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    基于Leslie模型的人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)與研究

    2014-08-30 02:12:48侯焱
    科技創(chuàng)新與應(yīng)用 2014年27期
    關(guān)鍵詞:人口

    摘 要:隨著社會(huì)的發(fā)展,人類(lèi)生活水平的不斷提高,人口數(shù)量在不斷的增長(zhǎng)。由于地球的資源有限,隨著人口的增加,人與人的矛盾日漸突出,人口問(wèn)題已成為當(dāng)今世界最備關(guān)注的問(wèn)題之一,當(dāng)然人口增長(zhǎng)規(guī)律的探究以及對(duì)人口總量的預(yù)測(cè)在一個(gè)國(guó)家定制長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展規(guī)劃上面有著非常重要的價(jià)值。

    關(guān)鍵詞:人口;人口模型;人口增長(zhǎng);Leslie模型分析

    引言

    人口增長(zhǎng)模型是人口發(fā)展過(guò)程的定量推測(cè),需要推測(cè)出在未來(lái)的人口增長(zhǎng)趨勢(shì)。通過(guò)對(duì)Leslie人口模型的更細(xì)的結(jié)構(gòu)化,再通過(guò)歷年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以擬合求出未來(lái)的人口總數(shù)據(jù)、人口的性別比例、年齡比例和城鎮(zhèn)農(nóng)村的城鄉(xiāng)構(gòu)成,還有未來(lái)人口中勞動(dòng)力比例人們的撫養(yǎng)水平及老齡化比例,從而可以指定政策來(lái)進(jìn)行宏觀調(diào)控。決定人口增長(zhǎng)的要素為出生率、死亡率和上一年的人口數(shù),但人口分布,人口素質(zhì),宏觀政策和人口結(jié)構(gòu)(如:年齡結(jié)構(gòu),性別比例等)等眾多因素能夠影響出生率與死亡率的波動(dòng),從而從根本上影響人口的增長(zhǎng)。由于對(duì)世界人口的研究,每個(gè)時(shí)間段的世界人口沒(méi)有人口的流動(dòng),故可以認(rèn)為世界人口為一個(gè)封閉的系統(tǒng)。對(duì)于封閉的系統(tǒng)來(lái)說(shuō),計(jì)算人口中數(shù)時(shí)沒(méi)有遷入遷出這個(gè)因素。所以某時(shí)刻人口總量=人口基數(shù)+新生人口數(shù)-死亡人口數(shù)。隨著社會(huì)的不斷發(fā)展,人們的生活質(zhì)量得到了不斷地提高,人口增長(zhǎng)模型也不斷地發(fā)生著改變。從最初的Malthus模型到Logistic模型再到Leslie等模型,世界的人口增長(zhǎng)隨著社會(huì)的發(fā)展在各個(gè)時(shí)期都發(fā)生著不一樣的變化。有些時(shí)候人口增長(zhǎng)模型也會(huì)因?yàn)楦鲊?guó)的國(guó)情而發(fā)上變化。

    1 人口指數(shù)增長(zhǎng)模型(馬爾薩斯Malthus,1766--1834)

    1.1 模型假設(shè)

    時(shí)刻t人口增長(zhǎng)的速率,即單位時(shí)間人口的增長(zhǎng)量,與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比,即人口增長(zhǎng)率為常數(shù)r。以N(t)表示t時(shí)刻某地區(qū)(或國(guó)家)的人口數(shù),假設(shè)人口總數(shù)N(t)足夠大,可以視做連續(xù)函數(shù)處理,且N(t)關(guān)于t連續(xù)可微。

    1.2 模型建立及求解

    顯然此時(shí)人口數(shù)隨時(shí)間呈指數(shù)地增長(zhǎng),故模型稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型(或Malthus模型)。

    1.3 模型檢驗(yàn)

    19世紀(jì)以前對(duì)于歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與人口指數(shù)增長(zhǎng)模型可以很好的契合。19世紀(jì)以后的許多國(guó)家,模型出現(xiàn)了很大的誤差。

    注意到,地球資源是有限的,故指數(shù)增長(zhǎng)模型(Malthus模型)對(duì)未來(lái)人口總數(shù)預(yù)測(cè)非常荒謬,不合常理,應(yīng)該給以修正。

    1.4 模型討論

    為了做進(jìn)一步的討論, 闡明此模型組建過(guò)程中所做的假設(shè)和限制非常必要。

    把人口數(shù)量?jī)H僅看成是時(shí)間的函數(shù),忽略了個(gè)體間的差異(如年齡,性別,大小等)對(duì)人口增長(zhǎng)的影響。

    假定是連續(xù)可微的。這對(duì)于人口數(shù)量足夠大,而生育和死亡現(xiàn)象的發(fā)生在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)是隨機(jī)的,可認(rèn)為是近似成立的。

    人口增長(zhǎng)率是常數(shù),意味著人處于一種不隨時(shí)間改變的環(huán)境當(dāng)中。

    模型所描述的人群應(yīng)該是在一定的空間范圍內(nèi)封閉的,即在所研究的時(shí)間范圍內(nèi)不存在有遷移(遷入或遷出)現(xiàn)象的發(fā)生。

    不難看出,這些假設(shè)是苛刻的,不現(xiàn)實(shí)的,所以模型只符合人口的過(guò)去結(jié)果而不能用于預(yù)測(cè)未來(lái)人口。

    2 阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic)

    一個(gè)模型的缺陷,通??梢栽谀P图僭O(shè)當(dāng)中找到其癥結(jié)所在--或者說(shuō),模型假設(shè)在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用,它決定了一個(gè)模型究竟可以走多遠(yuǎn)。在指數(shù)增長(zhǎng)模型中,我們只考慮了人口數(shù)量本身一個(gè)因素影響人口的增長(zhǎng)速率,事實(shí)上影響人口增長(zhǎng)的另外一個(gè)因素就是資源(包括自然資源,環(huán)境條件等因素)。隨著人口的增長(zhǎng),資源量對(duì)人口開(kāi)始起阻滯作用,因而人口增長(zhǎng)率會(huì)逐漸下降。許多國(guó)家的實(shí)際情況都是如此。定性的分析,人口數(shù)與資源量對(duì)人口增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)均應(yīng)當(dāng)是正向的。

    2.1 模型假設(shè)

    因?yàn)榈厍蛸Y源是有限的,假設(shè)為一個(gè)定值1 (這里事實(shí)上也內(nèi)在的假定了地球的極限承擔(dān)人口數(shù)為1);

    在t時(shí)刻,人口增長(zhǎng)的速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比,為簡(jiǎn)單方便也假設(shè)與當(dāng)時(shí)剩余資源成正比;比例系數(shù)表示人口的固有增長(zhǎng)率;假設(shè)人口總數(shù)N(t)足夠大,可以視做連續(xù)變量處理,且N(t)關(guān)于t連續(xù)可微。

    2.2 模型建立及求解

    由模型假設(shè),可將人口數(shù)的凈增長(zhǎng)率視為人口數(shù)N(t)的函數(shù),由于資源對(duì)人口增長(zhǎng)的限制,應(yīng)是N(t)的減函數(shù),特別是當(dāng)N(t)達(dá)到極限承載人口數(shù)時(shí),應(yīng)有凈增長(zhǎng)率,當(dāng)人口數(shù)N(t)超過(guò)時(shí), 由于受到資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用,人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后,增長(zhǎng)率會(huì)下降,不會(huì)一直呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng),再次引入常數(shù)Nm,用來(lái)表示自然資源和環(huán)境條件下所能容許的最大人口數(shù)量。此時(shí)的人口增長(zhǎng)率得到修正,修正的人口自然增長(zhǎng)率為:

    在這個(gè)模型中,考慮了資源量對(duì)人口增長(zhǎng)率的阻滯作用,因而稱為阻滯增長(zhǎng)模型(或Logistic模型)。

    2.3 模型檢驗(yàn)

    2.4 模型討論

    阻滯增長(zhǎng)模型從一定程度上克服了指數(shù)增長(zhǎng)模型的不足,可以被用來(lái)處理較長(zhǎng)時(shí)期的人口預(yù)測(cè),而指數(shù)增長(zhǎng)模型在處理人口的短期預(yù)測(cè)時(shí)因?yàn)槠湫问降南鄬?duì)簡(jiǎn)單性也常被采用。

    3 Leslie人口模型

    3.1 模型的建立

    Leslie模型是將人口按年齡大小間隔地劃分成m個(gè)年齡組(比如以每10歲為一組),模型要討論在不同時(shí)間人口的年齡分布,對(duì)時(shí)間也加以離散化,其單位與年齡組的間隔相同。時(shí)間離散化為。設(shè)在時(shí)間段t第i年齡組的人口總數(shù)為ni(t),i=1,2,…m,定義向量n(t)=[n1(t),n2(t),…nm(t)]T,模型要研究的是女性的人口分布n(t)隨t的變化規(guī)律,從而進(jìn)一步研究總?cè)丝跀?shù)等指標(biāo)的變化規(guī)律。

    設(shè)第i年齡組的生育率為bi,即bi是單位時(shí)間第i年齡組的每個(gè)女性平均生育女兒的人數(shù);第i年齡組的死亡率為di,即di是單位時(shí)間內(nèi)第i年齡組女性死亡人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比,si=1-di稱為存活率。設(shè)bi、si不隨時(shí)間t變化,根據(jù)bi、si和ni(t)的定義寫(xiě)出ni(t)與ni(t+1)應(yīng)滿足關(guān)系:

    只要求出Leslie矩陣L并根據(jù)人口分布的初始向量n(0),就可以求出t時(shí)段的人口分布向量n(t)。

    3.2 模型的討論

    現(xiàn)如今人們對(duì)于人口模型的要求已經(jīng)不單單的只是它能求出人口總數(shù)而已。在人口預(yù)測(cè)中經(jīng)常需要知道各年齡段的人口,在當(dāng)今社會(huì)中這個(gè)比人口總數(shù)更加有用。例如, 通過(guò)不同年齡段的人數(shù),來(lái)進(jìn)行對(duì)城鎮(zhèn)房屋的建設(shè)、學(xué)校、醫(yī)院等福利設(shè)施的數(shù)目、地點(diǎn)設(shè)置等。這些都可以通過(guò)Leslie人口模型檢點(diǎn)且準(zhǔn)確地做到。此方法適用于物種、動(dòng)物種類(lèi)繁衍預(yù)測(cè)。

    4 結(jié)束語(yǔ)

    隨著人類(lèi)對(duì)問(wèn)題的更加廣泛的研究人口模型不斷的變換,產(chǎn)生了不同的類(lèi)別,但這些模型終究是圍繞著某時(shí)刻人口總量=人口基數(shù)+新生人口數(shù)-死亡人口數(shù)+/-遷入/遷出數(shù)來(lái)得到的。對(duì)于不同部分的拆分能求出不同的結(jié)論能運(yùn)用到不同的實(shí)際條件中,從而可以寫(xiě)出應(yīng)對(duì)方法。

    參考文獻(xiàn)

    [1]楊莉.人口預(yù)測(cè)中的數(shù)學(xué)模型探析[Z].2006(12).

    [2]李自珍.人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型綜述[Z].1982(03).

    [3]趙翌.關(guān)于人口模型的幾點(diǎn)教學(xué)探討[Z].2009(06).

    [4]李永勝.人口預(yù)測(cè)中的模型選擇與參數(shù)認(rèn)定[Z].2004(03).

    [5]方亞玲.對(duì)人口模型的研究[Z].2000(05).

    作者簡(jiǎn)介:侯焱 (1993-),男,遼寧省大連市人,遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院在讀學(xué)士。endprint

    摘 要:隨著社會(huì)的發(fā)展,人類(lèi)生活水平的不斷提高,人口數(shù)量在不斷的增長(zhǎng)。由于地球的資源有限,隨著人口的增加,人與人的矛盾日漸突出,人口問(wèn)題已成為當(dāng)今世界最備關(guān)注的問(wèn)題之一,當(dāng)然人口增長(zhǎng)規(guī)律的探究以及對(duì)人口總量的預(yù)測(cè)在一個(gè)國(guó)家定制長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展規(guī)劃上面有著非常重要的價(jià)值。

    關(guān)鍵詞:人口;人口模型;人口增長(zhǎng);Leslie模型分析

    引言

    人口增長(zhǎng)模型是人口發(fā)展過(guò)程的定量推測(cè),需要推測(cè)出在未來(lái)的人口增長(zhǎng)趨勢(shì)。通過(guò)對(duì)Leslie人口模型的更細(xì)的結(jié)構(gòu)化,再通過(guò)歷年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以擬合求出未來(lái)的人口總數(shù)據(jù)、人口的性別比例、年齡比例和城鎮(zhèn)農(nóng)村的城鄉(xiāng)構(gòu)成,還有未來(lái)人口中勞動(dòng)力比例人們的撫養(yǎng)水平及老齡化比例,從而可以指定政策來(lái)進(jìn)行宏觀調(diào)控。決定人口增長(zhǎng)的要素為出生率、死亡率和上一年的人口數(shù),但人口分布,人口素質(zhì),宏觀政策和人口結(jié)構(gòu)(如:年齡結(jié)構(gòu),性別比例等)等眾多因素能夠影響出生率與死亡率的波動(dòng),從而從根本上影響人口的增長(zhǎng)。由于對(duì)世界人口的研究,每個(gè)時(shí)間段的世界人口沒(méi)有人口的流動(dòng),故可以認(rèn)為世界人口為一個(gè)封閉的系統(tǒng)。對(duì)于封閉的系統(tǒng)來(lái)說(shuō),計(jì)算人口中數(shù)時(shí)沒(méi)有遷入遷出這個(gè)因素。所以某時(shí)刻人口總量=人口基數(shù)+新生人口數(shù)-死亡人口數(shù)。隨著社會(huì)的不斷發(fā)展,人們的生活質(zhì)量得到了不斷地提高,人口增長(zhǎng)模型也不斷地發(fā)生著改變。從最初的Malthus模型到Logistic模型再到Leslie等模型,世界的人口增長(zhǎng)隨著社會(huì)的發(fā)展在各個(gè)時(shí)期都發(fā)生著不一樣的變化。有些時(shí)候人口增長(zhǎng)模型也會(huì)因?yàn)楦鲊?guó)的國(guó)情而發(fā)上變化。

    1 人口指數(shù)增長(zhǎng)模型(馬爾薩斯Malthus,1766--1834)

    1.1 模型假設(shè)

    時(shí)刻t人口增長(zhǎng)的速率,即單位時(shí)間人口的增長(zhǎng)量,與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比,即人口增長(zhǎng)率為常數(shù)r。以N(t)表示t時(shí)刻某地區(qū)(或國(guó)家)的人口數(shù),假設(shè)人口總數(shù)N(t)足夠大,可以視做連續(xù)函數(shù)處理,且N(t)關(guān)于t連續(xù)可微。

    1.2 模型建立及求解

    顯然此時(shí)人口數(shù)隨時(shí)間呈指數(shù)地增長(zhǎng),故模型稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型(或Malthus模型)。

    1.3 模型檢驗(yàn)

    19世紀(jì)以前對(duì)于歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與人口指數(shù)增長(zhǎng)模型可以很好的契合。19世紀(jì)以后的許多國(guó)家,模型出現(xiàn)了很大的誤差。

    注意到,地球資源是有限的,故指數(shù)增長(zhǎng)模型(Malthus模型)對(duì)未來(lái)人口總數(shù)預(yù)測(cè)非?;闹?,不合常理,應(yīng)該給以修正。

    1.4 模型討論

    為了做進(jìn)一步的討論, 闡明此模型組建過(guò)程中所做的假設(shè)和限制非常必要。

    把人口數(shù)量?jī)H僅看成是時(shí)間的函數(shù),忽略了個(gè)體間的差異(如年齡,性別,大小等)對(duì)人口增長(zhǎng)的影響。

    假定是連續(xù)可微的。這對(duì)于人口數(shù)量足夠大,而生育和死亡現(xiàn)象的發(fā)生在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)是隨機(jī)的,可認(rèn)為是近似成立的。

    人口增長(zhǎng)率是常數(shù),意味著人處于一種不隨時(shí)間改變的環(huán)境當(dāng)中。

    模型所描述的人群應(yīng)該是在一定的空間范圍內(nèi)封閉的,即在所研究的時(shí)間范圍內(nèi)不存在有遷移(遷入或遷出)現(xiàn)象的發(fā)生。

    不難看出,這些假設(shè)是苛刻的,不現(xiàn)實(shí)的,所以模型只符合人口的過(guò)去結(jié)果而不能用于預(yù)測(cè)未來(lái)人口。

    2 阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic)

    一個(gè)模型的缺陷,通??梢栽谀P图僭O(shè)當(dāng)中找到其癥結(jié)所在--或者說(shuō),模型假設(shè)在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用,它決定了一個(gè)模型究竟可以走多遠(yuǎn)。在指數(shù)增長(zhǎng)模型中,我們只考慮了人口數(shù)量本身一個(gè)因素影響人口的增長(zhǎng)速率,事實(shí)上影響人口增長(zhǎng)的另外一個(gè)因素就是資源(包括自然資源,環(huán)境條件等因素)。隨著人口的增長(zhǎng),資源量對(duì)人口開(kāi)始起阻滯作用,因而人口增長(zhǎng)率會(huì)逐漸下降。許多國(guó)家的實(shí)際情況都是如此。定性的分析,人口數(shù)與資源量對(duì)人口增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)均應(yīng)當(dāng)是正向的。

    2.1 模型假設(shè)

    因?yàn)榈厍蛸Y源是有限的,假設(shè)為一個(gè)定值1 (這里事實(shí)上也內(nèi)在的假定了地球的極限承擔(dān)人口數(shù)為1);

    在t時(shí)刻,人口增長(zhǎng)的速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比,為簡(jiǎn)單方便也假設(shè)與當(dāng)時(shí)剩余資源成正比;比例系數(shù)表示人口的固有增長(zhǎng)率;假設(shè)人口總數(shù)N(t)足夠大,可以視做連續(xù)變量處理,且N(t)關(guān)于t連續(xù)可微。

    2.2 模型建立及求解

    由模型假設(shè),可將人口數(shù)的凈增長(zhǎng)率視為人口數(shù)N(t)的函數(shù),由于資源對(duì)人口增長(zhǎng)的限制,應(yīng)是N(t)的減函數(shù),特別是當(dāng)N(t)達(dá)到極限承載人口數(shù)時(shí),應(yīng)有凈增長(zhǎng)率,當(dāng)人口數(shù)N(t)超過(guò)時(shí), 由于受到資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用,人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后,增長(zhǎng)率會(huì)下降,不會(huì)一直呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng),再次引入常數(shù)Nm,用來(lái)表示自然資源和環(huán)境條件下所能容許的最大人口數(shù)量。此時(shí)的人口增長(zhǎng)率得到修正,修正的人口自然增長(zhǎng)率為:

    在這個(gè)模型中,考慮了資源量對(duì)人口增長(zhǎng)率的阻滯作用,因而稱為阻滯增長(zhǎng)模型(或Logistic模型)。

    2.3 模型檢驗(yàn)

    2.4 模型討論

    阻滯增長(zhǎng)模型從一定程度上克服了指數(shù)增長(zhǎng)模型的不足,可以被用來(lái)處理較長(zhǎng)時(shí)期的人口預(yù)測(cè),而指數(shù)增長(zhǎng)模型在處理人口的短期預(yù)測(cè)時(shí)因?yàn)槠湫问降南鄬?duì)簡(jiǎn)單性也常被采用。

    3 Leslie人口模型

    3.1 模型的建立

    Leslie模型是將人口按年齡大小間隔地劃分成m個(gè)年齡組(比如以每10歲為一組),模型要討論在不同時(shí)間人口的年齡分布,對(duì)時(shí)間也加以離散化,其單位與年齡組的間隔相同。時(shí)間離散化為。設(shè)在時(shí)間段t第i年齡組的人口總數(shù)為ni(t),i=1,2,…m,定義向量n(t)=[n1(t),n2(t),…nm(t)]T,模型要研究的是女性的人口分布n(t)隨t的變化規(guī)律,從而進(jìn)一步研究總?cè)丝跀?shù)等指標(biāo)的變化規(guī)律。

    設(shè)第i年齡組的生育率為bi,即bi是單位時(shí)間第i年齡組的每個(gè)女性平均生育女兒的人數(shù);第i年齡組的死亡率為di,即di是單位時(shí)間內(nèi)第i年齡組女性死亡人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比,si=1-di稱為存活率。設(shè)bi、si不隨時(shí)間t變化,根據(jù)bi、si和ni(t)的定義寫(xiě)出ni(t)與ni(t+1)應(yīng)滿足關(guān)系:

    只要求出Leslie矩陣L并根據(jù)人口分布的初始向量n(0),就可以求出t時(shí)段的人口分布向量n(t)。

    3.2 模型的討論

    現(xiàn)如今人們對(duì)于人口模型的要求已經(jīng)不單單的只是它能求出人口總數(shù)而已。在人口預(yù)測(cè)中經(jīng)常需要知道各年齡段的人口,在當(dāng)今社會(huì)中這個(gè)比人口總數(shù)更加有用。例如, 通過(guò)不同年齡段的人數(shù),來(lái)進(jìn)行對(duì)城鎮(zhèn)房屋的建設(shè)、學(xué)校、醫(yī)院等福利設(shè)施的數(shù)目、地點(diǎn)設(shè)置等。這些都可以通過(guò)Leslie人口模型檢點(diǎn)且準(zhǔn)確地做到。此方法適用于物種、動(dòng)物種類(lèi)繁衍預(yù)測(cè)。

    4 結(jié)束語(yǔ)

    隨著人類(lèi)對(duì)問(wèn)題的更加廣泛的研究人口模型不斷的變換,產(chǎn)生了不同的類(lèi)別,但這些模型終究是圍繞著某時(shí)刻人口總量=人口基數(shù)+新生人口數(shù)-死亡人口數(shù)+/-遷入/遷出數(shù)來(lái)得到的。對(duì)于不同部分的拆分能求出不同的結(jié)論能運(yùn)用到不同的實(shí)際條件中,從而可以寫(xiě)出應(yīng)對(duì)方法。

    參考文獻(xiàn)

    [1]楊莉.人口預(yù)測(cè)中的數(shù)學(xué)模型探析[Z].2006(12).

    [2]李自珍.人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型綜述[Z].1982(03).

    [3]趙翌.關(guān)于人口模型的幾點(diǎn)教學(xué)探討[Z].2009(06).

    [4]李永勝.人口預(yù)測(cè)中的模型選擇與參數(shù)認(rèn)定[Z].2004(03).

    [5]方亞玲.對(duì)人口模型的研究[Z].2000(05).

    作者簡(jiǎn)介:侯焱 (1993-),男,遼寧省大連市人,遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院在讀學(xué)士。endprint

    摘 要:隨著社會(huì)的發(fā)展,人類(lèi)生活水平的不斷提高,人口數(shù)量在不斷的增長(zhǎng)。由于地球的資源有限,隨著人口的增加,人與人的矛盾日漸突出,人口問(wèn)題已成為當(dāng)今世界最備關(guān)注的問(wèn)題之一,當(dāng)然人口增長(zhǎng)規(guī)律的探究以及對(duì)人口總量的預(yù)測(cè)在一個(gè)國(guó)家定制長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展規(guī)劃上面有著非常重要的價(jià)值。

    關(guān)鍵詞:人口;人口模型;人口增長(zhǎng);Leslie模型分析

    引言

    人口增長(zhǎng)模型是人口發(fā)展過(guò)程的定量推測(cè),需要推測(cè)出在未來(lái)的人口增長(zhǎng)趨勢(shì)。通過(guò)對(duì)Leslie人口模型的更細(xì)的結(jié)構(gòu)化,再通過(guò)歷年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以擬合求出未來(lái)的人口總數(shù)據(jù)、人口的性別比例、年齡比例和城鎮(zhèn)農(nóng)村的城鄉(xiāng)構(gòu)成,還有未來(lái)人口中勞動(dòng)力比例人們的撫養(yǎng)水平及老齡化比例,從而可以指定政策來(lái)進(jìn)行宏觀調(diào)控。決定人口增長(zhǎng)的要素為出生率、死亡率和上一年的人口數(shù),但人口分布,人口素質(zhì),宏觀政策和人口結(jié)構(gòu)(如:年齡結(jié)構(gòu),性別比例等)等眾多因素能夠影響出生率與死亡率的波動(dòng),從而從根本上影響人口的增長(zhǎng)。由于對(duì)世界人口的研究,每個(gè)時(shí)間段的世界人口沒(méi)有人口的流動(dòng),故可以認(rèn)為世界人口為一個(gè)封閉的系統(tǒng)。對(duì)于封閉的系統(tǒng)來(lái)說(shuō),計(jì)算人口中數(shù)時(shí)沒(méi)有遷入遷出這個(gè)因素。所以某時(shí)刻人口總量=人口基數(shù)+新生人口數(shù)-死亡人口數(shù)。隨著社會(huì)的不斷發(fā)展,人們的生活質(zhì)量得到了不斷地提高,人口增長(zhǎng)模型也不斷地發(fā)生著改變。從最初的Malthus模型到Logistic模型再到Leslie等模型,世界的人口增長(zhǎng)隨著社會(huì)的發(fā)展在各個(gè)時(shí)期都發(fā)生著不一樣的變化。有些時(shí)候人口增長(zhǎng)模型也會(huì)因?yàn)楦鲊?guó)的國(guó)情而發(fā)上變化。

    1 人口指數(shù)增長(zhǎng)模型(馬爾薩斯Malthus,1766--1834)

    1.1 模型假設(shè)

    時(shí)刻t人口增長(zhǎng)的速率,即單位時(shí)間人口的增長(zhǎng)量,與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比,即人口增長(zhǎng)率為常數(shù)r。以N(t)表示t時(shí)刻某地區(qū)(或國(guó)家)的人口數(shù),假設(shè)人口總數(shù)N(t)足夠大,可以視做連續(xù)函數(shù)處理,且N(t)關(guān)于t連續(xù)可微。

    1.2 模型建立及求解

    顯然此時(shí)人口數(shù)隨時(shí)間呈指數(shù)地增長(zhǎng),故模型稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型(或Malthus模型)。

    1.3 模型檢驗(yàn)

    19世紀(jì)以前對(duì)于歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與人口指數(shù)增長(zhǎng)模型可以很好的契合。19世紀(jì)以后的許多國(guó)家,模型出現(xiàn)了很大的誤差。

    注意到,地球資源是有限的,故指數(shù)增長(zhǎng)模型(Malthus模型)對(duì)未來(lái)人口總數(shù)預(yù)測(cè)非?;闹?,不合常理,應(yīng)該給以修正。

    1.4 模型討論

    為了做進(jìn)一步的討論, 闡明此模型組建過(guò)程中所做的假設(shè)和限制非常必要。

    把人口數(shù)量?jī)H僅看成是時(shí)間的函數(shù),忽略了個(gè)體間的差異(如年齡,性別,大小等)對(duì)人口增長(zhǎng)的影響。

    假定是連續(xù)可微的。這對(duì)于人口數(shù)量足夠大,而生育和死亡現(xiàn)象的發(fā)生在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)是隨機(jī)的,可認(rèn)為是近似成立的。

    人口增長(zhǎng)率是常數(shù),意味著人處于一種不隨時(shí)間改變的環(huán)境當(dāng)中。

    模型所描述的人群應(yīng)該是在一定的空間范圍內(nèi)封閉的,即在所研究的時(shí)間范圍內(nèi)不存在有遷移(遷入或遷出)現(xiàn)象的發(fā)生。

    不難看出,這些假設(shè)是苛刻的,不現(xiàn)實(shí)的,所以模型只符合人口的過(guò)去結(jié)果而不能用于預(yù)測(cè)未來(lái)人口。

    2 阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic)

    一個(gè)模型的缺陷,通常可以在模型假設(shè)當(dāng)中找到其癥結(jié)所在--或者說(shuō),模型假設(shè)在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用,它決定了一個(gè)模型究竟可以走多遠(yuǎn)。在指數(shù)增長(zhǎng)模型中,我們只考慮了人口數(shù)量本身一個(gè)因素影響人口的增長(zhǎng)速率,事實(shí)上影響人口增長(zhǎng)的另外一個(gè)因素就是資源(包括自然資源,環(huán)境條件等因素)。隨著人口的增長(zhǎng),資源量對(duì)人口開(kāi)始起阻滯作用,因而人口增長(zhǎng)率會(huì)逐漸下降。許多國(guó)家的實(shí)際情況都是如此。定性的分析,人口數(shù)與資源量對(duì)人口增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)均應(yīng)當(dāng)是正向的。

    2.1 模型假設(shè)

    因?yàn)榈厍蛸Y源是有限的,假設(shè)為一個(gè)定值1 (這里事實(shí)上也內(nèi)在的假定了地球的極限承擔(dān)人口數(shù)為1);

    在t時(shí)刻,人口增長(zhǎng)的速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比,為簡(jiǎn)單方便也假設(shè)與當(dāng)時(shí)剩余資源成正比;比例系數(shù)表示人口的固有增長(zhǎng)率;假設(shè)人口總數(shù)N(t)足夠大,可以視做連續(xù)變量處理,且N(t)關(guān)于t連續(xù)可微。

    2.2 模型建立及求解

    由模型假設(shè),可將人口數(shù)的凈增長(zhǎng)率視為人口數(shù)N(t)的函數(shù),由于資源對(duì)人口增長(zhǎng)的限制,應(yīng)是N(t)的減函數(shù),特別是當(dāng)N(t)達(dá)到極限承載人口數(shù)時(shí),應(yīng)有凈增長(zhǎng)率,當(dāng)人口數(shù)N(t)超過(guò)時(shí), 由于受到資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用,人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后,增長(zhǎng)率會(huì)下降,不會(huì)一直呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng),再次引入常數(shù)Nm,用來(lái)表示自然資源和環(huán)境條件下所能容許的最大人口數(shù)量。此時(shí)的人口增長(zhǎng)率得到修正,修正的人口自然增長(zhǎng)率為:

    在這個(gè)模型中,考慮了資源量對(duì)人口增長(zhǎng)率的阻滯作用,因而稱為阻滯增長(zhǎng)模型(或Logistic模型)。

    2.3 模型檢驗(yàn)

    2.4 模型討論

    阻滯增長(zhǎng)模型從一定程度上克服了指數(shù)增長(zhǎng)模型的不足,可以被用來(lái)處理較長(zhǎng)時(shí)期的人口預(yù)測(cè),而指數(shù)增長(zhǎng)模型在處理人口的短期預(yù)測(cè)時(shí)因?yàn)槠湫问降南鄬?duì)簡(jiǎn)單性也常被采用。

    3 Leslie人口模型

    3.1 模型的建立

    Leslie模型是將人口按年齡大小間隔地劃分成m個(gè)年齡組(比如以每10歲為一組),模型要討論在不同時(shí)間人口的年齡分布,對(duì)時(shí)間也加以離散化,其單位與年齡組的間隔相同。時(shí)間離散化為。設(shè)在時(shí)間段t第i年齡組的人口總數(shù)為ni(t),i=1,2,…m,定義向量n(t)=[n1(t),n2(t),…nm(t)]T,模型要研究的是女性的人口分布n(t)隨t的變化規(guī)律,從而進(jìn)一步研究總?cè)丝跀?shù)等指標(biāo)的變化規(guī)律。

    設(shè)第i年齡組的生育率為bi,即bi是單位時(shí)間第i年齡組的每個(gè)女性平均生育女兒的人數(shù);第i年齡組的死亡率為di,即di是單位時(shí)間內(nèi)第i年齡組女性死亡人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比,si=1-di稱為存活率。設(shè)bi、si不隨時(shí)間t變化,根據(jù)bi、si和ni(t)的定義寫(xiě)出ni(t)與ni(t+1)應(yīng)滿足關(guān)系:

    只要求出Leslie矩陣L并根據(jù)人口分布的初始向量n(0),就可以求出t時(shí)段的人口分布向量n(t)。

    3.2 模型的討論

    現(xiàn)如今人們對(duì)于人口模型的要求已經(jīng)不單單的只是它能求出人口總數(shù)而已。在人口預(yù)測(cè)中經(jīng)常需要知道各年齡段的人口,在當(dāng)今社會(huì)中這個(gè)比人口總數(shù)更加有用。例如, 通過(guò)不同年齡段的人數(shù),來(lái)進(jìn)行對(duì)城鎮(zhèn)房屋的建設(shè)、學(xué)校、醫(yī)院等福利設(shè)施的數(shù)目、地點(diǎn)設(shè)置等。這些都可以通過(guò)Leslie人口模型檢點(diǎn)且準(zhǔn)確地做到。此方法適用于物種、動(dòng)物種類(lèi)繁衍預(yù)測(cè)。

    4 結(jié)束語(yǔ)

    隨著人類(lèi)對(duì)問(wèn)題的更加廣泛的研究人口模型不斷的變換,產(chǎn)生了不同的類(lèi)別,但這些模型終究是圍繞著某時(shí)刻人口總量=人口基數(shù)+新生人口數(shù)-死亡人口數(shù)+/-遷入/遷出數(shù)來(lái)得到的。對(duì)于不同部分的拆分能求出不同的結(jié)論能運(yùn)用到不同的實(shí)際條件中,從而可以寫(xiě)出應(yīng)對(duì)方法。

    參考文獻(xiàn)

    [1]楊莉.人口預(yù)測(cè)中的數(shù)學(xué)模型探析[Z].2006(12).

    [2]李自珍.人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型綜述[Z].1982(03).

    [3]趙翌.關(guān)于人口模型的幾點(diǎn)教學(xué)探討[Z].2009(06).

    [4]李永勝.人口預(yù)測(cè)中的模型選擇與參數(shù)認(rèn)定[Z].2004(03).

    [5]方亞玲.對(duì)人口模型的研究[Z].2000(05).

    作者簡(jiǎn)介:侯焱 (1993-),男,遼寧省大連市人,遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院在讀學(xué)士。endprint

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