幾種常用似大地水準(zhǔn)面插值方法精度分析

徐 平 ,杜向鋒

(1．廣東省核工業(yè)地質(zhì)局測繪院，廣東 廣州 510800;2.廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣東 廣州 510510)

0 引 言

GPS定位具有：測量精度高，測站間無需通視，觀測時間短，儀器操作簡便，全天候作業(yè)等特點，它能夠提供從毫米級到幾十米量級的定位精度，能夠滿足不同用戶對定位精度的要求，GPS測量獲得的高精度的三維坐標(biāo)(B大地維度、L大地精度和H大地高)屬于WGS84坐標(biāo)系，其坐標(biāo)可以通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換或平差的方法得出其1980年西安坐標(biāo)系或地方坐標(biāo)系平面坐標(biāo)，精度可達到10-6～10-9量級[1]，可直接應(yīng)用于各類工程建設(shè)，高程方面我國采用的是正常高系統(tǒng)，故GPS測量獲得大地高需要轉(zhuǎn)換成正常高才能應(yīng)用于生產(chǎn)實踐。一般說來GPS高程轉(zhuǎn)換的方法有以下四類：模型擬合法、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和借助區(qū)域似大地水準(zhǔn)面模型法[2]。

目前國內(nèi)多個城市、省域以及地區(qū)都已經(jīng)建立或者正在建立本區(qū)域的高精度的似大地水準(zhǔn)面模型[3-6]，與此同時高精度、高分辨率、完全覆蓋我國國土的新一代中國似大地水準(zhǔn)面CQG2000已經(jīng)建設(shè)完成[7]，利用高精度的似大地水準(zhǔn)面模型通過內(nèi)插算法即可以快速的獲得待定點的正常高，以此可以替代效率低下的水準(zhǔn)測量，大大提高生產(chǎn)效率，降低企業(yè)生產(chǎn)成本，要利用GPS技術(shù)及似大地水準(zhǔn)面模型快速的獲得高精度的正常高主要取決于以下三個方面：1)待轉(zhuǎn)換點WGS-84坐標(biāo)的精度，特別是大地高的精度;2)似大地水準(zhǔn)面模型本身的精度;3)內(nèi)插方法的優(yōu)劣。第一個方面可以根據(jù)需要采用高精度GPS測量設(shè)備、在有利的觀測條件下對待轉(zhuǎn)換點進行長時間多測回的觀測以保證獲得的待定點高精度的點位坐標(biāo)，第二點取決于采用高程異常內(nèi)插模型即似大地水準(zhǔn)面模型的精度，關(guān)于如何獲得高精度的似大地水準(zhǔn)面模型本文將不再介紹了，在待定點坐標(biāo)以及區(qū)域似大地水準(zhǔn)面確定的情況下，選擇一種合適的內(nèi)插算法將有利于用戶獲得高精度的正常高結(jié)果，因此本文將著重探討各種常見似大地水準(zhǔn)面模型的內(nèi)插方法及其精度。

1 常用插值方法的數(shù)學(xué)模型

目前用于似大地水準(zhǔn)面內(nèi)插高程異常的算法很多，主要包括：反距離加權(quán)插值、謝別德插值、線性多項式插值、三角函數(shù)插值、切比雪夫插值以及樣條曲面插值等[8]。對幾種常見內(nèi)插方法的數(shù)學(xué)模型進行介紹

1.1 反距離加權(quán)插值

距離反比插值法是利用插值點與似大地水準(zhǔn)面格網(wǎng)點之間的距離為權(quán)重進行加權(quán)計算的插值方法,離插值點越近的格網(wǎng)點賦予的權(quán)重越大,其權(quán)重貢獻與距離成反比.可表示為

(1)

1.2 謝別德插值

與反距離加權(quán)插值類似,謝別德插值也是一種加權(quán)計算法,其權(quán)函數(shù)P(ri)定義為

(2)

式中:ri為插值點與格網(wǎng)點之間的距離;R為選取的內(nèi)插半徑。其對應(yīng)的高程異常插值函數(shù)為

(3)

1.3 線性多項式插值

線性多項式內(nèi)插的基本思想是假設(shè)任意點的高程異常與其位置是成線性關(guān)系的。

高程異常的表達式可表示為

ζ=a0+a1B+a2L+a3BL,

(4)

式中:ζ為任意點高程異常值;B和L為該點經(jīng)緯度,亦可用X和Y代替；a0、a1、a2和a3為多項式系數(shù),若a3=0則稱為線性內(nèi)插,a3≠0時為雙線性內(nèi)插,雙線性內(nèi)插方法的優(yōu)點是數(shù)據(jù)重采樣后的結(jié)果較為平滑,沒有階躍效應(yīng),同時具有較高的精度.缺點是網(wǎng)格被平均化,具有低頻濾波的效果; 邊緣被平滑,有些極值丟失了[10].

1.4 切比雪夫插值

二維切比雪夫多項式形式為[11]

(5)

式中:n,m為截止階數(shù),Ui(τi)和Uj(τj)為第二類切比雪夫多項式,形式為

(6)

式中,對于|τ|≤1,U0(τ)=1.0,U1(τ)=2.0τ,Un(τ)=2.0τUn-1(τ)-Un-2(τ),內(nèi)插區(qū)間為[t1,t2]時需先將其轉(zhuǎn)換到[-1,1]再進行內(nèi)插計算。

此外常見的內(nèi)插方法還包括三角函數(shù)法、樣條曲面法、克里金法和徑向函數(shù)法等，詳見相關(guān)文獻。

2 精度分析

某似大地水準(zhǔn)面模型由地面重力數(shù)據(jù)、SRTM數(shù)字地面模型、EGM2008全球重力場模型及GPS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)聯(lián)合確定，其中水準(zhǔn)測量按照國家三等水準(zhǔn)測量精度測定，GPS網(wǎng)按照國家D級精度進行施測，最終獲得了30″×30″(約相當(dāng)于1 km×1 km)分辨率的似大地水準(zhǔn)面模型，通過內(nèi)符合精度檢驗和外符合精度檢驗的結(jié)果，該似大地水準(zhǔn)面模型的精度優(yōu)于1 cm精度水平，似大地水準(zhǔn)面模型如圖1所示，根據(jù)應(yīng)用需要及相關(guān)內(nèi)插方法的數(shù)學(xué)模型編制了相應(yīng)的內(nèi)插軟件QGEOID供用戶使用，軟件如圖2所示。

圖1 某似大地水準(zhǔn)面模型

圖2 QGEOID用戶界面

為了驗證各種內(nèi)插方法精度，探求哪種內(nèi)插方法更適用于似大地水準(zhǔn)面模型內(nèi)插，采用5個GPS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)利用QGEOID軟件及該似大地水準(zhǔn)面模型行了插值計算，將不同內(nèi)插算法計算的結(jié)果與水準(zhǔn)結(jié)果進行了對比，計算結(jié)果如表1所示。

表1 不同內(nèi)插方法計算結(jié)果對比(單位mm)

從計算的結(jié)果來看，J2點的轉(zhuǎn)換精度無論采用哪種方法都較差，這主要是因待轉(zhuǎn)換點的精度不高造成的，在待轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)和似大地水準(zhǔn)面模型確定的情況下，同一點不同方法轉(zhuǎn)換出來的精度差異也較為明顯，這就是內(nèi)插方法不同造成的，通過對計算結(jié)果的分析，可以看出，切比雪夫內(nèi)插的精度最高為12.5 mm，列別德法內(nèi)插的精度次之13.2 mm，三角函數(shù)插值的精度的精度最弱達18.5 mm，距離反比插值次之為16.8 mm，此外距離反比插值和距離平方反比插值結(jié)果相比，可以看出距離平方反比插值的方法精度精度得到大幅度提升，這與文獻[7]的研究成果是吻合的。

3 結(jié)束語

通過對以上數(shù)據(jù)的分析計算，可以得到如下幾點結(jié)論：1)要獲得比較好的轉(zhuǎn)換結(jié)果，首先應(yīng)保證外業(yè)測量的精度，其次才是選擇內(nèi)插方法。2)利用常見的幾種不同內(nèi)插方法的獲得的計算結(jié)果差異還是比較明顯，因此在作業(yè)時需要選擇適當(dāng)?shù)膬?nèi)插方法及計算參數(shù)進行內(nèi)插計算。3)切比雪夫插值和列別德插值兩種內(nèi)插方法在一般的似大地水準(zhǔn)面內(nèi)插計算中精度是比較高的，在水準(zhǔn)面模型的邊沿慎用距離反比插值。4)建議在確定似大地水準(zhǔn)面模型進行外符合精度檢驗時利用檢驗數(shù)據(jù)對似大地水準(zhǔn)面模型進行大量多模型的分析計算，尋找最適合特定模型的內(nèi)插方法和計算參數(shù)作為內(nèi)插該模型的推薦方法，以提高內(nèi)插該模型時獲得的正常高精度。

[1]鄂棟臣，詹必偉，姜衛(wèi)平，等．應(yīng)用GAMIT/GLOBK軟件進行高精度的GPS數(shù)據(jù)處理[J]．極地研究，2005，17(3)：173-182．

[2]張興福，于紅波.模型擬合法進行GPS高程轉(zhuǎn)換的研究及軟件開發(fā)[J].廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2008，25(3)：61-65.

[3]楊 光,林 鴻,歐海平,等.廣州市亞厘米級高精度似大地水準(zhǔn)面的確定[J].測繪通報，2007，01：24-25，32.

[4]宋玉兵,朱風(fēng)云.江蘇省域似大地水準(zhǔn)面成果的應(yīng)用分析[J].測繪通報,2003,12:6-8.

[5]寧津生,羅志才,楊沾吉,等.深圳市1 km高分辨率厘米級高精度大地水準(zhǔn)面的確定[J].測繪學(xué)報，2003(2):102-107.

[6]陳俊勇,李建成,寧津生,等.全國及部分省市地區(qū)高精度高分辨率似大地水準(zhǔn)面的研究和實施[J].測繪通報,2005(5):1-5.

[7]李建成,陳俊勇,寧津生，等.地球重力場逼近理論與中國2000似大地水準(zhǔn)面的確定[M].武漢大學(xué)出版社,2003：6-9.

[8]朱會義,劉述林,賈紹鳳.自然地理要素空間插值的幾個問題[J].地理研究,2004,23(4)：425-432.

[9]HUSAR R B,FALKE S R,Uncertainty in the spatial interpolation of PM10 monitoring data in Southern California[EB/OL].[2007-09-27].http://capita.wustl.edu/capita/capitareports/cainterp/cainterp.html.

[10]李 新,程國棟,盧 玲.空間內(nèi)插方法比較[J].地球科學(xué)進展,2000,15(3):260-265.

[11]張興福,魏德宏.基于似大地水準(zhǔn)面格網(wǎng)的插值方法及精度分析[J].大地測量與地球動力學(xué),2011,31(1):113-116，122.