qū)分信號(hào)中的突變部分和噪聲，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的消噪。

1、小波分析用于降噪的過(guò)程

小波分析用于降噪的過(guò)程，可細(xì)分為如下幾段。

1）分析過(guò)程：選定一種小波，對(duì)信號(hào)進(jìn)行N層小波（小波包）分解；

2）作用閾值過(guò)程：對(duì)分解得到的各層系數(shù)選擇一個(gè)閾值，并對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)作用軟閾值處理；

3）重建過(guò)程：降處理后的系數(shù)通過(guò)小波（小波包）重建恢復(fù)原始信號(hào)。

這個(gè)過(guò)程基于下如基本假設(shè)，即攜帶信息的原始信號(hào)在頻域或小波域的能量相對(duì)集中，表現(xiàn)為能量密集區(qū)域的信號(hào)分析系數(shù)的絕對(duì)值比較大，而噪聲信號(hào)的能量譜相對(duì)分散，所以其系數(shù)的絕對(duì)值小，這樣我們就可以通過(guò)作用閾值的方法過(guò)濾掉絕對(duì)值小于一定閾值的小波系數(shù)，從而達(dá)到降噪的效果。

2、用小波分析對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)消除噪聲

在一個(gè)方波信號(hào)上加入一個(gè)高斯白噪聲，再將其分別用小波分析和傅里葉變換進(jìn)行信號(hào)噪聲消除。

1）小波基的選擇：

作為小波的函數(shù)，它一定要滿足容許條件，在時(shí)域一定要是有限支撐的，同時(shí)，也希望在頻域也是有限支撐的，但若時(shí)域越窄，其頻域必然是越寬，反之亦然。在時(shí)域和頻域的有限支撐方面往往只能取一個(gè)折中。此外，希望由母小波形成的是兩兩正交的；進(jìn)一步希望有高階的消失矩，希望與相關(guān)的濾波器具有線性相位等等。這里選擇的是sym小波，又稱為正交小波，它是雙正交小波，并是緊支撐的，且接近對(duì)稱（故所用的濾波器可接近于線性相位）。

2）小波多尺度分解各子帶系數(shù)的特點(diǎn)及噪聲影響

對(duì)圖像的小波變換覆蓋了圖像頻帶90%的小波系數(shù)集中在21、22、23它們包含了大部分圖像信息，所以可以只考慮這三個(gè)尺度的信息，而尺度2j> 23的信息保留在圖像的低頻分量中。隨著層數(shù)的增加，小波系數(shù)的范圍越來(lái)越大，說(shuō)明較低層的小波系數(shù)具有更重要的地位。分辨率最低時(shí)，該子帶小波系數(shù)的范圍比別的子帶小波系數(shù)范圍寬，值和方差都比別的要大，說(shuō)明這些小波系數(shù)同樣具有重要地位。

在各個(gè)子帶做特征提取之前，應(yīng)首先考慮圖像中噪聲對(duì)子帶系數(shù)的影響。根據(jù)Donoho的理論對(duì)含噪圖像連續(xù)做幾次小波分解之后，由空間分布不均勻的干凈圖像所對(duì)應(yīng)的各尺度上小波系數(shù)在某些特定的位置有較大的值，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)干凈圖像的畸變位置和重要信息，而其它大部分位置的值較??；對(duì)于白噪聲而言，它對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)在每一尺度上的分布是均勻的，并隨著尺度的增加，系數(shù)的幅值有所減小?？梢钥闯?，噪聲的影響主要集中在最高頻子帶中。因此考慮消噪問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)噪聲小波分解的系數(shù)的特點(diǎn)找一個(gè)合適閾值λ，把低于λ的小波系數(shù)視為主要由噪聲引起的設(shè)為0，而高于λ的予以保留，對(duì)最高頻子帶可提高閾值以減少噪聲影響。

結(jié)語(yǔ)

本文基于小波分析在時(shí)域、頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，提出了應(yīng)用小波分析方法對(duì)含噪聲速變信號(hào)進(jìn)行信噪分離處理，以及對(duì)速變數(shù)據(jù)突變點(diǎn)進(jìn)行特征提取。小波分析有傅立葉分析不可比擬的優(yōu)點(diǎn)。可見(jiàn)小波分析方法對(duì)飛行器遙測(cè)參數(shù)的數(shù)據(jù)處理及分析是非常有意義的一種方法。

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（作者單位：山東省濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261040）