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    高斯測(cè)度的再生核Hilbert空間與Sobolev空間的關(guān)系

    2014-08-22 06:46:06胡修炎
    棗莊學(xué)院學(xué)報(bào) 2014年2期
    關(guān)鍵詞:單純形棗莊球面

    胡修炎

    (棗莊學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 棗莊 277160)

    0 引言

    經(jīng)典框架下單位球面,區(qū)間[-1,1]和單純形上函數(shù)逼近已經(jīng)發(fā)展的較為全面[1-3],如何將經(jīng)典框架下的逼近結(jié)果應(yīng)用到平均框架下就成為一個(gè)很重要的問題.Jackob Creutzig在2002年的文章[4-6]中得到了經(jīng)典的與平均Kolmogorov寬度之間的關(guān)系,給平均框架下的逼近研究帶來了很大的方便.由于這個(gè)關(guān)系式中需要用到再生核Hilbert空間,所以,在研究Sobolev空間在平均框架下的逼近時(shí),就需要先建立起具有高斯測(cè)度的Sobolev空間與其再生核Hilbert空間的關(guān)系,才能利用經(jīng)典的Kolmogorov寬度的結(jié)果.研究平均框架下函數(shù)逼近的文章都用到了高斯測(cè)度的再生核Hilbert空間與的Sobolev空間的關(guān)系,但是文章中都沒有給出這種關(guān)系式的理論證明.本文就將給出單位球體上具有高斯測(cè)度的加權(quán)Sobolev空間及該測(cè)度的再生核Hilbert空間的關(guān)系式的證明方法,并且由于再生核Hilbert空間的光滑指標(biāo)與權(quán)函數(shù)、維數(shù)無關(guān),所以該證明可以推廣到單位球面,區(qū)間[-1,1],單純形上具有高斯測(cè)度的加權(quán)及非加權(quán)的Sobolev空間中,具有普遍意義.

    1 預(yù)備知識(shí)

    (1.1)

    其中

    (1.2)

    表示L2,μ中的內(nèi)積.

    對(duì)于給定的r>0,定義分布意義下f的r階導(dǎo)數(shù)為

    (1.3)

    于是,Bd上的加權(quán)Sobolev空間定義為

    (1.4)

    其中的內(nèi)積為

    [f,g]r=[f(r),g(r)],

    (1.5)

    λl=(l(l+2μ+d-1))-s/2,(s>d),

    (1.6)

    (1.7)

    2 主要結(jié)果及證明

    記X是可分的Banach空間,X*表示X上的所有連續(xù)線性泛函,γ是X上的中心高斯測(cè)度,則誘導(dǎo)測(cè)度γ°f-1是R上的高斯測(cè)度.用LP(X,dγ)表示X上的γ可測(cè)泛函,其有限擬范數(shù)為

    (2.1)

    則X*可以嵌入LP(X,dγ).那么測(cè)度γ的再生核Hilbert空間(又稱為Cameron-Martin空間)定義為

    (2.2)

    (2.3)

    我們先來證明一個(gè)重要的引理.

    (2.4)

    證明簡(jiǎn)記I=n(n+d+2μ-1),根據(jù)(1.6)-(1.8)及(1.3)有

    所以根據(jù)柯西不等式以及(2.2)有

    得(2.4).引理證畢.

    (2.6)

    (2.7)

    即f∈H(υ).綜合(2.6)(2.7)得(2.5)式.定理證畢.

    3 結(jié)論

    再生核Hilbert空間的光滑指標(biāo)與權(quán)函數(shù)、維數(shù)無關(guān),由此該證明方法同樣適用于球面,單純形上的非加權(quán)的和加權(quán)的Sobolev空間,所以具有普遍意義.

    [1]Brown G, Dai F, Sun Y S. Kolmogorov width of classes of smooth fuctions on the sphere Sd-1[J]. J Complexity, 2002,18:1001-1023.

    [2]Brown G, Dai F. Approximation of smooth functions on compact two-point homogeneous spaces [J]. J Funct Anal, 2005,220:401-423.

    [3]Dai F. Kolmogorov and linear widths of weighted Besov classes[J]. J Math Anal Appl, 2006,315: 711-724.

    [4]Wang H P, Huang H W. Widths of weighted Sobolev classes on the ball[J]. J Approx Theory, 2008,154(2):126-139.

    [5]Huang H W, Wang K Y. On the widths of Sobolev's classes[J]. J Complexity, 2011,27(2): 201-220.

    [6]張艷偉. 具有高斯測(cè)度的Sobolev空間上的算子逼近[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào),2009,(5):73-77.

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