高中數(shù)學(xué)中恒成立問(wèn)題的探究

吳丹丹

高中數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題，涉及諸多數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，如與函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)不等式等進(jìn)行綜合，涉及換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想方法，此類(lèi)問(wèn)題有利于提升學(xué)生的綜合解題能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性有顯著作用.因此，歷年來(lái)是高考命題的熱點(diǎn).如何更好地解決這類(lèi)問(wèn)題？以下歸納幾種常用方法.

一、數(shù)形結(jié)合法

把所求問(wèn)題，進(jìn)行合理變形后，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)圖像，利用圖像的位置關(guān)系，直觀得出結(jié)論，這種“以形助數(shù)”的方法，有時(shí)很有效.

【典型例1】已知函數(shù)f（x）=x（lnx+32），g（x）=a3x3+x（a∈R），若g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范圍.

評(píng)點(diǎn)：在表達(dá)式較為復(fù)雜的情況下，可以考慮通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)這個(gè)函數(shù)在指定區(qū)間上的性質(zhì)（單調(diào)性、極值、最值、區(qū)間端點(diǎn)值）得到關(guān)于參數(shù)的一個(gè)不等式或等式，再求解.

評(píng)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題，將函數(shù)、不等式結(jié)合起來(lái)，能提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，是一類(lèi)重要的題型.在解題過(guò)程中大致可分為三種類(lèi)型：一是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立；二是轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)；三是分離變量.縱觀每年高考題中的恒成立問(wèn)題，往往提問(wèn)方式多樣，考生在審題時(shí)會(huì)出現(xiàn)“當(dāng)局者迷”的現(xiàn)象，若能用上述幾種方法考慮，就能起到事半功倍效果.

評(píng)點(diǎn)：數(shù)列與不等式綜合的恒成立問(wèn)題，能有效鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論的思想.

以上求解方法并不是孤立的，它們相互聯(lián)系，相互滲透，求解這類(lèi)問(wèn)題的核心是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即將問(wèn)題情境化為解不等式問(wèn)題，應(yīng)用時(shí)要依據(jù)條件，進(jìn)行綜合，靈活選用.

（責(zé)任編輯 黃春香）

高中數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題，涉及諸多數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，如與函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)不等式等進(jìn)行綜合，涉及換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想方法，此類(lèi)問(wèn)題有利于提升學(xué)生的綜合解題能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性有顯著作用.因此，歷年來(lái)是高考命題的熱點(diǎn).如何更好地解決這類(lèi)問(wèn)題？以下歸納幾種常用方法.

一、數(shù)形結(jié)合法

把所求問(wèn)題，進(jìn)行合理變形后，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)圖像，利用圖像的位置關(guān)系，直觀得出結(jié)論，這種“以形助數(shù)”的方法，有時(shí)很有效.

【典型例1】已知函數(shù)f（x）=x（lnx+32），g（x）=a3x3+x（a∈R），若g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范圍.

評(píng)點(diǎn)：在表達(dá)式較為復(fù)雜的情況下，可以考慮通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)這個(gè)函數(shù)在指定區(qū)間上的性質(zhì)（單調(diào)性、極值、最值、區(qū)間端點(diǎn)值）得到關(guān)于參數(shù)的一個(gè)不等式或等式，再求解.

評(píng)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題，將函數(shù)、不等式結(jié)合起來(lái)，能提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，是一類(lèi)重要的題型.在解題過(guò)程中大致可分為三種類(lèi)型：一是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立；二是轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)；三是分離變量.縱觀每年高考題中的恒成立問(wèn)題，往往提問(wèn)方式多樣，考生在審題時(shí)會(huì)出現(xiàn)“當(dāng)局者迷”的現(xiàn)象，若能用上述幾種方法考慮，就能起到事半功倍效果.

評(píng)點(diǎn)：數(shù)列與不等式綜合的恒成立問(wèn)題，能有效鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論的思想.

以上求解方法并不是孤立的，它們相互聯(lián)系，相互滲透，求解這類(lèi)問(wèn)題的核心是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即將問(wèn)題情境化為解不等式問(wèn)題，應(yīng)用時(shí)要依據(jù)條件，進(jìn)行綜合，靈活選用.

（責(zé)任編輯 黃春香）

高中數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題，涉及諸多數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，如與函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)不等式等進(jìn)行綜合，涉及換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想方法，此類(lèi)問(wèn)題有利于提升學(xué)生的綜合解題能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性有顯著作用.因此，歷年來(lái)是高考命題的熱點(diǎn).如何更好地解決這類(lèi)問(wèn)題？以下歸納幾種常用方法.

一、數(shù)形結(jié)合法

把所求問(wèn)題，進(jìn)行合理變形后，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)圖像，利用圖像的位置關(guān)系，直觀得出結(jié)論，這種“以形助數(shù)”的方法，有時(shí)很有效.

【典型例1】已知函數(shù)f（x）=x（lnx+32），g（x）=a3x3+x（a∈R），若g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范圍.

評(píng)點(diǎn)：在表達(dá)式較為復(fù)雜的情況下，可以考慮通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)這個(gè)函數(shù)在指定區(qū)間上的性質(zhì)（單調(diào)性、極值、最值、區(qū)間端點(diǎn)值）得到關(guān)于參數(shù)的一個(gè)不等式或等式，再求解.

評(píng)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題，將函數(shù)、不等式結(jié)合起來(lái)，能提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，是一類(lèi)重要的題型.在解題過(guò)程中大致可分為三種類(lèi)型：一是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立；二是轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)；三是分離變量.縱觀每年高考題中的恒成立問(wèn)題，往往提問(wèn)方式多樣，考生在審題時(shí)會(huì)出現(xiàn)“當(dāng)局者迷”的現(xiàn)象，若能用上述幾種方法考慮，就能起到事半功倍效果.

評(píng)點(diǎn)：數(shù)列與不等式綜合的恒成立問(wèn)題，能有效鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論的思想.

以上求解方法并不是孤立的，它們相互聯(lián)系，相互滲透，求解這類(lèi)問(wèn)題的核心是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即將問(wèn)題情境化為解不等式問(wèn)題，應(yīng)用時(shí)要依據(jù)條件，進(jìn)行綜合，靈活選用.

（責(zé)任編輯 黃春香）