排隊論在某家樂福超市服務臺優(yōu)化設計中的應用

范澤超，吳金卓

(東北林業(yè)大學 工程技術學院，哈爾濱 150040)

在超市購物方面，人們已經(jīng)不僅僅滿足于商品的質(zhì)量和種類，對于超市的服務速度和便捷程度的要求也越來越高。因此，作為一個大型連鎖超市，研究如何提高服務質(zhì)量是非常有必要的。超市收銀臺作為超市連接顧客的重要紐帶，在提高超市服務水平、增加競爭力方面有十分重要的地位。由于顧客的到來時間和接受服務時間是一個隨機過程，因此該系統(tǒng)是一個隨機服務系統(tǒng)。如果超市開放的收銀臺數(shù)目過少，就會造成系統(tǒng)的擁堵，增加顧客的等待時間，造成客戶的不滿意，甚至客戶流失。如果收銀臺設置的數(shù)量過多，雖然可以提高客戶的滿意度，但超市投資就會增加并導致資源的浪費。因此，超市決策者需要找到其中的平衡點，既能降低企業(yè)的成本，使各項資源得到合理使用，又能提高客戶的滿意度[1]。本文采用排隊論理論來考慮服務臺數(shù)最優(yōu)設計的問題，通過應用超市收銀排隊系統(tǒng)優(yōu)化模型，并以哈爾濱市某家樂福超市為例，優(yōu)化其在不同時段開放的服務臺數(shù)。

1 超市排隊模型

在超市服務臺系統(tǒng)中，顧客到來的時間和數(shù)量屬于隨機分布，而且不同收銀服務臺的服務時間也屬于隨機分布，因此，該系統(tǒng)是一個顯著的隨機排隊服務系統(tǒng)。超市收銀排隊服務系統(tǒng)可以認為是一個具有多服務臺、排隊規(guī)則為先到先服務的M/M/n/∞排隊系統(tǒng)[2]。在該系統(tǒng)中，有n個服務臺并列工作，顧客按照參數(shù)λ(λ>0)的泊松流到達，單個顧客需要的服務時間獨立且服從參數(shù)μ(μ>0)的負指數(shù)分布。該系統(tǒng)中的顧客源可以認為是無限的，并且每個顧客到達該系統(tǒng)都是隨機和獨立的[3-4]。

當整個排隊系統(tǒng)穩(wěn)定時，即ρn<1，顧客在系統(tǒng)中的平均等待時間為

(1)

平均等待隊長為

(2)

上述方法中計算出的僅僅是該模型的初步參數(shù)。實際上，由于不同人在不同情況下對于排隊等待時間的容忍度不一樣，例如在空閑時間允許排隊的時間會長一些，而當時間緊急的時候所能允許的排隊時間就會明顯縮短。而且，不同的消費人群所允許的排隊等待時間和隊長也是不一樣的。因此，需要獲取不同人群的最長等待時間和最長等待隊長，在此基礎上對該超市排隊系統(tǒng)的服務臺數(shù)量來進行優(yōu)化，獲得各個時段最佳的服務臺開放數(shù)量，這樣既可以提高客戶的滿意度又能為超市節(jié)約成本，增加收益。

設顧客所允許的最長平均等待時間為Tw，所能允許的最長隊長為Lw，由此，所能容忍的系統(tǒng)中最長平均等待隊長為nLw，由上可得：

(3)

n的最小取值就是服務臺數(shù)量的最優(yōu)數(shù)，即為：

(4)

由上可得：

(5)

(6)

由此，可以建立相應的超市服務臺排隊系統(tǒng)的模型[5]。

2 家樂福超市服務臺排隊系統(tǒng)的模擬及優(yōu)化

2.1 數(shù)據(jù)收集

2012年1月到2013年3月，筆者對哈爾濱市某家樂福超市進行數(shù)據(jù)調(diào)查。該超市一共有45個收銀臺，在工作日和節(jié)假日分別進行調(diào)查統(tǒng)計，并分15個不同時段進行調(diào)查(每5 min為一個單位時段)，在每個時段隨機抽查其中的400個樣本進行統(tǒng)計，整理出觀察數(shù)據(jù)。在非節(jié)假日的數(shù)據(jù)整理見表1、表2和表3。

表1 非節(jié)假日顧客到來人數(shù)統(tǒng)計頻數(shù)Ⅰ

表2 非節(jié)假日顧客到來人數(shù)統(tǒng)計頻數(shù)Ⅱ

表3 非節(jié)假日顧客到來人數(shù)統(tǒng)計頻數(shù)Ⅲ

節(jié)假日顧客到來的有關數(shù)據(jù)整理見表4至表7。

表4 節(jié)假日顧客到來人數(shù)統(tǒng)計頻數(shù)Ⅰ

表5 節(jié)假日顧客到來人數(shù)統(tǒng)計頻數(shù)Ⅱ

表6 節(jié)假日顧客到來人數(shù)統(tǒng)計頻數(shù)Ⅲ

表7 節(jié)假日顧客到來人數(shù)統(tǒng)計頻數(shù)Ⅳ

通過對表1至表7中的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，可以算出顧客的平均到達率，見表8。表9和表10分別為節(jié)假日/非節(jié)假日各時段顧客的到達率及相應開放的服務臺數(shù)量。λ1、n1分別表示非節(jié)假日顧客到達的均值和相應的各個時段開放的收銀服務臺數(shù)。同樣，λ2、n2分別表示節(jié)假日顧客到達的均值和相應的各個時段開放的收銀服務臺數(shù)。

表8 單位時間內(nèi)顧客的到達率

表9和表10中的數(shù)據(jù)表明該超市的收銀臺的開放數(shù)目非常不合理。例如，在節(jié)假日期間17：00-18：00屬于高峰期，然而開放的數(shù)目為30，而13：00-14：00為低值期，但是開放的收銀臺數(shù)目同樣為30，這就造成了資源的浪費，并且有可能造成高峰期的擁堵，降低服務質(zhì)量，在其他時段同樣存在這樣的問題，因此該超市收銀臺服務系統(tǒng)的設置不夠合理，需要對服務臺數(shù)進行優(yōu)化。為了研究收銀臺服務系統(tǒng)中服務員服務顧客的時間的概率分布，在該超市中隨機地調(diào)查了顧客的服務時間，整理見表11。并且隨機調(diào)查了一部分消費者，獲取其所能容忍的最長的等待時間和等待隊長。見表12至表15。

表9 非節(jié)假日各時段顧客的到達率及相應開放的服務臺數(shù)量

表10 節(jié)假日各時段顧客的到達率及相應開放的服務臺數(shù)量

表11 顧客所需的服務時間 s

表12 非節(jié)假日所能容忍的最長的等待時間 min

表13 非節(jié)假日所能容忍的最長的等待隊長

表14 節(jié)假日所能容忍的最長的等待時間 min

表15 節(jié)假日所能容忍的最長的等待隊長 人

根據(jù)表12至表15中的數(shù)據(jù)，可以計算出在非節(jié)假日期間顧客所能容忍的最長平均等待時間為6.23 min，最長平均等待隊長為7.61人；在節(jié)假日期間顧客所能容忍的最長平均等待時間為10.57 min，最長平均等待隊長為9.24人。

2.2 顧客到達分布

根據(jù)每個時間段的原始數(shù)據(jù)，分別對其單位時間內(nèi)即五分鐘內(nèi)到達的顧客數(shù)是否服從泊松分布進行檢驗。本文采用χ2擬合的方法來檢驗，由于泊松分布中的參數(shù)λ是未知的，需要先用極大似然估計法來估計這個參數(shù)[6-7]。設總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，即

(7)

X1，X2，X3，…Xn是來自總體X的樣本，x1,x2,x3，…xn是相對應的樣本X1,X2,X3，…Xn中的一個樣本值，則樣本的極大似然函數(shù)為：

(8)

令

可以得到λ的極大似然估計值為

(9)

2.3 指標的計算

在2.1中，在非節(jié)假日期間顧客所能容忍的最長平均等待時間為6.23 min及最長平均等待隊長為7.61人；在節(jié)假日期間顧客所能容忍的最長平均等待時間為10.57 min及最長平均等待隊長為10.24人。參照表16和表17可以看到，該超市在很多時段所開放的服務臺數(shù)不合理，存在開放過多和過少的問題，比如在非節(jié)假日7：00-8：00，顧客的平均逗留時間為3.08 min，遠小于所能容忍的6.23 min，因此在此時就會造成服務臺資源的浪費。而在節(jié)假日8：00-9：00段，顧客的平均等待時間為16.75 min，平均逗留時間為19.52 min，遠遠高于顧客所能容忍的最長時間10.57 min，因此，會造成許多不愿等待的顧客的離開，也就造成了顧客的損失。因此，需要對不合理的時段進行優(yōu)化處理。

表16 非節(jié)假日系統(tǒng)的各項指標

表17 節(jié)假日的各項指標

2.4 優(yōu)化服務臺數(shù)

本節(jié)將對該超市的收銀臺排隊系統(tǒng)進行優(yōu)化，通過公式

表18 非節(jié)假日應開放的服務臺數(shù)量及相應參數(shù)

表19 節(jié)假日應開放的服務臺數(shù)量及相應參數(shù)

3 結(jié) 論

本文以哈爾濱市某家樂福超市為例，運用統(tǒng)計的方法在非節(jié)假日和節(jié)假日分別對顧客單位時間的到達數(shù)量和服務時間進行了統(tǒng)計，并收集顧客所能容忍的最長等待時間和最長等待隊長，通過M/M/n/∞模型，算出系統(tǒng)的各項指標。根據(jù)計算的數(shù)據(jù)，指出超市服務臺在各時段的開放數(shù)目中存在不合理之處，并進行優(yōu)化，最后給出該超市在非節(jié)假日和節(jié)假日各個不同時段應該開放的服務臺的數(shù)目。但是，本文中還有一些不足，期望在以后的工作中能夠考慮：

(1)本文中數(shù)據(jù)的收集還不夠精確，因此后續(xù)的數(shù)據(jù)收集在收集方法和收集基數(shù)方面應更加精確。

(2)本文中沒有考慮到的M/M/n/∞非平衡狀態(tài)，希望后續(xù)能加入非平衡狀態(tài)的考慮，使結(jié)果更加科學準確。

【參 考 文 獻】

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