數(shù)列易錯(cuò)點(diǎn)分析

林明霞

數(shù)列內(nèi)容是高考重點(diǎn)內(nèi)容，然而在解答數(shù)列題時(shí)，總是會(huì)在一些細(xì)節(jié)處丟分，現(xiàn)列舉如下，引以為戒.

易錯(cuò)點(diǎn)1：運(yùn)用公式“a =S -S ”不當(dāng)致誤

例1：數(shù)列{a }前n項(xiàng)和s 且a =1，a = s ，求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式.

解析：由a =1，a = s 得a = s （n≥2）a -a = s - s = a （n≥2），得a = a （n≥2）.又a =1，a = ，故數(shù)列{a }從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列

故a =1（n=1） ？搖 （n≥2）.

【誤區(qū)】此題在應(yīng)用s 與a 的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為a =s -s 對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗(yàn)證.易得出數(shù)列{a }為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論.

易錯(cuò)點(diǎn)2：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí)忽視公比的限制條件致誤

例2：求和S=1+x+x +…+x

解析：當(dāng)x=0時(shí)S=1；當(dāng)x=1時(shí)S=n+1；當(dāng)x≠1時(shí)S= ，

∴S=n+1，x=1 ，x≠1.

【誤區(qū)】忽視等比數(shù)列公比q≠0的前提條件直接按等比數(shù)列求和，然后利用等比數(shù)列求和時(shí)忽視對公比q=1和q≠1的討論.

易錯(cuò)點(diǎn)3：忽視等差數(shù)列的公差的限制條件致誤

例3：在公差為d的等差數(shù)列{a }中，已知a ，a ，a 成等比數(shù)列.已知數(shù)列{a }前10項(xiàng)和為45，求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式.

解析：由題意a =a ·a 即（a +3d） =a ·（a +7d），即9d =a ·d，

∴d=0或9d=a .

當(dāng)d=0時(shí)10a =45，則a = ，∴a = .

當(dāng)9d=a 時(shí)，得10a + d=45，得a =3，d= ，∴a = .

易錯(cuò)點(diǎn)4：由遞推公式證明數(shù)列是等比數(shù)列或等差數(shù)列時(shí)定義運(yùn)用不當(dāng)

例4：已知數(shù)列{a }中首項(xiàng)a =1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)a =2a ，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a =a +1，求a ，a 并證明數(shù)列{a +1}是等比數(shù)列.

解析：a =2a =2，a =a +1=3，

當(dāng)n≥2時(shí)a =a +1，a =2a ，

∴a =2a +1，∴a +1=2a +2，∴ =2（n≥2），所以{a +1}是等比數(shù)列.

【誤區(qū)1】求a ，a 代錯(cuò)遞推公式，得出a =a +1=2，a =2a =4的錯(cuò)誤結(jié)論.

【誤區(qū)2】錯(cuò)誤利用定義證明 為定值，導(dǎo)致證明無法進(jìn)行下去.為了預(yù)防證明目標(biāo)不明的現(xiàn)象，只需設(shè)b =a +1，然后利用定義證明 =2（n≥2）即可.

易錯(cuò)點(diǎn)5：忽視參數(shù)的值致誤

例5：已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和S =n +3n+p，則S =？搖？搖？搖 ？搖.

解析：a =S =4+p，S =10+p，S =18+p，則a =6，a =8，∴a =4+p=4，∴p=0，∴S =40.

【誤區(qū)】忽視等差數(shù)列前n項(xiàng)和特征，直接代入公式出錯(cuò).類似的還有等比數(shù)列前n項(xiàng)和S =a-3 時(shí)應(yīng)有a=1.

易錯(cuò)點(diǎn)6：忽視特殊項(xiàng)致誤

例6：已知等差數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式a =5n-75，則前n項(xiàng)和S 取得最小值時(shí)的正整數(shù)n是？搖？搖？搖？搖.

解析：由a ≤0a ≥0可得5n-75≤05（n+1）-75≥0，∴14≤n≤15，∴n=14或15時(shí)前n項(xiàng)和最小.

【誤區(qū)】該數(shù)列是首項(xiàng)為負(fù)，公差為正的單調(diào)遞增數(shù)列，因此認(rèn)為前面的所有負(fù)值項(xiàng)之和最小，忽視了負(fù)值項(xiàng)與正值項(xiàng)之間的零值項(xiàng)導(dǎo)致出錯(cuò).

易錯(cuò)點(diǎn)7：數(shù)列最值意義不清致誤

例7：已知數(shù)列{a }滿足a =33，a -a =2n，則 的最小值為？搖？搖？搖 ？搖.

解析：a =（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）+a

=2×（n-1）+2×（n-2）+…+2×1+33=n -n+33

∴ =n+ -1

又f（x）=x+ -1（x>0）在[ ，+∞）上為增函數(shù)，在（0， ]上為減函數(shù)，

又n∈N ，f（5）= ，f（6）= ，∴（ ） =f（6）= .

【誤區(qū)】忽視了n為正整數(shù)，直接利用基本不等式求最值導(dǎo)致結(jié)論出錯(cuò).實(shí)際上研究數(shù)列的最值時(shí)，往往借助函數(shù)的思想利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性解決.也可以利用數(shù)列的單調(diào)性的判斷方法：設(shè)b = ，由b -b =[（n+1）+ -1]-（n+ -1）>0，得1- >0，即n（n+1）<33又n為正整數(shù)，所以n≤6，即{b }當(dāng)1≤n≤6單調(diào)遞減，當(dāng)n≥7時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)n=6時(shí) 取得最小值.endprint

數(shù)列內(nèi)容是高考重點(diǎn)內(nèi)容，然而在解答數(shù)列題時(shí)，總是會(huì)在一些細(xì)節(jié)處丟分，現(xiàn)列舉如下，引以為戒.

易錯(cuò)點(diǎn)1：運(yùn)用公式“a =S -S ”不當(dāng)致誤

例1：數(shù)列{a }前n項(xiàng)和s 且a =1，a = s ，求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式.

解析：由a =1，a = s 得a = s （n≥2）a -a = s - s = a （n≥2），得a = a （n≥2）.又a =1，a = ，故數(shù)列{a }從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列

故a =1（n=1） ？搖 （n≥2）.

【誤區(qū)】此題在應(yīng)用s 與a 的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為a =s -s 對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗(yàn)證.易得出數(shù)列{a }為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論.

易錯(cuò)點(diǎn)2：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí)忽視公比的限制條件致誤

例2：求和S=1+x+x +…+x

解析：當(dāng)x=0時(shí)S=1；當(dāng)x=1時(shí)S=n+1；當(dāng)x≠1時(shí)S= ，

∴S=n+1，x=1 ，x≠1.

【誤區(qū)】忽視等比數(shù)列公比q≠0的前提條件直接按等比數(shù)列求和，然后利用等比數(shù)列求和時(shí)忽視對公比q=1和q≠1的討論.

易錯(cuò)點(diǎn)3：忽視等差數(shù)列的公差的限制條件致誤

例3：在公差為d的等差數(shù)列{a }中，已知a ，a ，a 成等比數(shù)列.已知數(shù)列{a }前10項(xiàng)和為45，求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式.

解析：由題意a =a ·a 即（a +3d） =a ·（a +7d），即9d =a ·d，

∴d=0或9d=a .

當(dāng)d=0時(shí)10a =45，則a = ，∴a = .

當(dāng)9d=a 時(shí)，得10a + d=45，得a =3，d= ，∴a = .

易錯(cuò)點(diǎn)4：由遞推公式證明數(shù)列是等比數(shù)列或等差數(shù)列時(shí)定義運(yùn)用不當(dāng)

例4：已知數(shù)列{a }中首項(xiàng)a =1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)a =2a ，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a =a +1，求a ，a 并證明數(shù)列{a +1}是等比數(shù)列.

解析：a =2a =2，a =a +1=3，

當(dāng)n≥2時(shí)a =a +1，a =2a ，

∴a =2a +1，∴a +1=2a +2，∴ =2（n≥2），所以{a +1}是等比數(shù)列.

【誤區(qū)1】求a ，a 代錯(cuò)遞推公式，得出a =a +1=2，a =2a =4的錯(cuò)誤結(jié)論.

【誤區(qū)2】錯(cuò)誤利用定義證明 為定值，導(dǎo)致證明無法進(jìn)行下去.為了預(yù)防證明目標(biāo)不明的現(xiàn)象，只需設(shè)b =a +1，然后利用定義證明 =2（n≥2）即可.

易錯(cuò)點(diǎn)5：忽視參數(shù)的值致誤

例5：已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和S =n +3n+p，則S =？搖？搖？搖 ？搖.

解析：a =S =4+p，S =10+p，S =18+p，則a =6，a =8，∴a =4+p=4，∴p=0，∴S =40.

【誤區(qū)】忽視等差數(shù)列前n項(xiàng)和特征，直接代入公式出錯(cuò).類似的還有等比數(shù)列前n項(xiàng)和S =a-3 時(shí)應(yīng)有a=1.

易錯(cuò)點(diǎn)6：忽視特殊項(xiàng)致誤

例6：已知等差數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式a =5n-75，則前n項(xiàng)和S 取得最小值時(shí)的正整數(shù)n是？搖？搖？搖？搖.

解析：由a ≤0a ≥0可得5n-75≤05（n+1）-75≥0，∴14≤n≤15，∴n=14或15時(shí)前n項(xiàng)和最小.

【誤區(qū)】該數(shù)列是首項(xiàng)為負(fù)，公差為正的單調(diào)遞增數(shù)列，因此認(rèn)為前面的所有負(fù)值項(xiàng)之和最小，忽視了負(fù)值項(xiàng)與正值項(xiàng)之間的零值項(xiàng)導(dǎo)致出錯(cuò).

易錯(cuò)點(diǎn)7：數(shù)列最值意義不清致誤

例7：已知數(shù)列{a }滿足a =33，a -a =2n，則 的最小值為？搖？搖？搖 ？搖.

解析：a =（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）+a

=2×（n-1）+2×（n-2）+…+2×1+33=n -n+33

∴ =n+ -1

又f（x）=x+ -1（x>0）在[ ，+∞）上為增函數(shù)，在（0， ]上為減函數(shù)，

又n∈N ，f（5）= ，f（6）= ，∴（ ） =f（6）= .

【誤區(qū)】忽視了n為正整數(shù)，直接利用基本不等式求最值導(dǎo)致結(jié)論出錯(cuò).實(shí)際上研究數(shù)列的最值時(shí)，往往借助函數(shù)的思想利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性解決.也可以利用數(shù)列的單調(diào)性的判斷方法：設(shè)b = ，由b -b =[（n+1）+ -1]-（n+ -1）>0，得1- >0，即n（n+1）<33又n為正整數(shù)，所以n≤6，即{b }當(dāng)1≤n≤6單調(diào)遞減，當(dāng)n≥7時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)n=6時(shí) 取得最小值.endprint

數(shù)列內(nèi)容是高考重點(diǎn)內(nèi)容，然而在解答數(shù)列題時(shí)，總是會(huì)在一些細(xì)節(jié)處丟分，現(xiàn)列舉如下，引以為戒.

易錯(cuò)點(diǎn)1：運(yùn)用公式“a =S -S ”不當(dāng)致誤

例1：數(shù)列{a }前n項(xiàng)和s 且a =1，a = s ，求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式.

解析：由a =1，a = s 得a = s （n≥2）a -a = s - s = a （n≥2），得a = a （n≥2）.又a =1，a = ，故數(shù)列{a }從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列

故a =1（n=1） ？搖 （n≥2）.

【誤區(qū)】此題在應(yīng)用s 與a 的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為a =s -s 對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗(yàn)證.易得出數(shù)列{a }為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論.

易錯(cuò)點(diǎn)2：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí)忽視公比的限制條件致誤

例2：求和S=1+x+x +…+x

解析：當(dāng)x=0時(shí)S=1；當(dāng)x=1時(shí)S=n+1；當(dāng)x≠1時(shí)S= ，

∴S=n+1，x=1 ，x≠1.

【誤區(qū)】忽視等比數(shù)列公比q≠0的前提條件直接按等比數(shù)列求和，然后利用等比數(shù)列求和時(shí)忽視對公比q=1和q≠1的討論.

易錯(cuò)點(diǎn)3：忽視等差數(shù)列的公差的限制條件致誤

例3：在公差為d的等差數(shù)列{a }中，已知a ，a ，a 成等比數(shù)列.已知數(shù)列{a }前10項(xiàng)和為45，求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式.

解析：由題意a =a ·a 即（a +3d） =a ·（a +7d），即9d =a ·d，

∴d=0或9d=a .

當(dāng)d=0時(shí)10a =45，則a = ，∴a = .

當(dāng)9d=a 時(shí)，得10a + d=45，得a =3，d= ，∴a = .

易錯(cuò)點(diǎn)4：由遞推公式證明數(shù)列是等比數(shù)列或等差數(shù)列時(shí)定義運(yùn)用不當(dāng)

例4：已知數(shù)列{a }中首項(xiàng)a =1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)a =2a ，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a =a +1，求a ，a 并證明數(shù)列{a +1}是等比數(shù)列.

解析：a =2a =2，a =a +1=3，

當(dāng)n≥2時(shí)a =a +1，a =2a ，

∴a =2a +1，∴a +1=2a +2，∴ =2（n≥2），所以{a +1}是等比數(shù)列.

【誤區(qū)1】求a ，a 代錯(cuò)遞推公式，得出a =a +1=2，a =2a =4的錯(cuò)誤結(jié)論.

【誤區(qū)2】錯(cuò)誤利用定義證明 為定值，導(dǎo)致證明無法進(jìn)行下去.為了預(yù)防證明目標(biāo)不明的現(xiàn)象，只需設(shè)b =a +1，然后利用定義證明 =2（n≥2）即可.

易錯(cuò)點(diǎn)5：忽視參數(shù)的值致誤

例5：已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和S =n +3n+p，則S =？搖？搖？搖 ？搖.

解析：a =S =4+p，S =10+p，S =18+p，則a =6，a =8，∴a =4+p=4，∴p=0，∴S =40.

【誤區(qū)】忽視等差數(shù)列前n項(xiàng)和特征，直接代入公式出錯(cuò).類似的還有等比數(shù)列前n項(xiàng)和S =a-3 時(shí)應(yīng)有a=1.

易錯(cuò)點(diǎn)6：忽視特殊項(xiàng)致誤

例6：已知等差數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式a =5n-75，則前n項(xiàng)和S 取得最小值時(shí)的正整數(shù)n是？搖？搖？搖？搖.

解析：由a ≤0a ≥0可得5n-75≤05（n+1）-75≥0，∴14≤n≤15，∴n=14或15時(shí)前n項(xiàng)和最小.

【誤區(qū)】該數(shù)列是首項(xiàng)為負(fù)，公差為正的單調(diào)遞增數(shù)列，因此認(rèn)為前面的所有負(fù)值項(xiàng)之和最小，忽視了負(fù)值項(xiàng)與正值項(xiàng)之間的零值項(xiàng)導(dǎo)致出錯(cuò).

易錯(cuò)點(diǎn)7：數(shù)列最值意義不清致誤

例7：已知數(shù)列{a }滿足a =33，a -a =2n，則 的最小值為？搖？搖？搖 ？搖.

解析：a =（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）+a

=2×（n-1）+2×（n-2）+…+2×1+33=n -n+33

∴ =n+ -1

又f（x）=x+ -1（x>0）在[ ，+∞）上為增函數(shù)，在（0， ]上為減函數(shù)，

又n∈N ，f（5）= ，f（6）= ，∴（ ） =f（6）= .

【誤區(qū)】忽視了n為正整數(shù)，直接利用基本不等式求最值導(dǎo)致結(jié)論出錯(cuò).實(shí)際上研究數(shù)列的最值時(shí)，往往借助函數(shù)的思想利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性解決.也可以利用數(shù)列的單調(diào)性的判斷方法：設(shè)b = ，由b -b =[（n+1）+ -1]-（n+ -1）>0，得1- >0，即n（n+1）<33又n為正整數(shù)，所以n≤6，即{b }當(dāng)1≤n≤6單調(diào)遞減，當(dāng)n≥7時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)n=6時(shí) 取得最小值.endprint