橢圓偏振光中若干公式的推導(dǎo)

張俊吉，王 艷

(1.河南工程學(xué)院 理學(xué)院, 河南 鄭州 451191;2.河南工程學(xué)院 材料與化學(xué)工程學(xué)院, 河南 鄭州 450007)

橢圓偏振光中若干公式的推導(dǎo)

張俊吉1，王 艷2

(1.河南工程學(xué)院 理學(xué)院, 河南 鄭州 451191;2.河南工程學(xué)院 材料與化學(xué)工程學(xué)院, 河南 鄭州 450007)

就橢圓偏振光中若干公式或結(jié)論給出完整的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，同時(shí)對其光矢量的旋轉(zhuǎn)速度和旋轉(zhuǎn)方向進(jìn)行了討論，有助于進(jìn)一步加深對橢圓偏振光的理解.

橢圓偏振光；旋轉(zhuǎn)方向；旋轉(zhuǎn)速度

對一個沿z軸方向傳播的橢圓偏振光而言，可以視作由兩個頻率相同、振動方向(電矢量振動方向分別為x，y軸)相互垂直且沿同一方向(z軸方向)傳播的線偏振光合成.這兩個線偏振光由式(1)和式(2)描述：

Ex=Axcos(ωt-kz),

(1)

Ey=Aycos(ωt-kz+Δφ).

(2)

合成之后的橢圓偏振光由式(3)描述：

(3)

式(3)消去因子(ωt-kz)后可求得一個斜橢圓方程，即

(4)

1 斜橢圓方程的求解

文獻(xiàn)[1]中直接給出式(4)所描述的結(jié)論，對其求解過程一筆帶過，下面給出式(3)的具體求解過程.

由式(1)可得

(5)

進(jìn)一步由式(5)可得

(6)

同時(shí)，利用兩角和的三角函數(shù)關(guān)系式將式(2)展開，可得

Ey=Ay[cos(ωt-kz)cosΔφ-sin(ωt-kz)sinΔφ].

(7)

將式(5)與式(6)代入式(7)中，移項(xiàng)后有

兩邊平方，進(jìn)一步化簡即得

即為文獻(xiàn)[1]中給出的公式.

2 斜橢圓長軸與軸正方向夾角的求解

文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]均直接給出式(4)所描述斜橢圓長軸與x軸正方向之間夾角α(如圖1所示)的表達(dá)式：

(8)

而未給出其求解過程.在其他版本的教材[3-5]中，亦未發(fā)現(xiàn)其求解過程.下面給出該式的具體求解過程.

以圖1所示斜橢圓的長軸為x′軸，短軸為y′軸，可以發(fā)現(xiàn)在x′y′坐標(biāo)系中，該橢圓變?yōu)檎龣E圓,如圖2所示.

圖1 橢圓偏振光光矢量示意圖Fig.1 Light vector diagram of elliptically polarized light

圖2 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)示意圖Fig.2 Diagram of coordinate system rotational

將x′y′坐標(biāo)系中正橢圓的長軸和短軸長度分別設(shè)為a′,b′,對于xy坐標(biāo)系中任一點(diǎn)(Ex，Ey)，其在x′y′坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(Ex′,Ey′)，兩者之間的關(guān)系由下式描述：

Ex′=Excosα+Eysinα;Ey′=Eycosα-Exsinα,

將其代入x′y′坐標(biāo)系中正橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

化簡后可得

與式(4)對比可得

將上述三式聯(lián)立即可求出α的表達(dá)式：

此即為文獻(xiàn)[1]中所給結(jié)論的求解過程.

3 光矢量旋轉(zhuǎn)方向的判定

依據(jù)橢圓偏振光光矢量的旋轉(zhuǎn)方向，橢圓偏振光分為左旋和右旋兩種情形.下面簡要介紹兩種判定光矢量旋轉(zhuǎn)方向的方法.

圖3 光矢量旋轉(zhuǎn)方向的判定Fig.3 Determination of light vector’s rotational direction

3.1定性判定

對式(1)和式(2)描述的兩個線偏振光，對于一個固定的觀測點(diǎn)z，設(shè)在t時(shí)刻,Ex和Ey合成的光矢量末端位于某點(diǎn)A處，經(jīng)過一較短的時(shí)間dt后，光矢量的末端位于點(diǎn)B處,則光矢量末端的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)椤坝葾指向B”.若“由A指向B”這個旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針,則式(1)和式(2)所描述的橢圓偏振光為右旋(如圖3所示)，逆時(shí)針則為左旋橢圓偏振光.

3.2利用Δφ的大小判定

由式(1)和式(2)可知，在任意時(shí)刻t，光矢量E與軸之間的夾角θ(圖3所示)滿足下式：

將上式對時(shí)間t求導(dǎo)，即得光矢量繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的角速度

(9)

由式(9)可知，如果0<Δφ<π，則ω′<0，標(biāo)志著光矢量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩個線偏振光合成的橢圓偏振光為右旋；當(dāng)π<Δφ<2π時(shí)，ω′>0，標(biāo)志著光矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩個線偏振光合成的橢圓偏振光為左旋；Δφ=0或π時(shí)，兩個線偏振光合成線偏振光.上述過程給出了文獻(xiàn)[1]中圖5～22之結(jié)論的理論來源.

采用此方法判定時(shí)需注意：

①此處Δφ為Ey超前Ex矢量的相位；

②須將Ex和Ey的表達(dá)式化為如式(1)與式(2)所示的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中Δφ的取值限定為0≤Δφ≤2π.

4 光矢量的旋轉(zhuǎn)速度

[1] 姚啟鈞.光學(xué)教程[M].2版.北京:高等教育出版社,2008:235-238.

[2] 郁道銀,談恒英.工程光學(xué)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2002:204-207.

[3] 王楚,湯俊雄.光學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001:220-225.

[4] 趙凱華,鐘錫華.光學(xué)(下) [M].北京:北京大學(xué)出版社,1984:187-194.

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Proofofseveralequationsandconclusionsabouttheellipticallypolarizedlight

ZHANG Jun-ji1, WANG Yan2

(1.CollegeofScience,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou451191,China;2.CollegeofMaterialandChemistryEngineering,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou450007,China)

Several equations and conclusions about the elliptically polarized light were proved integrally with mathematics method. At the same time, the rotational direction and velocity of light vector was discussed in this paper. It is helpful to further understand the elliptically polarized light.

elliptically polarized light; rotational direction; rotational velocity

2014-04-09

河南工程學(xué)院博士基金(061601/D2013008)

張俊吉(1983- )，男，河南林州人，講師，博士,主要研究方向?yàn)榧す饧庸ぜ夹g(shù).

O436.3

A

1674-330X(2014)03-0077-04