基于雙非線性反饋控制的五維超混沌系統(tǒng)的分析與電路實現(xiàn)

，，，，

(浙江工業(yè)大學(xué) 技術(shù)與教育發(fā)展研究中心，浙江 杭州 310023)

自上世紀(jì)60年代，Lorenz發(fā)現(xiàn)了第一個混沌系統(tǒng)以來，混沌問題的研究越來越受到關(guān)注[1]，尤其是實際應(yīng)用方面更受學(xué)術(shù)界的青睞，以至于較快地促進(jìn)了混沌技術(shù)的應(yīng)用和推廣.我們知道同步控制技術(shù)是制約混沌技術(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵問題，如1999年Chen等利用反控制方法實現(xiàn)了對偶的混沌系統(tǒng)同步控制[2-3]，該系統(tǒng)很快在不同領(lǐng)域的研究和具體技術(shù)實踐中得以廣泛應(yīng)用，隨后的Lorenz系統(tǒng)[4-6]和Chen系統(tǒng)[7-9]之間的轉(zhuǎn)換系統(tǒng)Lü系統(tǒng)[8，10]也在同步技術(shù)的支撐下發(fā)揮了很重大的作用.當(dāng)然，隨著人們對混沌系統(tǒng)的認(rèn)識不斷深化，新的混沌系統(tǒng)不斷被發(fā)現(xiàn)和提出，如多渦卷混沌系統(tǒng)[11-12]，多翼混沌系統(tǒng)[13-14]，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)[15-16]等，這些新穎混沌系統(tǒng)的硬件電路較易實現(xiàn)和有效的同步控制，在混沌保密通訊、圖像加密和信息工程中破解了諸多難題.

在混沌技術(shù)識別和實現(xiàn)方面，線性控制法、非線性控制法、正弦激勵法和反饋控制等是比較常用技術(shù)和方法，基于雙非線性反饋控制技術(shù)，在混沌系統(tǒng)構(gòu)造方面，通過低維的系統(tǒng)來構(gòu)造高維的混沌系統(tǒng)，如基于三維混沌系統(tǒng)可以實現(xiàn)四維混沌、五維混沌和超維混沌的構(gòu)造，并通過仿真論證和電路實現(xiàn)，形成了比較理想的研究成果.筆者在研究過程基于三階Lü混沌系統(tǒng)，利用兩個非線性控制器，構(gòu)造出一個全新的五階混沌系統(tǒng)，同時在兩個參數(shù)k1，k2動態(tài)配合下，分析新系統(tǒng)所呈現(xiàn)的周期、混沌和超混沌現(xiàn)象，并探究在一定的范圍內(nèi)的復(fù)雜的混沌特性[17]，這些指標(biāo)通過動力學(xué)算法進(jìn)行論證并經(jīng)過圖表進(jìn)行呈現(xiàn)，如平衡點、相圖、Poincare截面圖、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖[17-18]等.當(dāng)然，在分析的同時，借助Multisim電路模擬軟件設(shè)計出相應(yīng)的電路，并通過數(shù)字示波器觀察生成的圖像并與Matlab的仿真圖像進(jìn)行對比，來進(jìn)一步驗證了五維混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為.筆者詳細(xì)給出了五階超混沌系統(tǒng)的相關(guān)特性、電路原理和實現(xiàn)方法，這樣對研究同類的混沌系統(tǒng)和實現(xiàn)同步控制具有借鑒和指導(dǎo)作用.

1 五維混沌系統(tǒng)的模型

Lü系統(tǒng)是一個經(jīng)典的三維混沌系統(tǒng)，其表示為

(1)

在上述模型的基礎(chǔ)上，增加兩個非線性狀態(tài)反饋控制器u和v，得到一個五維受控混沌系統(tǒng).系統(tǒng)的描述為

(2)

其中：x,y,z分別為系統(tǒng)的變量；u和v為反饋控制器的狀態(tài)變量；a，b，c分別為常數(shù)；k1,k2分別為控制增益.當(dāng)選擇合適的a，b，c，k1，k2時，系統(tǒng)就可產(chǎn)生各種復(fù)雜現(xiàn)象.

2 五維受控混沌系統(tǒng)的特性分析及Matlab仿真

2.1 耗散性和證明吸引子的存在性

常數(shù)a=36，b=3，c=20，暫取控制參數(shù)k1=-1，k2=-2進(jìn)行特性分析.

對于式(2)有

(3)

式(2)的相空間內(nèi)的相體積逐漸縮小到零，其為耗散系統(tǒng)，而在所有軌道上運(yùn)動的點集都被吸引到一個相體積為零的一點上，這一組點集就是混沌吸引子.式(2)以冪指數(shù)的形式可表示為

2.2 平衡點及不穩(wěn)定性

當(dāng)式(2)取2.1中參數(shù)時，令方程右邊等于零，即

(4)

可得到式(2)的三個平衡點S0(0，0，0，0，0)，S1(6.119，7．372，15．037，-45．112，-55．429)，S2(-6．492，-5．500，11．902，-35．707，32.732).

在S0(0，0，0，0，0)平衡點處對式(2)進(jìn)行線性化得到其Jacobian矩陣[20]，即

(5)

令det(J-λI)=0，得到平衡點S0(0，0，0，0，0)相應(yīng)的5個特征根分別為λ1=-36.000，λ2=-3.000，λ3=-2.000，λ4=-1.000，λ5=20.000.其中λ5為正實根，而λ1，λ2，λ3，λ4為負(fù)實根，因此，平衡點S0為不穩(wěn)定鞍點.

在平衡點S1采用相同的方法得到其相應(yīng)特征根為λ1=-25.758，λ2=-3.171，λ3=-0.959，λ4=3.944+9.949i，λ5=3.944-9.949i.其中λ1，λ2，λ3為負(fù)實根，λ4，λ5為一具有正實部的共軛復(fù)根，因此，平衡點S1是不穩(wěn)焦結(jié)點.

在平衡點S2也采用相同的方法得到其相應(yīng)特征根為λ1=-28.762，λ2=-2.883，λ3=-1.045，λ4=5.345-8.302i，λ5=5.345-8.302i.其中λ1，λ2，λ3為負(fù)實根，λ4，λ5為一具有正實部的共軛復(fù)根，因此，平衡點S1也是不穩(wěn)焦結(jié)點.

由上述分析可知：式(2)的3個平衡點都是不穩(wěn)定的，其中S0為不穩(wěn)鞍點；而另外2個平衡點S1和S2都是不穩(wěn)焦結(jié)點.

2.3 仿真混沌吸引子

仍取上述參數(shù)，利用Matlab仿真軟件，采用五階龍格-庫塔算法，得到該五維受控混沌系統(tǒng)在x-y，x-z，x-u，x-v及u-v的瞬態(tài)相軌跡圖，如圖1所示.

圖1 式(2)的混沌吸引子相圖

從仿真結(jié)果可見，該系統(tǒng)是一個混沌系統(tǒng)，相軌在各個方向都有分離，且運(yùn)動具有各態(tài)歷經(jīng)性，即任一條運(yùn)動軌跡都幾乎通過吸引子上所有點.

2.4 不同參數(shù)下的Lyapunov指數(shù)

為了更好地認(rèn)識這個五維受控混沌系統(tǒng)的動力學(xué)特性與控制參數(shù)k1，k2的關(guān)系，我們進(jìn)一步從Lyapunov指數(shù)著手，研究在不同參數(shù)條件下的軌跡運(yùn)動形式.在此之前有必要先陳述一下各運(yùn)動形式與Lyapunov指數(shù)的關(guān)系.

定義1對于一個5維超混沌的系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有5個Lyapunov指數(shù).當(dāng)最大的Lyapunov指數(shù)等于零，其他4個Lyapunov指數(shù)都小于零時，系統(tǒng)做周期運(yùn)動；當(dāng)最大的Lyapunov指數(shù)大于零，有1個Lyapunov指數(shù)等于零，其他3個Lyapunov指數(shù)都小于零時，系統(tǒng)做混沌運(yùn)動；當(dāng)最大的2個Lyapunov指數(shù)都等于零，其他3個Lyapunov指數(shù)都小于零時，系統(tǒng)做擬周期運(yùn)動；當(dāng)最大的2個Lyapunov指數(shù)都大于零，有一個Lyapunov指數(shù)等于零，其他2個Lyapunov指數(shù)小于零時，系統(tǒng)做超混沌運(yùn)動.

根據(jù)定義1，我們通過調(diào)節(jié)其中一個控制參數(shù)，取幾個特定的值，用Matlab計算Lyapunov指數(shù)來判斷式(2)的運(yùn)動形式，如表1所示.

表1 不同參數(shù)k2對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)和運(yùn)動形式

2.5 不同控制參數(shù)下的Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖和poincare截面圖

從2．4的內(nèi)容可知：Lyapunov指數(shù)能根據(jù)其正負(fù)數(shù)值判定系統(tǒng)軌跡線之間彼此吸引和排斥，從而較好地反應(yīng)系統(tǒng)的運(yùn)動形式.另外，Lyapunov指數(shù)譜能更直觀地觀察出不同參數(shù)范圍內(nèi)的系統(tǒng)狀態(tài).下面給出在2個控制參數(shù)k1，k2的Lyapunov指數(shù)譜(LE譜)，如圖2所示.需要說明的是在控制參數(shù)k1變化時，式(2)的第4個Lyapunov指數(shù)是一個比較小的負(fù)數(shù)，所以在圖2(a)中沒有列出.

圖2 式(2)的Lyapunov指數(shù)譜

圖2(a)是關(guān)于k1的Lyapunov指數(shù)譜.固定參數(shù)a=36，b=20，c=3，k2=-2，改變參數(shù)k1.

1) 當(dāng)參數(shù)k1∈{[-0．333，-0．325]，[-0.302，-0．290]，[-0．235，-0．210]}時，式(2)的Lyapunov指數(shù)滿足LE1，LE2，LE3，LE4<0，LE5=0，系統(tǒng)是周期的.

2) 當(dāng)參數(shù)k1∈{[-0．922，-0．333]，[-0．325，-0．314]，[-0．290，-0．253]，[-0．210，-0．167]}時，式(2)的Lyapunov指數(shù)滿足LE1>0，LE2，LE3，LE4<0，LE5=0，系統(tǒng)是混沌的.

3) 當(dāng)參數(shù)k1∈{[-0．314，-0．302]，[-0．253，-0．235]}時，式(2)的Lyapunov指數(shù)滿足LE1=0，LE2，LE3，LE4<0，LE5=0，系統(tǒng)是擬周期的.

4) 當(dāng)參數(shù)k1∈{-1．505，[-1．318，-1．258]}時，式(2)的Lyapunov指數(shù)滿足LE1，LE2>0，LE3，LE4<0，LE5=0，系統(tǒng)是超混沌的.

圖2(b)是關(guān)于，k2的最大Lyapunov指數(shù)譜.固定參數(shù)a=36，b=20，c=3，k1=-1，改變參數(shù)k2.

1) 當(dāng)參數(shù)k2∈{[-25．000，-19．441]，[-15．472，-5．152]}時，式(2)的Lyapunov指數(shù)滿足LE1，LE2，LE3，LE4<0，LE5=0，系統(tǒng)是周期的.

2) 當(dāng)參數(shù)k2∈{[-19．441，-17．598]，[-17．065，-16．533]，[-16．276，-15．472]，[-5．152，0．141]}時，式(2)的Lyapunov指數(shù)滿足LE1>0，LE2，LE3，LE4<0，LE5=0，系統(tǒng)是混沌的.

3) 當(dāng)參數(shù)k2∈{[-17．598，-17．065]，[-16．533，-16．276]}時，式(2)的Lyapunov指數(shù)滿足LE1=0，LE2，LE3，LE4<0，LE5=0，系統(tǒng)是擬周期的.

4) 當(dāng)參數(shù)k2∈[0．141，1．032]時，式(2)的Lyapunov指數(shù)滿足LE1，LE2>0，LE3，LE4<0，LE5=0，系統(tǒng)是超混沌的.

從上述分析看出：該系統(tǒng)在參數(shù)變化過程中運(yùn)動方式相互轉(zhuǎn)變，歷經(jīng)了擬周期到周期態(tài)，再由周期狀態(tài)逐步轉(zhuǎn)變成混沌態(tài)和超混沌態(tài).其中控制參數(shù)k1，k2具有不同的取值范圍，可為下文中硬件電路的實現(xiàn)和電阻調(diào)整做相應(yīng)的參考，以便設(shè)計出不同運(yùn)動形式的電路.

在非線性系統(tǒng)中，經(jīng)過倍周期分岔達(dá)到混沌是一種典型的通向混沌的道路.圖3為狀態(tài)變量x關(guān)于參數(shù)k1，k2給出的不同分岔圖，參數(shù)k1的取值范圍是k1∈[-15，-5]，參數(shù)k2的取值范圍是k2∈[-4，0].

圖3 式(2)的分岔圖

混沌動力學(xué)系統(tǒng)的特性分析除了上述幾個方法外，還可以通過龐加萊截面觀察.選擇截面適當(dāng)?shù)牟糠郑⒈ＷC截面切線軌跡不能和吸引子相交，也不在軌道平面上.

定義2當(dāng)系統(tǒng)的龐加萊截面是兩個離散的點時，則該系統(tǒng)是周期性振蕩；當(dāng)系統(tǒng)的龐加萊截面有若干個離散點時，則該系統(tǒng)是準(zhǔn)周期振蕩；當(dāng)系統(tǒng)的龐加萊截面是由類似線狀或片狀的、并具有分形特征的大量點組成時，則該系統(tǒng)是混沌運(yùn)動.選取x=0截面，可以得到式(2)的poincare截面圖，如圖4所示.

圖4 式(2)中x=0時y-z的Poincare映像圖

從圖4可看出：x=0的截面上有一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點，同時，一些被反復(fù)折疊的葉片進(jìn)一步說明了該五維系統(tǒng)動力行為的復(fù)雜性[21].

3 五維受控混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計與實現(xiàn)

混沌系統(tǒng)的最直接最簡單的物理實現(xiàn)是通過電路來完成的，許多混沌的動力學(xué)行為也通過電路得到了驗證[22-23].為了驗證這個五維受控混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為，根據(jù)式(2)在Multisim中設(shè)計實現(xiàn)了該系統(tǒng)功能的實際電路，如圖5所示.電路中包括5個相互耦合的通道，分別實現(xiàn)狀態(tài)變量x，y，z和反饋變量u，v的耦合.電路基本元件包括電阻，電容等.由于式(2)中存在多個非線性項，所以該模塊主要由模擬乘法器AD633實現(xiàn)，其增益為0．1；電路中的模擬運(yùn)算放大器LM741實現(xiàn)系統(tǒng)中的加法，減法和積分的模塊，其供電電壓為18 V.特別要注意的是，變量x，y，z，u，v各自的動態(tài)范圍比較大，大約在102～104之間，大于運(yùn)算放大器的飽和電壓，故必須進(jìn)行變量比例壓縮變換才能電路實現(xiàn).這里我們主要通過調(diào)節(jié)電路中的積分環(huán)節(jié)來實現(xiàn)這一壓縮變換.取RC=104，等價于在確保原系統(tǒng)性質(zhì)不變的情況下，使得輸出信號的幅值提高了1 000倍，方便了圖像的觀察[23].

設(shè)計過程中取參數(shù)a=36，b=20，c=3，控制參數(shù)k1=-1，k2=-2，從而式(2)為

(6)

圖5 式(2)的模擬實驗電路原理圖

根據(jù)圖5得到的電路方程為

(7)

(8)

取R=Ra=Rb=Rc=Rd=Re=Rf=Rg=Rh=Ri=Rj=Rk=Rl=Rm=Rn=Ro=Rp=Rq=Rr=Rs=Rt=10 kΩ，C=C1=C2=C3=C4=10 nF.根據(jù)式(6,8)得R1=R2=2．778 kΩ，R3=R6=R10=100 kΩ，R4=R7=R9=R11=10 kΩ，R5=5 kΩ，R8=33．333 kΩ，R12=50 kΩ.

在Multisim仿真中，將模擬示波器(Agilent oscilloscope)一端接在x輸出端，另一端分別接在y,z,u,v輸出端進(jìn)行觀察該混沌系統(tǒng)的軌跡.然后再將一段接在u輸出端，另一端接在v輸出端進(jìn)行模擬，結(jié)果如圖6所示.

圖6 式(2)模擬電路的輸出相圖

這些軌跡和Matlab中的數(shù)值仿真結(jié)果基本一致.由于系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，其產(chǎn)生的序列具有非周期性，且對初值條件十分敏感，以及系統(tǒng)在操作運(yùn)行過程中容易受到外界高頻信號或隨機(jī)噪聲的干擾，使得模擬實驗結(jié)果與仿真結(jié)果存在略微偏差.

上述電路仿真了五維受控混沌系統(tǒng)的混沌運(yùn)動形式，根據(jù)2．4中的Lyapunov指數(shù)譜與控制參數(shù)k1，k2的關(guān)系，通過改變k1，k2的值從而改變電路中R10和R12的值即可實現(xiàn)其他動力學(xué)行為，鑒于篇幅原因，筆者只給出R10=100 kΩ，R12=50 kΩ時的混沌狀態(tài)的相圖.

4 結(jié) 論

在經(jīng)典的Lü系統(tǒng)基礎(chǔ)上，增加兩個非線性控制器，構(gòu)造了一個新的五維雙受控混沌系統(tǒng)，通過理論分析和數(shù)值仿真，在Matlab中實現(xiàn)了該系統(tǒng)的所有動力學(xué)特性.運(yùn)用Multisim搭建電路圖模擬，驗證了系統(tǒng)的正確性.觀察兩個控制參數(shù)與五個Lyapunov指數(shù)的關(guān)系，調(diào)整控制參數(shù)的大小就可以實現(xiàn)對該五維超混沌系統(tǒng)不同運(yùn)動特性的控制.在應(yīng)用電路中，兩個控制參數(shù)分別與相應(yīng)的一個電阻對應(yīng)，改變阻值即可改變控制參數(shù)的大小，從而改變系統(tǒng)的運(yùn)動特性，方便簡單，具有普適性.由于系統(tǒng)運(yùn)動形式及其復(fù)雜，并且擁有靈活的可調(diào)性，因此在具體的混沌保密通信中可靠的實用價值和廣闊的開發(fā)前景.

本文得到了浙江工業(yè)大學(xué)人文中心項目(z20130308)的資助.

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