(3+1)維三次-五次Gross-Pitaevskii方程在非對稱勢阱下的精確解

紀(jì)慶群， 陳 浩

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣州 510006)

Gross-Pitaevskii方程(GPE)是玻色愛因斯坦凝聚中的一個重要模型，用來描述凝聚物物質(zhì)波的函數(shù)[1]. 另外，在光纖、等離子物理、流體力學(xué)中也具有重要作用. 研究GPE得出了一些可行的解法[2-3]. 例如：廣田法、雅克比橢圓函數(shù)法、自相似變換和F展開法. (1+1)維GPE的穩(wěn)定孤子解已經(jīng)得出，并已在實驗中得到驗證[4].

近年來，當(dāng)勢阱為拋物線形，散射系數(shù)為常數(shù)時，得到一系列的周期解和行波解.如考慮兩體和三體相互作用時各向同性下GPE的自相似解[6]、通過數(shù)據(jù)值計算[7]或自相似變換[8]得到雪茄型勢阱下(3+1)維GPE的精確解.但僅考慮易軸或易平面對稱，很少考慮3個方向的各向異性.

本文采用F展開法和齊次平衡法[9]求解3個方向各向異性的GPE，得出雅克比橢圓函數(shù)解.討論了一些解的動力學(xué)性質(zhì)和各向異性對孤子的影響.

1 Gross-Pitaevskii方程及其解法

考慮如下的(3+1)維三次-五次GPE：

V(x,y,z,t)u=iγ(t)u，

(1)

式(1)可以寫成振幅和相位的形式

u(x,y,z,t)=A(x,y,z,t)exp[iB(x,y,z,t)]，

(2)

把式(2)帶入式(1)中，可以得到耦合方程：

(3)

(4)

根據(jù)齊次平衡法，做如下變換:

(5)

把式(5)帶入式(3)、(4)可得

ρt+β[ρxBx+ρyBy+ρzBz+ρΔB]=2γρ，

(6)

(7)

用F展開法把解展開為：

ρ=f1(t)+f2(t)F(θ)，

(8)

θ=k1(t)x+k2(t)y+k3(t)z+w(t)，

(9)

B=a1(t)x2+a2(t)y2+a3(t)z2+b1(t)x+

b2(t)y+b3(t)z+e(t).

(10)

其中，fj、ki、w、ai、bi和e(i=1,2,3;j=1,2)均為時間的函數(shù)，F(xiàn)是第一類雅克比橢圓函數(shù)，F(xiàn)′2=c0+c2F2+c4F4.

fjt+2(a1+a2+a3)βfj-2γfj=0，

(11)

kit+2βaiki=0，bit+2βaibi=0，

(12)

(13)

wt+β(k1b1+k2b2+k3b3)=0，

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

在一些約束條件基礎(chǔ)上，解式(11)～(19)，得到：

(20)

(21)

(22)

(23)

其中，i=1,2,3，j=1,2.ki0、bi0、w0和e0是t=0時刻各函數(shù)的初始值. 當(dāng)f10=0時δ=0，否則δ=1. 需要注意的是非線性系數(shù)1、2必須滿足以下2個約束條件：

a1-a2-a3)dt]，

(24)

a1-a2-a3)dt].

(25)

這些式可以理解為式(1)的2個可積條件. 另外，需要注意的是c0、c2和c4必須滿足

(26)

若要得到孤子解，則雅克比橢圓函數(shù)滿足：c0+c2+c4=0. 結(jié)合式(26)，可得

f20=±f10.

(27)

從式(5)、(6)可以看出f10是正常數(shù)，推出1.2是負(fù)數(shù). 意味著兩體相互作用和三體相互作用是相互競爭關(guān)系. 從式(20)～(25)可以看出系數(shù)和參數(shù)均依賴于ai，可以從式(13)中求出ai，然而對于一般的α和β，式(13)沒有具體的解. 為了解這個方程，α和β必須滿足特定的關(guān)系. 本文假設(shè)α/β=α0/β0，α0和β0是同號常數(shù).

2 結(jié)果與分析

通過假設(shè)α/β=α0/β0，得到精確解:

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(b1x+b2y+b3z)+e]}，

(33)

式中，

θ=w0+k1x+k2y+k3z-

(34)

3 討論

圖1 呼吸子解(A)、衰減的孤子解(B)、亮孤子解(C)、暗孤子解(D)、扭結(jié)子解(E)、反扭結(jié)子解(F)

值得注意的是，若考慮β=β0e-εt情況，孤子的振幅和寬度均隨時間變小，并趨于某一固定值，孤子的傳播方向也逐漸穩(wěn)定. 一段時間后，孤子傳播穩(wěn)定，盡管此時沒有增益. 如選擇β=e-1.5t，可得亮孤子解和暗孤子解. 此時圖1C中f20=1，圖1D中f20=-1. 其它參數(shù)和系數(shù)與圖1A、B相同.

圖1E、F為相互對稱的扭結(jié)子和反扭結(jié)子. 參數(shù)和系數(shù)除了F(θ)=tanh(θ)外與圖1C、D相同.

考慮勢阱各向異性的情況，假設(shè)w⊥=w1=w2，當(dāng)勢阱為盤面形(w3>>w⊥)時，式(1)轉(zhuǎn)變?yōu)闇?zhǔn)二維GPE. 當(dāng)勢阱為雪茄型(w3<

圖2A～D顯示了在w3逐漸增大時孤子形狀的變化. 振幅逐漸減小，朝逆時針方向轉(zhuǎn)動，并趨于水平. 由圖2E～H可知，孤子的寬度逐漸增加，說明凝聚物的密度在減小. 當(dāng)w⊥逐漸增大時，也得到類似情況. 需要注意的是，此時孤子沿順時針轉(zhuǎn)動并趨于垂直.

圖2 孤子波形的變化

4 結(jié)論

本文解出了廣義的(3+1)維GPE，得出了一系列雅克比橢圓函數(shù)解.選擇不同的β時，可得到不同類型的孤子解. 當(dāng)β選擇指數(shù)形式時，孤子趨于穩(wěn)定的值. 討論了各向異性對孤子動力學(xué)的影響，發(fā)現(xiàn)在各向異性時，孤子的形狀和穩(wěn)定性存在顯著變化.

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