倒推策略教學(xué)實踐與思考

劉登旺

關(guān)于解決問題的“策略”，大多人認為它是介于數(shù)學(xué)思想與解題方法之間的一個概念。如何進行“策略”教學(xué)呢？定位低，教學(xué)難免落入傳統(tǒng)應(yīng)用題模式化窠臼；定位高，則會因為缺乏具體的支撐而不能為學(xué)生所接受。為此，我嘗試以問題解決為突破口，讓學(xué)生經(jīng)歷探究解題方法的過程，體驗策略的價值，感悟一些基本的數(shù) 學(xué)思想，進而使具體的方法上升到策略的高度，發(fā)展數(shù)學(xué)思考。下面以“倒推”策略教學(xué)實踐為例談?wù)勎业囊恍┧伎?，就教于同行?/p>

一、在猜數(shù)游戲中初識“倒推”

師：（出示一張卡片）老師在這張卡片上寫了一個數(shù)，誰愿意猜猜這個數(shù)是多少？

學(xué)生搖頭，表示沒法猜。

師：是啊，一點信息都沒露，真是沒法猜。那好，老師就給你們透一點風，看你們能不能猜到。（一些學(xué)生表示肯定能）這個數(shù)經(jīng)過幾次變化后正好是20?，F(xiàn)在能猜到嗎？

生1：老師，你要是講出它是怎么變的，我肯定能猜到。

師：告訴你是怎么變的，真能猜到嗎？

出示： ×2-4÷3

□→□→□→20

師：誰能說說這個數(shù)經(jīng)過了哪幾次變化？

生2：三次變化。第一次乘2，第二次減去4，第三次再除以3。

師：很好。因為這個數(shù)發(fā)生了三次變化，所以用三個“→”表示。請問，每次變化的結(jié)果相同嗎？你知道哪次變化的結(jié)果？

生3：每次變化結(jié)果不同。

生4：知道第三次變化的結(jié)果是20。

師：請同學(xué)們好好想一想，原來卡片上的數(shù)是多少？生5：20×3=60 60+4=64 64÷2=32

師：結(jié)果對嗎？

生6：對。32×2=64 64-4=60 60÷3=20。

師：能具體說說每一步算的是什么嗎？

生5：先算出除以3之前是多少，再算減去4之前是多少，最后算出乘2以前是多少。

生6：先算第二次變化的結(jié)果，再算第一次變化的結(jié)果，這樣就能算出原來的數(shù)了。

師：好。像這樣從現(xiàn)在的結(jié)果推算到最初卡片上的數(shù)，就是我們今天要學(xué)習的解決問題的策略——倒過來推想。

設(shè)計意圖：利用以往認識過的題型引入倒退策略，直奔主題，自然簡潔?！斑@個數(shù)經(jīng)過幾次變化之后是20，現(xiàn)在能猜到嗎？”自然激起學(xué)生急于知道“怎么變的”欲望，為引導(dǎo)學(xué)生重視發(fā)現(xiàn)變化過程作了必要鋪墊。組織學(xué)生交流解題思路，使揭示課題的環(huán)節(jié)水到渠成。至此，學(xué)生對“倒過來推想”已有了初步的認識。

二、在解決實際問題的過程中進一步認識策略

1.出示例題（教科書第89頁例2）

小明原來有一些郵票，今年又收集了24張，送給小軍30張后，還剩52張。小明原來有多少張郵票？

（1）學(xué)生讀題后，教師提問：問題是什么？

生1：原來有多少張郵票？

師：看到“原來”，你會想到什么？

生2：現(xiàn)在。

師：原來和現(xiàn)在不一樣嗎？為什么？請大家將變化的過程理一下，用簡單的形式表示出來。

（2）呈現(xiàn)整理結(jié)果。

生1：原來的張數(shù)→收集了24張→送人28張→還剩52張

生2： +24張-28張

□→□→52張

師：同學(xué)們，能看懂它們所表示的意思嗎？

生3：原來有一些郵票，收集了24張，就是增加了24張，送給別人28張，就是減少了28張。

師：你們認為哪種整理方式簡潔呢？

生3：（指著生2）××的最簡潔。

師追問：第一個□表示什么？第二個方框表示什么？

生4：第一個方框代表原有的張數(shù)，第二個方框表示收集了24張后有多少張，最后52表示送給別人28張后，還剩52張。

師：原來有多少張郵票，能找到嗎？誰來說說自己是怎么想的？

生5：我先把剩下的和送人的加起來，再減去收集的，就等于原來的張數(shù)。

隨著學(xué)生的回答，教師板書算式：52+30=82（張）

82-24=58（張）

師：有道理，但是結(jié)果正確嗎？

很快有學(xué)生舉手：把58張加上24得82，再減去30，正好得52張。

師：還有不同的方法嗎？

看到學(xué)生困惑，教師提示：想想是現(xiàn)在的郵票多，還是原來的多呢？為什么呢？

生1：30-24=6（張） 52+6=58（張）

師：得數(shù)與前面一樣，是巧合吧？這樣推算有道理嗎？

生1：送人的比收集的多6張，所以現(xiàn)在的郵票比原來少了6張。

師：你們聽懂他的意思了嗎？

教師再指名敘述。

（3）組織總結(jié)

解決這樣的問題，先要弄清變化過程，再倒過來推想，然后順著驗證。

2.反饋練習

（1）出示習題

小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多一張送給小明，自己還剩25張。小軍原來有多少張畫片？

（2）學(xué)生練習后交流

生1：我先算出一半是25-1=24，再乘2得到48，就是原來的張數(shù)。

生2：不對，應(yīng)該是25+1=26 26×2=52

師：還有不同的嗎？這么說有兩種不同的答案了？

生3：我驗算了。原來有52張畫片，不是48張。

師：為什么是這樣呢？

生3：送給別人一半還多一張，剩下的就是比一半少一張，所以一半是（25+1）張，而不是（25-1）張。

師：對。送出去的多，剩下的就少。誰能總結(jié)一下是用什么策略解決這道題的？

生4：倒推。根據(jù)剩下的先算到原來的一半，再算出原有的張數(shù)。

（3）變式練習：把上題中的“還多一張”改為“還少一張”

設(shè)計意圖：教材中兩個例題比較簡單，學(xué)生基本上能根據(jù)經(jīng)驗找到答案。這樣的安排有利于引導(dǎo)學(xué)生把重點放在體驗與歸納策略上。但是例1中變化的是兩個量，例2中是一個量發(fā)生變化，即單線條變化，所以，我把例2的教學(xué)放在前面，這樣能更好地貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，有利于學(xué)生體會“倒推”策略運用的情境。

教學(xué)中，我設(shè)計了一連串問題，目的在于突出弄清變化的過程是實施“倒推”的必經(jīng)之路，其中不僅凸顯了因果思想，也滲透了假設(shè)思想。如，“要是不送給別人28張，他會有多少張呢？”這種假設(shè)思想在解決實際問題時有廣泛的應(yīng)用價值。

學(xué)生經(jīng)常將“方法”和“策略”看作同義詞，其實它們是有區(qū)別的，但怎樣讓學(xué)生體會到呢？教學(xué)例題時，我組織學(xué)生討論兩種解法的共同之處是“根據(jù)變化的過程從現(xiàn)在推算到原來”，兩種方法的解題策略都是倒推，只不過是解題的具體思路不一樣。

反饋練習中，我再次突出理清變化過程這個重點，然后放手讓學(xué)生嘗試。當然這道題比例題增加了難度，難在對“比一半還多一張”的理解上。關(guān)于這一點，教師沒有過早介入提示，所謂“不憤不悱”。學(xué)生匯報交流的過程，則較好地給予釋疑，相信學(xué)生能認真地理解與體會。通過變式練習，應(yīng)該能深化理解。同時，教師接著學(xué)生的回答，補上一句：“送出去的多了，剩下的就少了”，啟發(fā)學(xué)生從“變”的角度去思考，將數(shù)學(xué)思考與生活中的常理聯(lián)系起來，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)中的“理”與生活中的“理”是相通的。

教學(xué)反思：努力發(fā)掘教學(xué)素材中所包含的數(shù)學(xué)思想方法，為有效引導(dǎo)指明方向。每種解決問題的策略總有其適用的條件，作為倒推策略，適用情境為量的變化。因而以“變與不變”的思想為指導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)量的變化過程，是教師設(shè)計一系列提問的指針。在前一例題中，教師側(cè)重于學(xué)生發(fā)現(xiàn)變的過程，為順利實現(xiàn)倒推打下基礎(chǔ)；后一例題教學(xué)中，不僅讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)變量，也讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不變量，滲透著變與不變的相對性與統(tǒng)一性，旨在培養(yǎng)學(xué)生從不同角度思考問題。

策略教學(xué)重在體驗感悟，培養(yǎng)應(yīng)用意識。所以在教學(xué)中，設(shè)計變式練習，組織觀察比較、討論交流，讓學(xué)生充分表達個人的想法，互相啟發(fā)，有助于提高思維的深刻性。

（作者單位 安徽省池州市貴池區(qū)馬衙中心學(xué)校）