曲線箱梁橋的空間傳遞矩陣

閆仙麗，李青寧

(西安建筑科技大學土木工程學院，陜西西安710055)

曲線箱梁橋在現(xiàn)代橋梁建設(shè)中的應用非常廣泛，其受力狀況復雜，尤其在預應力作用下表現(xiàn)為彎扭耦合作用下的空間受力，一直以來都是眾多專家學者研究的熱點［1-5］。目前關(guān)于曲線箱梁橋的設(shè)計理論主要有純扭轉(zhuǎn)理論、約束扭轉(zhuǎn)理論、梁格理論以及橫向分布理論等，計算方法主要包括精確計算法、有限元法、梁格法等［6-7］，各種理論方法都有其優(yōu)缺點及適用范圍。以往的研究方法主要集中于剛度法，相對剛度法而言，傳遞矩陣法力學概念清晰、編程方便、計算精度高，目前已有不少學者將傳遞矩陣法運用于曲線橋計算［8-12］，如孫建鵬［13］將精細積分法與傳遞矩陣法相結(jié)合，推出了曲線梁橋在不同荷載情況下的精細積分公式，王福敏［14］將傳遞矩陣運用于曲線橋的工程實踐等，但是文獻［13］中傳遞矩陣為隱式，計算中采用精細積分法，計算復雜且耗時，文獻［14］采用推導方法復雜，影響其推廣應用，且二者均沒有考慮箱梁剪切中心與形心可能不重合的影響，為此本文結(jié)合平衡方程、卡式定理及虛功原理推導了線彈性曲線箱梁的空間傳遞矩陣。

1 曲線箱梁的狀態(tài)向量

如圖1所示懸臂梁(計算過程中懸臂梁的固定端根據(jù)不同情況選取為i端或j端)，半徑為R，取單元i端局部坐標系為:原點為截面形心C，x軸為截面形心連線，y軸為截面徑向形心主軸，z軸為截面豎向形心主軸。zs為剪切中心到形心軸的距離，α為曲梁的中心角，規(guī)定曲率正方向為順時針方向。

圖1 曲線箱梁計算圖Fig.1 Calculation diagram of curved box-girder bridge

曲線箱梁的狀態(tài)向量包括:3個方向的力、力矩及其對應的位移，寫成向量形式為 S=［NVyVzTMyMzuxuyuzφxφyφz］T，其中軸力N，彎矩Mz，My作用點為形心C，剪力Vy，Vz和扭矩T作用點為剪切中心S。

懸臂梁段i、j端的狀態(tài)向量關(guān)系為

式中:T為曲梁由i端到j(luò)端的傳遞矩陣。

2 傳遞矩陣T的推導

計算中假定:箱梁為彈性受力狀態(tài);由于翹曲畸變引起的內(nèi)力較小，所以計算中忽略二者影響;箱梁剪切中心與截面形心位置不在同一點。

根據(jù)傳遞矩陣T中元素的物理意義，將矩陣分成4 部分(T1，T2，T3，T4)分別進行求解，如式(2)所示。

2.1 求解 T1

T1各項的物理意義為:當懸臂梁在i端受到節(jié)點力 Fi=［NiVyiVziTiMyiMzi］T作用時，在截面j端產(chǎn)生的力:

Fj=［NjVyjVzjTjMyjMzj］T

選取基本體系為j端固定的懸臂梁，由平衡條件得

寫成矩陣形式為

式中:

2.2 求解T2

T2各項的物理意義為:當懸臂梁在i端受到的支座位移Ui=［uxiuyiuziφxiφyiφzi］T作用時，在截面j端產(chǎn)生的力:

Fj=［NjVyjVzjTjMyjMzj］T即:

選取基本體系為i端固定的懸臂梁，由平衡條件得

2.3 求解 T3

T3各項的物理意義為:當懸臂梁在i端受到節(jié)點力Fi=［NiVyiVziTiMyiMzi］T的作用時，在截面j端產(chǎn)生的位移:

Uj=［uxjuyjuzjφxjφyjφzj］T

即:

選取基本體系為j端固定的懸臂梁，設(shè)i端受到節(jié)點力Fi作用時，梁上任一點θ處的截面內(nèi)力為

曲線梁的應變能為

式中:Ay、Az、Ax分別為箱梁y、z方向的剪切面積、截面積;Ⅰy、Ⅰz、K為箱梁y、z軸方向的截面慣性矩、截面扭轉(zhuǎn)常數(shù);μ為剪切系數(shù)。

由卡氏原理求出T3中各元素:

計算得到

式中:

2.4 求解 T4

T4各項的物理意義為:當懸臂梁在i端有支座位移 Ui=［uxiuyiuziφxiφyiφzi］T作用時，在截面j端產(chǎn)生的位移:

Uj=［uxjuyjuzjφxjφyjφzj］T即:

選取計算基本體系為i端固定的懸臂梁，令i端分別發(fā)生各個方向的單位支座位移uli時，求j端產(chǎn)生的相應位移值tjk。根據(jù)虛功原理，采用單位力法，因在靜定結(jié)構(gòu)中，支座位移不產(chǎn)生內(nèi)力，因此虛功原理表達式簡化為

式中:tjk為i端位移值，uli為i端支座位移(分別取uxi、uyi、uzi、φxi、φyi、φzi);Ril為i端支座反力。

計算結(jié)果如下:

3 外荷載作用下的傳遞矩陣

3.1 基本概念及求解方法

考慮外荷載作用時，為使計算簡單，將外荷載項引入傳遞矩陣內(nèi)部，在單元傳遞關(guān)系中，增加一個恒等式1≡1。

定義梁上任意點的狀態(tài)矢量為 S=［NVyVzTMyMzuxuyuzφxφyφz1］T，則單元兩端傳遞關(guān)系為

式中:T=為13×13矩陣，表示包含外荷載項的曲梁單元由i端到j(luò)端的傳遞矩陣;pt1，p-p t12，p為外荷載p引起的內(nèi)力和變形，根據(jù)外荷載的不同類型，p取為qz、Pz、Mx等。

定義:

式中:SPF為外荷載p引起的力向量，SPδ為外荷載p引起的位移向量。

將外荷載分別單獨作用于單元基本計算體系，求解單元的外荷載向量。

3.1.1 SPF求解

SPF各項的物理意義為:當懸臂梁在單獨單位外荷載下作用時，在截面j端產(chǎn)生的力 Fj={NjVyjVzjTjMyjMzj}T，選取基本體系為j端固定的懸臂梁，由平衡條件得

式中:Px、Py、Pz、T、My、Mz分別為荷載的x向、y向、z向分量及其對j端的力矩。

3.1.2 SPδ求解

SP各項的物理意義為:當懸臂梁在單獨單位外δ荷載下作用時，在截面j端產(chǎn)生的位移 Uj=［uxjuyjuzjφxjφyjφzj］T。選取計算基本體系為j端固定的懸臂梁，參照T3求解過程，將節(jié)點力換為外荷載，由卡式定理求解。

3.2 均布豎向荷載qz作用下外荷載項的求解

如圖2所示，均布豎向荷載qz作用下，由平衡條件和卡式定理得:單元j端的外荷載向量為

式中:

圖2 均布豎向荷載qzFig.2 Vertical uniformly distributed load qz

3.3 集中豎向荷載Pz作用下外荷載項的求解

如圖3所示，Pz作用下，由平衡條件和卡式定理得:單元j端的外荷載向量為

式中:

圖3 集中豎向荷載PzFig.3 Vertical concentrated load Pz

3.4 集中扭轉(zhuǎn)荷載Mx作用下外荷載項的求解

如圖4所示，Mx作用下，由平衡條件和卡式定理得:單元j端的外荷載向量為

式中:

圖4 集中扭轉(zhuǎn)荷載MxFig.4 Concentrated torsional load Mx

4 計算實例

為了驗證公式的正確性，采用模型試驗梁示例。如圖5所示單跨曲線箱梁橋，橋長30 m，梁寬8 m，曲線半徑R=30 m，圓心角為57°，單箱單室截面，所受荷載為沿全橋的均布荷載100 kN/m，集中豎向力280 kN，集中豎向扭矩1 000 kN·m，求截面內(nèi)力。

圖5 橋梁計算簡圖及截面尺寸(cm)Fig.5 Bridge calculation diagram and section size(cm)

將該橋梁平均分為8段(節(jié)點編號順序如圖5)，定義任意截面的狀態(tài)矢量為 Sk=［NVyVzTMyMzuxuyuzφxφyφz1］Tk(k=1，2，…，9)，則每段梁的傳遞關(guān)系為

式中:Tk=為各段梁單元的傳遞矩陣。

T1，3，4，5，6，7中 ，pt1，p，pt2，p，…，pt12，p為均布荷載下SPqz中相應數(shù)值，即pti，p=qztqz i，p，式中 α=7.125°;

T2中，pt1，p，pt2，p，…，pt12，p為均布荷載SPqz和集中荷載SPFz下中相應數(shù)值的和，即pti，p=，式中:α=7.125°，θ=0°，γ=7.125°;

T8中，pt1，p，pt2，p，…，pt12，p為均布荷載SPqz和集中扭轉(zhuǎn)荷載SPMx下中相應數(shù)值的和，即pti，p，式中 α =7.125°，θ=0°，γ =7.125°。

結(jié)構(gòu)整體傳遞方程為

將邊界條件:

S1=［NVyVzT0 0 0 0 0 0 φyφz1］1T

S9=［0VyVzT0 0ux0 0 0 φyφz1］9T

代入式(25)得到邊界條件中的未知參數(shù)，然后代入每段梁的傳遞矩陣式(24)，得到所有截面的狀態(tài)矢量。

將上述傳遞過程采用Matlab軟件進行編程計算，得到結(jié)果如表1所示。

表1 傳遞矩陣法(TMM)與有限元法(FEM)計算的橋梁內(nèi)力值Table 1 Internal force of the model bridge calculated by TMM and FEM

為與傳遞矩陣法相比較，將該曲線梁橋采用有限元軟件Midas進行建模分析，采用“以直代曲”法，將全橋劃分為16，40，80個直梁單元分別進行建模分析，其計算結(jié)果如表1。

對比表1有限元軟件Midas與本文傳遞矩陣公式法計算得到的內(nèi)力結(jié)果，可看出2種方法計算結(jié)果基本吻合，有限元分析中，隨著單元劃分數(shù)量增加，其結(jié)果越來越接近于傳遞矩陣法計算結(jié)果，說明相比于有限元法，傳遞矩陣公式法更為精確，劃分8個單元的精度便可高于有限元法80個單元的結(jié)果，原因在于本文推導傳遞矩陣公式均為解析解。

4 結(jié)論

1)本文推導了曲線箱梁橋的空間傳遞矩陣公式，針對實例進行了編程運算，與有限元法計算結(jié)果進行對比，二者結(jié)果基本吻合，說明該公式是有效的，本文推導方法可行。

2)通過對不同單元劃分情況下的有限元分析結(jié)果與傳遞矩陣法分析結(jié)果進行對比可得出，本文傳遞矩陣公式法因其為精確解析解，計算結(jié)果比“以直代曲”有限元法法更為精確，劃分較少單元卻能達到很高的精度，計算效率提高。

3)由于本文推導公式均為顯式，且為精確解，在簡單荷載情況下，手算也可實現(xiàn)?？捎糜诠こ碳皩W習中的計算及檢驗。

4)從本文推導過程可看出，與傳統(tǒng)初參數(shù)法相比較，本文推導方法概念清晰，計算簡單，可推廣應用于其他結(jié)構(gòu)在各種不同荷載情況下傳遞矩陣公式的推導。

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