磁聚焦問題中“最小面積”的探討

(山西省太原市第十二中學(xué)校，山西 太原 030002)

通常把通過磁場(chǎng)的作用，使一束帶電粒子流會(huì)聚于一點(diǎn)的過程叫做磁聚焦，這種作用類似于凸透鏡使平行光線聚焦于透鏡的焦點(diǎn).高中物理有不少以磁聚焦為背景的問題,讓我們先來看一道海南省的高考題:

圖1

如圖1，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形.質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度，沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域.在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng).電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng).不計(jì)重力，求：

(1)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大?。?/p>

(2)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積.

情形1:電子先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

圖2

(2)由(1)中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小，可知自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在A點(diǎn)沿DA方向射出，且自BC邊上其它點(diǎn)垂直于入射的電子的運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC區(qū)域中.因而，圓弧AEC是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界.

情形2:電子先做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后做勻速直線運(yùn)動(dòng)

以上考慮的是電子先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)再做勻速圓周運(yùn)動(dòng)直到從A點(diǎn)穿出.我們很自然地想到,電子也可能先在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再離開磁場(chǎng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，并通過A點(diǎn).

圖3

圖4

圖5

由曲線APB與x軸圍成的面積

兩種情形的結(jié)果完全相同!所以在情形2陰影區(qū)域的面積也應(yīng)該是該題所求的最小面積，只不過情形2中磁場(chǎng)區(qū)域的形狀與情形1中的不同，可見該題的答案不是唯一的.為什么會(huì)出現(xiàn)這兩種不同的情況?事實(shí)上處在BC右側(cè)同一高度的電子在兩種不同形狀的“最小磁場(chǎng)”中的偏轉(zhuǎn)角度完全相同.如從C進(jìn)入的電子偏轉(zhuǎn)角度都是90°，從B進(jìn)入的都未發(fā)生偏轉(zhuǎn)，也易算得從BC中點(diǎn)進(jìn)入的電子偏轉(zhuǎn)角度都是30°.其實(shí)兩個(gè)不同形狀的磁場(chǎng)面積實(shí)際上是所有從BC邊界進(jìn)入的電子的軌跡構(gòu)成的面，把圖2中所有軌跡向右平移到BC邊界就是圖5中最小面積的形狀.通過對(duì)本題兩種不同的解的對(duì)比，不難看出“先直線運(yùn)動(dòng)，后圓周運(yùn)動(dòng)”與“先圓周運(yùn)動(dòng)，后直線運(yùn)動(dòng)”體現(xiàn)了物理過程的對(duì)稱之美；而兩解“最小面積”完全相同，則體現(xiàn)了物理學(xué)的多樣統(tǒng)一之美.